高一数学最新课件-人教版高一数学上期一元二次不等式的解法[原创] 精品

思维发散: 解不等式(1)1<(x－3)2≤2; (2)x2－2|x|－15≥0.
略解: (1)原不等式可化为不等式组:
(x 3)2 1
( x
3)2
2
解得
x
2或x
4
3 2 x 3 2
∴原不等式的解集为{x|3 2 ≤x<2或4<x ≤3+ 2}.
(2)原不等式可化为(|x| －5) (|x| +3) ≥0.
4
或x>
1 5 4
}.
(2)原不等式变形为x2 －2x + 3>0,解方程x2－2x+3 = 0,
因为△= 4－12 = －8<0,
所以原方程无实数根,所以原不等式的解集是{x|x∈R}.
(3)原不等式变形为3x2 －3x + 5≤0. 解方程3x2 －3x + 5≤0. 因为△= 9－60 <0, 所以原方程无实数根,所以原不等式的解集为 .
得m
7, 3
∴m > 3.
(2)1根在0与1之间,另一根在1与2之间,由图2知:
x= 0时，y>0；x=1时，y<0；x=2时，y>0.
m 3 0 即1 m m 3 0 ,
4 2m 3 m 0
m 3
即m 2 ,
m
7
3
7 ∴2<m< 3
y
O
1
2x
图2
(3)2根都大于－5,由图3知:
求实数a的取值范围.
解:若a = 1时,不等式的解是全体实数:
a = －1时,显然不满足.
若a ≠±时,由二次函数的图象,
当
a2 1 0 (a 1)
2
4(a2
1)
0
时,不等式的解为全体实数,
解得 153aa11,即
3 5
a
1.
∴满足题设的a的取值范围为－
3 5
<a≤1.
例7:分别求使方程x2－mx－m+3=0的两根满足下列条件的 m值的取值集合.
2x2－6x+8<0③
2x2－9x+a<0④
要使满足不等式①, ②的所有x的值也满足不等式③, 求a的取值范围.
解:由不等式①, ②组成的不等式组
(x (x
1)(x 3) 0 解得2 2)(x 4) 0
x
3.
本题相当于:满足2<x<3的所有x值使不等式③恒成立,
求a的范围,为此,设y = 2x2－9x+a,
∴原不等式可转化为下面两个不等式组来解:
x a 0 x 1 0
①或
x x
a0 1 0
②即
x x
a 1
①或
x x
a 1
②
∴当a>1,原不等式的解集为{x|x>a或x<1};
当a<1时,原不等式的解集为{x|x>1或x<a};
当a = 1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.
例5:关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数,
∴ |x| ≥5, ∴原不等式的解集为{x|x ≤－5或x ≥5}.
例2:解不等式x2－3x－4<0.
解:原不等式整理得:(x－4)(x+1)<0,
它可转化为下面两个不等组来解:
x 4 0 x 4 0
①或xx
4 4
0 0
②不等式组①的解集为 ,
不等式组②的解集是 ,{x|－1<x<4}. ∴原不等式的解集是{x|－1<x<4}.
1.5一元二次不等式的解法
授课教师:谢大选
例1:解下列不等式.
(1)－2x2 + x +
1
2 <0;
(2)x2>2x－3;
(3)3x2 + 5≤＝3x.
解:(1)原不等式变形为2x2－x－
1 2
>0,
解方程2x2－x－
1 2
=
0得x1 =
1 5 4
, x2 =
1 4
5
,
∴原不等式的解集为{x|x< 1 5
借助二次函数图像列出m应满足的不等式.
∵△=4m2+4>0,∴x2－2mx－1=0必有两根,
故两根x1,x2要么都大于3,要么都小于1, 又∵ x1,x2=－1, ∴ x1,x2都只能小于1, ∴x=1时,y>0. ∴1－2m－1>0, ∴m<0.
例10:已知三个不等式:
x2－4x+3<0①
x2－6x+8<0②
x=－5时,y>0,且对称轴x=
m 2
>－5,且△≥0,
y
25 5m m 3 0
即m2 5
m2 4(3 m) 0
－5 O
x
m 7 得m 10
6 m 2
∴－6≤m≤2
y
－5 O
x
图3
思维发散:不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立, 求m的取值集合. 略解:本题只要求{x|1≤x≤3} {x|x2－2mx－1>0}即可,
(1)1根小于0,另一根大于2; (2)1根在0与1之间,1根在1与2之间; (3)2根都大于－5.
y
O
2
x
解:设二次函数y = x2－mx－m + 3.
图1
(1)若1根小于0,另1根大于2,由图1知:x = 0时,y<0;
x = 2时, y<0,即
m 3 0 4 2m m 3 0
m 0
则此函数图像是以x=
9 4
为对称轴,
开口向上的抛物线。借助图像，为使2<x<3时,
y<0,由于x=
9 4
介于2和3之间,
则有x=2时,y≤0,且x=3时, y≤0,
ห้องสมุดไป่ตู้a a
10 0 ,
9 0
即a的取值范围是a≤9.
例3:解不等式 x 1 1.
1 2x
解:原不等式 x 1 1.
1 2x
可转化为不等式组
3x 2x
20 1 0
①或
3x 2x
20 1 0
②不等式组①的解集为,
②的解集为 {x | 1 x 2}.
2
3
∴原不等式的解集是{x | 1 x 2}.
2
3
例4:解不等式x2－(a +1)x +a>0. 解:原不等式整理得(x－a)(x－1)>0.