椭圆及其标准方程二教案示例

椭圆及其标准方程
目的要求
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题．
2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程．
内容分析
1．本节课是学习了椭圆的定义和标准方程之后的一节习题课，拟安排课本上例1、例2并结合例题进行变式练习．这节课所讲的待定系数法与定义法都是求曲线方程的两种基本方法，也是后面双曲线、抛物线中经常用到的通法．通过待定系数法的学习让学生进一步理解焦点、焦距的概念与椭圆的定义，在方法运用过程中，培养学生用方程的思想理解与解决问题．在定义法求动点轨迹过程中，进一步让学生领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，引导学生数形结合探索动点轨迹的完备性，从而培养学生思维的深刻性与严谨性．
2．本节课的重点是用待定系数法与定义法求曲线方程．而运用这两种方法的关键是对椭圆的定义和标准方程的正确理解．
通过例1，引导学生探索用待定系数法求椭圆的标准方程，教学时可类比圆的标准方程来思考，但是椭圆有两种形式的标准方程，因此要依题意选择类型后设方程，再列出关于a 、b 的方程来求解，并注意c2=a2－b2的应用．为了使学生对待定系数法有较深刻的认识，设计了变式1、2和练习1由浅入深逐步展开，有意识地利用定义，为例2中定义法的应用埋下伏笔．
通过例2，使学生学会用定义法求动点轨迹，在教学中不妨先引导学生尝试分析动点满足的条件，以椭圆定义为解题突破口，完成比例．并设计练习2，让学生加深对定义法的理解与应用．
3．本节课的难点是变式练习中方程有两解与例2中轨迹的完备性的探求．
对于两解问题，让学生对照例1(1)数形结合展开讨论，并由此总结出应“先定型、设方程、再求解”的基本原则．
关于轨迹的完备性，教学时可采用抽象问题具体化，引导学生作图分析，寻找到不符合条件的“特殊点”． 教学过程
1．复习引入．
提问：椭圆的定义、标准方程是什么？
引入：今天这节课将学习椭圆及其标准方程的应用，板书课题：椭圆及其标准方程(2)．
2．新授．
例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
(2)(02)(02)()两个焦点的坐标分别是，－、，，并且椭圆经过点，．-3252
可启发：这两个小题的已知要求很明确，要不要按直接法的四步来求？
那么，怎样解？有什么经验可借鉴？
引导学生得出：可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用待定系数法求解．
教师指出：注意椭圆有两种标准方程，要正确选择．
学生解答，教师巡视．
解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为：
x a y b 222
2+=1(a b 0)＞＞．
∵ 2a ＝10，2c ＝8．
∴ a ＝5，c ＝4．
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9．
所以所求椭圆的标准方程为
x y 22
2591+=．
(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
y a x b 222
2+=1(a b 0)＞＞．
由椭圆的定义知，
232522325222102222a =-+++-+-=()()()()
∴＝．a 10
又 c ＝2，
∴b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以所求椭圆的标准方程为
y x 22
1061+=．
(2)另解：∵ c ＝2，焦点在y 轴上，
∴设椭圆的标准方程为
y a x a a a 222
2224
13252
2549441+-=-+-=．∴椭圆经过点，．∵()()
解之得，，不合舍去，∴所求椭圆的标准方程为．a =10a =
52
()=122y x 22
106+ 点评：通过本题可知，用待定系数法求椭圆标准方程的步骤是：定类型、设方程、求系数a 、b ．且椭圆定义的应用可使运算更简捷．
变式1：将(1)变成：两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10．
让学生讨论：方程类型是否确定，有几解？
答案：或两解x y y x 2222
259259++=1=1()
变式：将中条件变为：椭圆经过两点，与，．2(2)()(3)-32525
思考：此时类型不太明显，要不要分两种情况，如何设方程可避免讨论？
得出：可设方程＞，＞，≠．答案：．x m y n
y x 22
22
106++=1(m 0n 0m n)=1
练习1：
(1)若椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)椭圆的弦AB 过点F1，△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为________；
(2)平面内两个定点的距离等于8，一个动点M 到这两个定点的距离的和等于10，求动点M 的轨迹方程． 让学生尝试练习，教师个别辅导
答案：．(1)x =122592
+y
(2)解1：如图8－
2
x +y =122
259
解2：如图8－
3
y x 22
2591+=
(注意：学生只要任选一种坐标系求出方程，并非是两解)
例2：已知B 、C 是两个定点，|BC|＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．
讲解要点：1．启发学生抓住“△ABC 的周长为16”这一条件，分析出：|AB|＋|AC|＝10．
可提问：要用直接法的四步来求A 点轨迹吗？为什么？
2．应注意学生不建立坐标系就直接求出a 、b ，写出标准方程的错误．启发学生：必须合理建立坐标系，而建立坐标系是为了直接用标准方程，让学生选择两种建坐标系方法中的一种．
3．通过学生演板，教师点评时强调：因为△ABC 中，A 点不在直线BC 上，故方程中y ≠0．
解：如图8－4建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，使原点O 与BC 的中点重合．
由已知|AB|＋|AC|＋|BC|=16，|BC|=6有|AB|＋|AC|=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c=6，2a=10，∴c=3，a=5，b2=52－32=16，但当点A 在直线BC 上，即y=0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点
A =1(y 0)的轨迹方程是≠．x y 22
2516+
点评：本题中，利用了椭圆的定义求动点轨迹方程，这种方法称之为定义法．使用这种方法的要点是：充分分析图形的特点，熟悉各种曲线的定义，数形结合．求出动点的轨迹方程后，要注意结合图形，去掉方程中不符合条件的点．
练习2：
(1)已知定圆C1：x2＋y2＋4x=0，圆C2：x2＋y2－4x －60=0，动圆M 和定圆C1外切和圆C2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
(2)△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－6，0)、(6，0)，边
AC BC C 、所在直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹方程．-49
答案：；≠．()()()12521123616102222
x y x y y +=+=
3．归纳小结．
(1)用待定系数法求椭圆的标准方程；注意求解的步骤：定型、设方程、求系数a 、b ．
(2)用定义法求动点轨迹方程，此外可分析是否可归结为动点到两定点距离之和为定值的轨迹．
(3)确定椭圆的标准方程需满足两个独立条件，当椭圆过两个已知点
时，设＞，＞，≠可避免讨论．x m y n 22
+=1(m 0n 0m n)
布置作业
习题8．1第3、5题．
课外研究题：
已知B 、C 两点坐标为(－a ，0)、(a ，0)，动点A 满足KAC ·KAB=负常数，则动点A 的轨迹是否仍为椭圆？。