黑龙江省绥棱一中高二数学下学期6月月考试卷 理

黑龙江省绥棱一中2015-2016学年高二数学下学期6月月考试卷 理
一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A ＝{x ∈R|
428
1
<<x }，B ＝{x ∈R|42≤<-x }，则A ∩B 等于 （ ）
A. ()2,2-
B. ()4,2-
C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,81
D. ⎪
⎭⎫ ⎝⎛4,8
1
2.在复平面内，复数z 满足 ()2013
1i
z i =⋅+（i 为虚数单位），则复数z 所表示的点在 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.下列说法正确的是 （ ） A. 命题p ：“2cos sin ,≤
+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题
B.“1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件
C. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀0322>++x x ”
D. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件 4．若2
2
221231
1
11
,,,x S x dx S dx S e dx x
=
==⎰
⎰
⎰则123S S S 的大小关系为（ ）
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
5.平面直角坐标系中，已知两点()()3,1,1,3A B -，若点C 满足12OC OA OB l l =+u u u r u u u r u u u r
（O 为原点），其中12,R l l Î，且121l l +=，则点C 的轨迹是（ ） A.直线 B.椭圆
C.圆
D.双曲线
6．执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =（ ）
A ．1111+2310+++…… B.111
1+2311+
++…… C ．1111+
2310+++……！！！
D.1111+
2311+++……！！！
7．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）
A ．4
3
B ．2
C ．
83
D ．3
8.
数
列
{}
n a 满足
11
a =且
1
122--=-n n n n a a a a
()
2≥n 则
n a =
（ ） A.
21n + B. 22n + C. 2()3
n D. 12()3n - 9.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,B,A C 的对边，且60A =o ,5,7==c a ，则ABC ∆的面积等于 （ ） B. 15
4
C. 10. 抛物线)0(42
>=p px y 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 有相同的焦点F ，点A 是两
曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A.
215+ B.12+ C.13+ D.2
1
22+ 11.四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为
A.12p
B.24p
C.36p
D.48p
12.已知函数2
()4f x x =-，()y g x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log g x x =，则函数()()f x g x ×的大致图象为
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是________.
14.已知向量()2,1=a ，()0,3=b ，若向量λ+与()2,1-=c 垂直，则实数λ等
于 .
15.定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩. 在区域02
06
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x ，y 满足
{}44,623m in +-=+-+-y x y x y x 的概率为 .
16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()r
y
x f -=θ．对于下列说法： ①函数()f θ的值域是2,2⎡-⎣； ②函数()f θ的图象关于原点对称；
③函数()f
θ的图象关于直线34
x π
=
对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π；
⑤函数()f
θ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号） 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知正项数列满足2
4(1)n n S a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和T n 。

18. （本题满分12分）
某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1­4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图1­4
(Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均
体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P (K 2≥k 0) 0.10 0.05
0.010 0.005 k 0 2.706 3.841 6.635
7.879
附：K 2
＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
19.（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o
， 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF =1. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）在线段EF 上是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB ，所成的锐二面角为45o
，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线
13
22
=-y x 的离心率互为倒数，且直线02=--y x 经过椭圆的右顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于、N M 两点 ，且直线OM 、MN 、ON 的斜
率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln a
f x x x
=
-. （Ⅰ）若()x f 在3=x 处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()x x f 35-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线1C 的参数方程为cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点
的横坐标伸长到原来的22C . （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，P 为曲线2C 上任意一点， 求
22
PA PB -的最大值.
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
AADBA BBACB AD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分） 13. 等腰或直角三角形 14. 1 15.
2
3
16. ①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (Ⅰ)整理得21=--n n a a … 4分
又11=a 得12-=n a n …… 6分
(Ⅱ)由（1）知 )1
21121(21+--=
n n b n …… 8分 所以1
2+=
n n
T n … 12分 18．解： (1)300×4500
15 000
＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
结合列联表可算得K 2
＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝100
21≈4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 19、（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o
，
∴ 2AB =，360cos 22
2
2
=⋅-+=o
BC AB BC AB AC ，∴222AB AC BC =+ ∴ AC BC ⊥ ……3分 又平面ACFE ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD
∴BC ⊥平面ACFE ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC 、BC 、CF 两两垂直，分别以CF CB CA ,,为单
位正交基底建立空间直角坐标系xyz C -，
则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，[]
3,0∈a
则)0,1,3(-=AB ，)1,1,(-=a BM ， ……7分 设),,(z y x m =是平面MAB 的法向量，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=⋅=+-=⋅，
，
00
3z y ax BM m y x AB m 取1=x ，得)3,3,1(a m -=， ……9分 显然
)0,0,1(=n 是平面FCB 的一个法向量， ……10分
于是2
2
)3(41cos 2
=
-+>=<a n m ，
， 化简得22(3)0a +-=，此方程无实数解，
∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为45o
…12分 20、（Ⅰ）∵双曲线的离心率为
332，所以椭圆的离心率2
3
==a c e ， 又∵直线02=--y x 经过椭圆的右顶点，
右顶点为()0,2，即 2=a ……2分
∴1,3==b c ∴椭圆方程为1422
=+y x
……4分
21、解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞，2'()x a
f x x
+=-
()03='f ∴3-=a ． ……2分
经检验，3-=a 符合题意. ……4分 （Ⅱ）解法一：设()()35ln 35a
g x f x x x x x
=+-=
-+- 则问题可转化为当0x >时，()0g x ≥恒成立．
∴(1)20g a =-≥，∴2a ≥ ……6分
由()2
23x a
x x x g --='得方程()0='x g 有一负根1x 和一正根2x ，其中1x 不在函数定义域内
且()g x 在2(0,)x 上是减函数，在2(,)x +∞上是增函数 即()g x 在定义域上的最小值为
2()
g x
……8分
依题意2()0g x ≥．即2222
()ln 350a
g x x x x =
-+-≥．又22230x x a --=， ∴
2231a x x =- ∵02>x a ∴3
1
2>x ∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥
即2266ln 0
x x --≥
……10分
令x x x h ln 66)(--=，则x
x x h 16)(-=
' 当1
(,)3x ∈+∞时，0)(>'x h
∴)(x h 是增函数 ∴2266ln 0x x --≥的解集为),1[+∞
∴2
2232a x x =-≥ 即a 的取值范围是[2,)+∞． ……12分
解法二：()53f x x ≥-恒成立，即x x x x a 53ln 2+-≥恒成立 设x x x x x g 53ln )(2
+-=，则，66ln )(+-='x x x g 设)()(x g x h '=，则x
x
x h 61)(-=
'，0)1()1(='=g h 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，则)()(x g x h '=是减函数
∴0)(<x h ，即)(x g 是减函数，2)1()(=<g x g ……8分 当)1,0(∈x 时，先证1ln -<x x 设)1(ln )(--=x x x F ，则01)(>-=
'x
x
x F ∴)(x F 在()1,0上是增函数且0)1(=F
∴()1,0∈x 时()01)(<<F x F ，即1ln -<x x
∴当)1,0(∈x 时，22)1(253)1(53ln )(2
2
2
<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g ∴)(x g 的最大值为2 即a 的取值范围是[2,)+∞ ……12分。