2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Wo

(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a 与c 所在直线平行
B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在直线共面
C ．空间任意两个向量共面
D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb
解析：选C.对于A ：当b ＝0时，a 与c 所在直线可重合、平行、相交或异面；当b ≠0时，a 与c 所在直线可重合，排除A ；对于B ：它们所在直线可异面，排除B ；对于D ：b ＝0时不满足，排除D .
2．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2
C ．a 与e 1，e 2共面
D ．以上三种情况均有可能
解析：选C.对于A ：a ∥e 1，所以a ＝k e 1，得μ＝0，λ＝k ，与已知矛盾．对于B ：a ∥e 2，所以a ＝k e 2，得μ＝k ，λ＝0，与已知矛盾．故选C.
3．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1，2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) A ．(2，3，1) B ．(1，－1，2) C ．(1，2，1) D ．(1，0，3)
解析：选D.设该点为D .当D 的坐标为(1，0，3)时，AD →＝(1，0，3)＝2AB →－AC →
，其他三个坐标均不符合要求．
4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)且a 与b 的夹角的余弦值为8
9
，则λ等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
解析：选C.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，得λ＝－2或λ＝2
55
.
5．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ⊥b B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 解析：选C.a ·b ＝－4＋0＋4＝0，所以a ⊥b ，又c ＝2a ，所以a ∥c ，故选C.
6．已知向量m 、n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2
，
则l 与α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选A.设l 与α所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝1
2
，θ∈[0°，90°]，
所以θ＝30°.选A.
7．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13
OC →
，则x
的值为( )
A ．1
B ．0
C ．3
D.13
解析：选D.因为点M 在平面ABC 内，所以AM →＝λ1AB →＋λ2AC →，即：OM →－OA →＝λ1(OB →
－OA →)＋λ2(OC →－OA →)，
OM →＝(1－λ1－λ2)OA →＋λ1OB →＋λ2OC →，
由OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →
，得x ＝1－13－13＝13
.
8．已知向量a ，b ，c 是空间的一基底，向量a ＋b ，a －b ，c 是空间的另一基底，一向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(1，2，3)，则向量p 在基底a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，32，3
B.⎝⎛⎭⎫32
，－12，3 C.⎝⎛⎭⎫3，－12，32 D.⎝⎛⎭
⎫－12，32，3 解析：选B.设p 在基底a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为(x ，y ，z )，
则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c 得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝1，
x －y ＝2，z ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12，z ＝3.
9．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )
A ．x ＝13，y ＝1
B ．x ＝1
2
，y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－1
4
D ．x ＝1，y ＝－1
解析：选B.a ＋2b ＝(1＋2x ，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)． 因为(a ＋2b )∥(2a －b )， 所以a ＋2b ＝λ(2a －b )，
可得λ＝43，x ＝1
2
，y ＝－4.
10.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两
个动点E ，F 且EF ＝2
2
，则下列结论中错误的是( )
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A -BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
解析：选D.建立如图坐标系，B 1(0，1，1)，D 1(1，0，1)，B (0，1，0)，AC →
是平面B 1BDD 1的法向量，
BE 平面B 1BDD 1，故AC ⊥BE ，故A 正确；BB 1→
是平面ABCD 的法向量，BB 1→
＝(0，0，1)，
EF →
＝22·D 1B 1→|D 1B 1→
|
＝(－12，12，0)，
EF →·BB 1→＝0，故EF →⊥BB 1→
，故EF ∥平面ABCD ，故B 正确；V A ­BEF ＝13
S △BEF ·h
＝13×12|EF →|·|BB 1→|·12
|AC →| ＝112|EF →|·|BB 1→|·|AC →
|＝112
，
故C 正确．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知空间向量a ＝(0，1，1)，b ＝(x ，0，1)，若a ，b 的夹角为π
3
，则实数x 的值为
________．
解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝0·x ＋1×0＋1×1
2·x 2＋1
＝cos π3，得x ＝±1.
答案：±1
12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→
表
示向量MN →，则MN →
＝________．
解析：MN →＝MB →＋BC →＋CN →
＝12AB →＋AD →＋12CB 1→＝12AB →＋AD →＋12(CB →
＋BB 1) ＝12AB →＋12AD →＋12
AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋12
AA 1→
13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别
为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．
解析：因为A 1B 1∥平面D 1EF ，
所以G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所
示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，1
2
)，E (1，
0，1
2)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·
ED 1→＝0，
易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →
＝(0，0，－12
)，
所以d ＝|A 1E →
·n |
|n |
＝55
. 答案：5
5
14．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝
CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________．
解析：法一：由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1，可将三棱柱补成正方体，建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0，0，0)，
B (2，2，0)，M (1，1，2)，N (0，1，2)，所以BM →＝(1，1，2)－(2，2，0)＝(－1，－1，2)，AN →
＝(0，1，2)．
所以cos 〈BM →，AN →
〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|
＝
－1＋4（－1）2＋（－1）2＋22×02＋12＋22
＝36×5＝30
10.
法二：如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綊1
2
B 1
C 1綊B
D ，因此
有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成角．设BC ＝2，则BM ＝ND
＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA
＝30
10.
答案：30
10
15．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →
>0，则△ABC
是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E ，F 分别是两腰BC ，DA 的中点，则FE →＝12
(AB →＋DC →
)；
④在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，DA 的中点，则FE →＝12
(AB →＋DC →
)．以上命题
中，正确命题的序号是________．
解析：对于①：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，故①正确；对于②：AB →·AC →＝|AB →||AC →
|cos A >0，
得∠A 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形，故②不正确；对于③：FE →＝F A →＋AB →＋BE →
，FE →＝FD →＋DC →＋CE →，两式相加得：FE →＝12
(AB →＋DC →
)，故③正确；对于④：取BD 中点为H ，
则FH →＝12AB →，HE →＝12DC →，FE →＝FH →＋HE →＝12(AB →＋DC →
)，故④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →
＝
(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →
取得最小值时，求点Q 的坐标．
解：设OQ →＝λOP →
，
所以QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1，2，3)－λ(1，1，2) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2，1，2)－λ(1，1，2) ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 则QA →·QB →
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，
所以当λ＝43
时，QA →·QB →
取得最小值．
又OQ →＝λOP →＝4
3
(1，1，2)
＝⎝⎛⎭⎫43，43，83.
所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫
43，43，83.
17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，侧棱DD 1⊥
平面ABCD ，且AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.
(1)求证：平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1；
(2)求异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值． 解：(1)证明：在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
DD 1⊥平面ABCD ， 所以DD 1⊥BC .
因为底面ABCD 是矩形，所以DC ⊥BC . 又DD 1∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面DCC 1D 1.
又BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1.
(2)取DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为AD ＝AA 1＝1，AB ＝2， 则D (0，0，0)，C (0，2，0)， D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)．
所以CD 1→＝(0，－2，1)，DA 1→
＝(1，0，1)，
所以cos 〈CD 1→，DA 1→
〉＝CD 1→·DA 1→|CD 1→||DA 1→|
＝15·2＝1010.
所以异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值是10
10
.
18．(本小题满分10分)如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．
(1)求|BN →
|的长；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
解：如图，建立空间直角坐标系． (1)依题意得B (0，1，0)、N (1，0，1)，所以|BN →
|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3.
(2)依题意得A 1(1，0，2)、B (0，1，0)、C (0，0，0)、B 1(0，1，2)，
所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→
＝(0，1，2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→
|＝5，
所以cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|
＝11030.
(3)证明：依题意，得C 1(0，0，2)、M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →
＝(－1，1，－2)，
C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12
＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →
，所以A 1B ⊥C 1M . 19．(本小题满分12分)在空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，D (0，0，2)，E (0，2，1)．
(1)求证：直角BE ∥平面ADO ；
(2)求直线OB 和平面ABD 所成的角；
(3)在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由题意，点A ，D ，O 所在的平面就是xOz 平面， 取其法向量为n ＝(0，1，0)， 而BE →＝(－2，0，1)，所以BE →·n ＝0，即BE →
⊥n ， 又显然点B ，E 不在平面ADO 上， 所以BE ∥平面ADO .
(2)设平面ABD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，
因为AB →＝(0，2，0)，AD →
＝(－2，0，2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·m ＝2b ＝0，AD →·m ＝－2a ＋2c ＝0，所以可取m ＝(1，0，1)．
又OB →
＝(2，2，0)，
设OB 与平面ABD 所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈OB →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪OB →·m |OB →||m |＝22·22＝12. 所以直线OB 和平面ABD 所成的角为π
6
.
(3)假设存在点P (x ，y ，z )，使得直线AP 与直线BD 垂直． 设BP →＝λBE →
，即(x －2，y －2，z )＝(－2λ，0，λ)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝2，z ＝λ，
所以AP →＝(－2λ，2，λ)．
又BD →
＝(－2，－2，2)，
所以AP →·BD →
＝4λ－4＋2λ＝0，
解得λ＝2
3
，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直，
点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23
，2，23. 20.(本小题满分13分)已知长方体AC
1中，棱AB ＝BC ＝1，棱BB 1＝2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F .
(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ；
(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；
(3)求直线DE 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．
解：(1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→
分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A (0，0，0)、B (1，0，0)、C (1，1，0)、D (0，1，0)、A 1(0，0，2)、B 1(1，0，2)、C 1(1，
1，2)、D 1(0，1，2)，A 1C →＝(1，1，－2)，BD →
＝(－1，1，0)，
设E (1，1，z )，则BE →＝(0，1，z )，CB 1→＝(0，－1，2)，因为BE ⊥B 1C ，所以BE →·CB 1→
＝
－1＋2z ＝0，z ＝12，所以E (1，1，12)，BE →＝(0，1，12
)，因为A 1C →·BD →＝－1＋1＋0＝0，A 1C →·BE
→
＝0＋1－1＝0，
所以A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BE ，又BD ∩BE ＝B ，所以A 1C ⊥平面EBD . (2)连接AC ，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A -A 1B 1C 的高，设为h ，
S △A 1B 1C ＝52，VC ­A 1B 1A ＝1
3
，由VA ­A 1B 1C ＝VC ­A 1B 1A
得：13×52h ＝13，h ＝255，所以点A 到平面A 1B 1C 的距离是255
.
(3)连接DF ，因为A 1C ⊥BE ，B 1C ⊥BE ，A 1C ∩B 1C ＝C ，所以BE ⊥平面A 1B 1C ，所以DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，设F (1，y ，z )，
那么BF →＝(0，y ，z )，CF →＝(0，y －1，z )，B 1C →＝(0，1，－2)，因为BF →·B 1C →
＝0，
所以y －2z ＝0①，
因为CF →∥B 1C →
，所以z ＝2－2y ②，
由①、②得y ＝45，z ＝25，DE →＝(1，0，12)，EF →＝(0，－15，－1
10
)．
在Rt △FDE 中，DE ＝52，EF ＝510.所以sin ∠EDF ＝EF ED ＝1
5
，因此，DE 与平面A 1B 1C
所成的角的正弦值是1
5
.。