大学物理学-狭义相对论教案

授课章节
第4章 狭义相对论
教学目的
1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两条基本原理及洛伦兹坐标、速度变换式；
2. 掌握狭义相对论的时空观：即理解同时的相对性、长度的收缩和时间的膨胀，并能进行相关的计算；
3. 了解狭义相对论动力学的几个结论及其具体应用。

教学重点、难点
1. 正确地理解相对论的时空观；
2. 掌握洛伦兹变换的物理意义；
3. 理解长度收缩效应只发生在运动方向上；
4. 理解“时间膨胀”效应是指运动着的钟比静止的钟慢；
5. 在相对论动力学中，动能不能用
2
2
1mv 进行计算，只能用202c m mc E K -=进行计算；
6. 在经典物理中能量守恒律与质量守恒律彼此独立。

而在相对论中通过质能关系式把两个定律统一起来了。

即在相对论中能量守恒与质量守恒总是同时成立的。

教学内容 备注
第四章 狭义相对论
相对论研究的内容：研究物质的运动与空间、时间的联系。

狭义相对论：研究自然定律在所有惯性系中都表示为相同的形式（数学）问题。

广义相对论：研究自然定律在所有参照系中都表示为相同的形式（数学）问题。

§4.1 伽利略变换和经典力学时空观
一、伽利略变换 经典力学时空观
1、伽利略坐标变换方程：
如图，两个参照系的坐标轴互相平行，参照系S '相对于参照系S 沿x 轴的正方向以速度u 运动，时间0='=t t 时、两坐标系的原点o 和o '重合。

则某一空—
时点的坐标变换方程为
t
t z
z y y ut
x x ='='='-=' 或 t t z z y y t u x x '
='='='+'= （1）
2、经典力学时空观
伽利略坐标变换方程已经对时间、空间性质作了两条假设：（1）t t
'=，
t t '∆=∆，即时间间隔与参考系的运动状态无关；
（2）L L '∆=∆，即空间长度与参考系的运动状态无关。

（同时测量棒两端点的坐标值），总之，时间和空间是彼此独立的，互不相关，并且不受物质和运动的影响，这就是经典力学的时空观，也称绝对时空观。

二、伽利略相对性原理
一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对描述运动的力学规律来说是完全相同的。

把（4-1）对时间求导一次，得 u v v x x -='
y y v v =' （2）
z z v v ='
这就是伽利略速度变换法则。

把（4-2）对时间再求导一次，得
x
x a a =' y y a a =' （3）
z z a a ='
上式说明在所有惯性系中，加速度是不变量。

由于经典力学中质量和力也是与
参考系的选择无关的物理量，所以，牛顿第二定律在所有惯性系中都具有相同的数学表述：
a F m = a F '='m
这就是说经典力学满足伽利略相对性原理。

§4.2 狭义相对论产生的实验基础和历史条件
一、经典电磁学的以太假说（人们过于相信绝对时空概念）
以太假说：以太是充满整个宇宙空间的弹性媒质，电磁波靠以太传播。

以太中的带电粒子振动会引起以太变形，这种变形以弹性波的形式传播就是电磁波。

在相对以太静止的参照系中，电磁波沿各个方向传播的速度都等于恒量c 。

在相对以太运动的惯性系中电磁波的传播速度。

在相对以太运动的惯性系中， 按伽利略速度变换，电磁波沿各个方向传播的速度并不等于恒量c 。

设S 系相对于以太静止，S '系相对以太的速度为u ，如图所示。

则在S 系中，电磁波沿各个方向的速度均等于恒量c 。

在S '系中电磁波沿x '轴正向的传播速度为（c-u ），沿x '轴负向的传播速度为（c+u ）；沿与x '轴垂直的y '和z '轴的正、负方向传播的速度都是22u c -。

二、迈克尔逊 — 莫雷实验
因为经典电磁学不满足伽利略变换：存在一个优越的参照系，即相对以太静止的惯性系（也称为绝对空间）。

所以，人们设计了许多实验来寻找以太。

迈克尔逊 — 莫雷实验的目的就是通过观察地球相对以太的绝对运动来寻找以太。

实验装置是迈克尔逊干涉仪，其光路原理如下图所示。

1实验原理：
设以太相对太阳系静止，地球（包括固定在地球上的干涉仪）相对太阳系的速度为u ，则从地球看来、以太风的速度为-u ，如上图所示。

光源S 发出的光线入射半透镜R 后透射光线1和反射光线2分别射向互相垂直的平面镜M 1和M 2，先让RM 1臂与地球运动方向平行、则RM 2臂与地球运动方向垂直，从干涉仪观察、光线1和光线2的传播速度不相等（如图中所标），当两臂相等时、进入观察镜o 的光线1和光线2的光程差不为零，可以看到干涉条纹。

如果将整个装置旋转
90，应该看到条纹移动。

光线1在RM 1间往返的时间
2211112u
c c
l u c l u c l t -=++-=
，
光线2在RM 2间往返的时间
2
2222u c l t -=
,
时间差为 ]11[22
2
22
21
21c
u
l c u l c t t t --
-=-=∆。

旋转
90后时间差为 ]11[
22
22
2
212
1c
u l c u l c
t t t --
-='-'='∆， 于是干涉仪转动前后，光通过两臂时间差的改变量为：
]
)(211)(1[)(2]
11
11[(22221222221c
u c u c l l c u c u c l l t t t --++≈---+=
'∆-∆=）δ
3
2
21221)()(21)(2c u l l c u c l l +=
⋅+=。

实验时取l l l ==21，则应有条纹移动数目2
)(2c
u l t
c N λλ
δ≈
=∆，
按实验所取的u l
,,λ的数值、预期37.0N ≈∆，这是可以明显观察到的。

2实验结果：
没有观察到干涉条纹的任何移动。

3对实验结果的解释：
以上实验是在承认以太是绝对静止的参照系，存在地球相对于以太运动的前提下，利用伽利略变换来计算光相对于地球（干涉仪）的速度，由此得出应该有明显可观察到的条纹移动。

实验没有观察到干涉条纹的任何移动，结果只能说明光的传播速度不满足伽利略变换，同时不存在地球相对于以太的运动；即绝对静止的参照系“以太”并不存在。

§4.3 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换
例2 狭义相对论的两条基本原理
1相对性原理：所有物理规律在一切惯性系中都具有相同的形式。

2光速不变原理：所有惯性系中测量到的真空中的光速沿各个方向都等于c ，与光源的运动状态无关。

二、洛伦兹变换
如图，S 系和S /系的关系如17-1节所述 。

则S 和S /的变换（正变换）为：
)(ut x x -='γ，
这个例子说明，在一个惯性系中的两个同时事件，在另一个惯性系中观测不是同时事件，这是时空均匀性和光速不变原理的直接结果。

2、同时性的数学表达：
车站S 上的观测者测到两个闪电同时)(21t t =击中一列以速度u 沿S 系的x 轴方向通过车站的火车的车头（在S 系中的坐标为2x ）和车尾（在S 系中的坐标为1x ），即在S 系观测闪电击中车头的事件2的时空坐标为（22,t x ）、闪电击中车尾的事件
1的时空坐标为（11,t x ）。

设火车为S /系，在S /系观测事件1的时空坐标为（11,t x ''），
事件2的时空坐标为（22,t x ''）。

根据洛伦兹变换
S 系同时测量1x 和2x ，即21t t =时测量。

根据洛伦兹变换
)(222
ut x x -='γ， )(111
ut x x -='γ； 两式相减
)]()[(121212
t t u x x x x ---='-'γ。

因为
21t t =，所以
)(1212
x x x x -='-'γ。

即
l l γ=0
，
020
1l l l βγ
-==。

说明物体在运动方向的长度收缩了。

与运动垂直的方向上并不发生长度收缩。

另外，这是测量的结果，不能说成看到了长度收缩。

三、时间间隔的相对性
设在S /系中同一地点（2
1x x '='）先后发生了两个事件，例如一盏灯的亮和灭，时间间隔12t t t '-'='∆。

而在S 系测这两个事件的时空坐标分别为1122(,),
(,)x t x t 。

根据洛伦兹变换：
)(1211
x c
u
t t '+'=γ， )(2222
x c
u
t t '+'=γ； 两式相减
y
45
>。

x
表示真空中光速)的相对速度互测得两者经过时间Δ
22u 1-c
'=
< (o '
测得) 16m c c 0.6-1202
22==' s 8-108.890.6c
u ⨯='='=' 观察者甲和乙分别静止于两个惯性系
例：某一宇宙射线中的介子的动能20k c 7M E =,其中M 0是介子的静止质量。

试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。

解：实验室参照系中介子的能量
020200k 8E c M c 7M E E E =+=+=
设介子的速度为V ，又有 220
222
02
c V -1E c V -1c M Mc E //===
可得
8c V -11
E/E 220==/
令固有寿命为0τ，则实验室中寿命
0228c V -1τττ==/0
三、动量和能量的关系
经典力学中，动能与动量的关系为m
p E k 22
=，在相对论中，这个关系不再成
立。

因为u P m =，2mc E
=，200c m E =,所以
2
222
224
24
22
c u m c u m c m c m E +-==224202222
4
2)1(c p c m c p c
u c m +=+-=。

即 2
22
02
c
p E E +=
它们的关系可以用右边的直角三角形表示。

光子的静质量等于零，则
mc c
mc c E P ===2
即静质量等于零的光子一定以光速运动。

总之，相对论基本公式为 （1） 质速关系
2
2
01c
v
m m -=
（2） 动量表达式
2
20c
v 1v m mv P -=
= （3）动力学基本方程：
复习与思考
1.惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O'重合时，t=t'=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．
2.设教材P110中图4.5中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
3. 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
4.一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?。