苏教数学必修四课件：第3章 3.2 二倍角的三角函数

[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为 sin 2α＝153， 所以 cos 2α＝－ 1－sin22α ＝－ 1－1532＝－1123. 于是 sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×153×－1123＝－112609；
cos 4α＝1－2sin22α
＝1－2×1532＝111699； tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
第3章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公
式导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数
2.能熟练运用二倍角的公式进行简 学运算、逻辑推理核心素养.
单的恒等变换，并能灵活地将公式变
形运用．(难点)
自主预习 探新知
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对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是23α 的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是 α6的二倍角；…，又如 α＝2·α2，α2＝2·α4，….
1．求下列各式的值． (1)sinπ8sin38π；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2152π－1；(4)1－tatnan3203°0°.
1．若 sin α＝15，则 cos 2α＝ ________.
23 25
[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α
＝15，
∴cos 2α＝1－2×215＝2235.]
2．若 tan α＝3，则 tan 2α＝ ________.
－34 [∵tan α＝3，∴tan 2α＝ 1－2tatnanα2α＝21×－39＝－34.]
【例 3】 已知 sinπ4－x＝153，0＜x＜π4，求cocsosπ4＋2xx的值． 思路点拨：先由 sinπ4－x求 cosπ4＋x，再求 sinπ4＋x即可．
[解] ∵π4－x＋π4＋x＝π2， ∴sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153， 又 0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2， ∴sinπ4＋x＝1132.
3．若 sin 2α＝－sin α，且 sin α≠0，则 cos α＝________.
－12 [∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴2sin αcos α＝－sin α， 又 sin α≠0，∴cos α＝－12.]
合作探究 提素养
直接应用二倍角公式求值
【例 1】 已知 sin 2α＝153，π4＜α＜π2，求 sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值． 思路点拨：先由 α 的范围求 2α 的范围，并求出 cos 2α 的值，进而求 出 sin 4α，cos 4α 及 tan 4α 的值．
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂” “形”着手分析，消除差异．
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角 求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍 角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据 已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
(4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝122sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
活用“倍角”关系巧解题
[探究问题]
1．已知 cosπ4－x的值，如何求 sin 2x 的值？ 提示：可利用 sin 2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1 求解． 2．当题设条件中含有“π4±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？ 提示：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．
逆用二倍角公式化简求值 【例 2】 化简：2tan2π4c－osα2sαi－n21π4＋α. 思路点拨： 切化弦 → 逆用二倍角公式 → 化简，约分
[解]
原式＝2csoisnπ4π42－－coααs2·cαo－s21π4－α
＝2sin4π2－cosα2·αc－os1π4－α
＝2ccoos2s α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
思考 1：T2α 对任意角 α 都成立吗？ [提示] 不是．所含各角要使正切函数有意义． 思考 2：倍角公式中的“倍角”只能是 2α 吗？ [提示] 倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这就是说，“倍” 是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
[解] (1)∵sin38π＝sinπ2－π8＝cosπ8， ∴sinπ8sin38π＝sinπ8cosπ8 ＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝ 42.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°， ∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215° ＝cos 30°＝ 23. (3)2cos2152π－1＝cos56π＝－ 23. (4)1－tatnan3203°0°＝12×1－2tatnan3203°0° ＝12tan 60°in1π2cos1π2； (2)1－2sin2750°； (3)1－2tatnan125105°0°； (4)cos1π2cos51π2.
[解] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
倍角公式
(1)sin 2α＝_2_s_in__α_c_o_s_α____；
(2)cos 2α＝_c_o_s_2α_－__s_i_n_2α___＝__2_co_s_2_α_－__1___＝__1_－__2_s_in_2_α___； 2tan α
(3)tan 2α＝__1_－__ta_n_2_α___.