专题研究乘法公式详细总结及典型例题

乘法公式专题
【主要内容】 1．两数和乘以它们的差
·推导：（a+b ）（a-b ）=2
2b ab ab a ++-（多项式乘法法则） 2
2b a -= （合并同类项） ·公式：（a+b ）(a-b)＝a 2
-b 2
·语言表示：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差 ·用面积表示：
矩形ABCD 的面积=（a+b ）（a-b ） 公式的结构特征：
①左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边：两项的平方差，其中被减数就是左边两个二项式中完全相同的项的平方。

③公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式 2．两数和的平方
·推导 2
22))(()(b ab ab a b a b a b a +++=++=+（多项式乘法法则）
2
22b ab a ++= （合并同类项）
·公式：()2
22
2b ab a b a +±=±
·语言表述：首平方、尾平方、乘积两倍放中央。

·用面积表示：
正方形ABCD 的面积=2
)(b a +
又正方形ABCD 又被分成了四块，这四块的面积分别是2a 、ab 、ab 、2
b
即2
222)(b ab a b a ++=+
·公式的结构特征：
（1）左边：两数和的平方。

即2
)(b a +
（2）右边：是二次三项式，这两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab b a 22
2
++ （3）公式中的a 、b 可以是数、单项式、多项式。

【乘法公式的变形】
(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2
② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2
⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2
⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)
=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4
⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz
【平方差、完全平方式例题讲解】
一、计算 1.（a+3）（a-3）（a 2+9）
2.(2x-1)(2x+1)(4x 2+1)(16x 4+1)
3.(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x+3y)
二、计算
1.(3a+b)2 =
2.(-x+3y)2 =
3.(-m-n)2=
三、简便计算
1.498×502 =
2.1022 =
3.20042-4006×2004+20032=
四、整体思想
1.(x-y-z)(x-y+z) =
2.(3a+4b-c)2=
五、逆用公式
1.（x+y ）2（x-y ）2-（x-y ）(x+y)(x 2+y 2) =
2.（x+2y ）2(x-2y)2=
3.（x+1）2(x-1)2(x 2+1)2=
六、灵活运用公式
1. 已知：a+b=3，ab=-12,求a 2+b 2和(a-b)2的值。

2. 已知：a+b=9，ab=14,求2a 2+2b 2的值。

3. 已知x+2y=7，xy=6,求（x-2y ）2的值。

七、整体思想灵活运用
已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a 2+b 2,ab,b
a
a b +的值。

八、平方差公式的灵活运用 （2+1）（22+1）(24+1)(28+1)(216+1)
九、完全平方式的运用
1. 已知：a 2+b 2+4a-2b+5=0,求a 、b 的值。

2. 已知：三角形a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状。

3. 已知：x-2y=3，xy=2,求x+2y 的值。

4. 若x-y=2,x 2+y 2=4,试x 2005+y 2005的值。

5. 已知a-b=3,b-c=2，求：a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值。

6. 试说明a(a+1)( a+2)(a+3)+1是一个完全平方式。

十、化简
（a+1）(a 2+1)(a 4+1)……（a 2000+1）
十一、 完全平方式的变形
1.已知： x+x 1
=3,求x 2+21x
的值。

2. .已知：x 2-5x+1=0,求x 2+
21
x
的值。

3. .已知：x+x 1
=4,则1
242++x x x 的值。

十二、 平方差公式的灵活运用 (1-)200011)(199911()311)(212
222--⋯⋯- 十三、 比较大小
若x 是不为0的有理数，已知：M=(x 2+2x+1)(x 2-2x+1),N=(x 2+x+1)(x 2-x+1),则M,N 的大小关系。

十四、 已知2a 2-8ab+17b 2-16a-4b+68≤0,求（a+b ）b 的值。

十五、 规律题
1.观察下列各式3×5=42-1，5×7=62-1，……，11×13=122-1，把你观察发现的规律用含一个字母n 的式子表示为___________ 十六、 整除题
数724-1可被40至50之间（不包括50）的两个整数整除，求这两个整数。

十七、 拔高
1.a-b=3,b-c=2,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值。

2.已知：a=2001x+1999,b=2001x+2000,c=2001x+2001,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值。

【乘法公式的用法】
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()
53532222
x y x y
+-
解：原式()()
=-=-5325922
22
44
x y x y
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：()()()()
111124-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a
()()=-+=-1114
4
8
a a a
例3. 计算：()()
32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]
=-++--+25312531y zx y zx ()()
=--+=-+---253149252061
2
2
2
2
2
y z x y x z y z x 三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换
位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()
5785782
2
abc abc +---+ 解：原式()()[]()()[]
=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c ()=-=-101416140160a b c a b a c
四、变用: 题目变形后运用公式解题。

例5. 计算：()()
x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]
=++-+++x y zz x y zz 2424 ()()
=++-=+-+++x y z z x y z x y x z y z
24122442
2
2
2
2
五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
()()()()(
)
()()122232442
222
222
2
2
2
22
....a b ab a b a b ab a b a b a b a b
a b a b ab
+-=+-+=+++-=++--=
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22
+的值。

解：()
a ba
b a b 222
2242526+=-+=+⨯=
例7. 计算：()()
a b c d b c d a ++-+++-2
2
解：原式()()[]()()[]
=++-++--b ca d b ca d 22
()()
[
]
=++-=++++-222224422
2222
b c a d a b c d b c a d
例8. 已知实数x 、y 、z 满足x y z x y y +==+-592，，那么x y z ++=23（ ）
解：由两个完全平方公式得：()()[]
ab a b a b =
+--1
4
22 从而 ()
[]
z x y y 22
214
59=--+- ()()
()
=
--+-=-+-=--+=--25414
529696932
222
y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22
30032
2322308
+-====++=+⨯+=
【学习乘法公式应注意的问题】
（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)
分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ． 解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．
例2 计算(-a 2+4b)2
分析：运用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是
公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）
（二）、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y+2yz-z2．
例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．
解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=(a9-1)2=a18-2a9+1
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=（28-1）（28+1）
=216-1
（三）、注意公式的推广
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2
解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．
（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；
(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．
分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．
解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．
例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．
分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a 2+b 2)，因而问题容易解决．
解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2 =2[(a+b)2+c 2]+2[c 2+(a-b)2] =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c 2 =4a 2+4b 2+4c 2
（五）、注意乘法公式的逆运用 例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)] =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac ．
例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．
解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2 =[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a 2-24ab+4b 2．
【怎样熟练运用公式】
（一）、明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．
（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y －3z ）2
，若视x+2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab+b 2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m+7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+2
n ）（2m －4
n ）变为2（2m+4
n ）（2m －4
n ）后即可用平
方差公式进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z ）（x －3y+6z ）变为（x+3y+4z －2z ）（x －3y+4z+2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－
2
21）（1－
2
31
）（1－
2
41
） (1)
2
91）（1－
2
101
），若分
别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式
均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．
即原式=（1－2
1
）（1+21）（1－31）（1+3
1）×…×（1－
10
1
）（1+
10
1
）
=2
1×2
3×3
2×
34
×…×109×1011 =21×1011=20
11． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a+b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．
如已知m+n=7，mn=－18，求m 2+n 2，m 2－mn+ n 2的值． 面对这样的问题就可用上述变式来解，
即m 2+n 2=（m+n ）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85， m 2－mn+ n 2= （m+n ）2－3mn=72－3×（－18）=103． 下列各题，难不倒你吧？！
1、若a+a
1=5，求（1）a 2+
2
1a ，（2）（a －a
1）2的值．
2、求（2+1）（22
+1）（24
+1）（28
+1）（216
+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．
（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）
【乘法公式应用的五个层次】
乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2，(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2，
(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．
第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例1计算
(2)(－2x －y)(2x －y)．
(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y 2－4x 2．
第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2计算
(1)19982－1998·3994＋19972；
解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972 =(1998－1997)2=1
第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．
例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．
解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)
=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]
=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．
第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．
例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．
解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，
a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351
第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综
合，
可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．
例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．
解：原式=1
4
[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-
1
4
[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2
【正确认识和使用乘法公式】
1、数形结合的数学思想认识乘法公式：
对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。

假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：
①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例1、 运用乘法公式计算：
（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2
②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、 运用乘法公式计算：
（1）(13a-14b )(-14b -a
3
); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2-b 2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n =(ab)n ,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、 计算：
（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2
④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
【巧用公式做整式乘法】
整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。

尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式 例1. 计算：()()
a b c d a b c d -+----- 简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。

通过观察，将整式()a b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++bd a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+bd a c ，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。

解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c =---+=++---()()b d a c b b d d a a c c
222
2
2
2
22
二. 先提公因式，再用公式
例2. 计算：8244x y x y +⎛
⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭
⎪
简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2
出来，变为244x y +⎛
⎝ ⎫⎭
⎪，则可利用乘法公式。

解：原式=+⎛
⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪24
444
x y x y
()=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥
⎥=-
244328
222
2x y x y
三. 先分项，再用公式 例3. 计算：()()
232236x y x y ++-+ 简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。

进而分析如何将常数进行变化。

若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

解：原式=[]()()[]()()24232423x y x y +--++- ()=+--=+++-()2423416121292
2
2
2
x y x x y y
四. 先整体展开，再用公式
例4. 计算：()()
a b a b +-+221 简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[]()a b -+21，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

解：原式[]=+-+()()ab ab 221 =+-++=-++()()()
a ba
b a b a b a b
2224222
五. 先补项，再用公式
例5. 计算：331313131842
+++++()()()() 简析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。

多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

解：原式=+++++-331313131312
842()()()()()
=+
+++-=
+
++-=
++-=+
-=
+3313131312
33131312
33131233125232
8422844881616()()()()()()()()()()
六. 先用公式，再展开 例6. 计算：1121131141110
2222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫
⎭⎪
… 简析：第一个整式1122-⎛
⎝ ⎫⎭⎪可表示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦
⎥⎥，由简单的变化，可看出整
式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫
⎭⎪
11211211311311411411101110
… =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=321243235434111091011
20
…
七. 乘法公式交替用
例7. 计算：()()()()
x z x x z z x z x x z z +-+-++2222
22 简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式[][]
=+++-+-()()()()x z x x z z x x z z x z
2222
22 [][]
=++--()()()()x z x z x z x z 2
2
[]=+-=+-=-=-+-()()()()()
x z x z x z x z x z x x z x z z 33
3
2
23
642246
33
八、中考与乘法公式
1. 结论开放
例1. （济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()xy xy x y +-=-22
或()()x y xy xy 22-=+-或()x y x x y y -=
-+2
222 在上述公式中任意选一个即可。

例2. （陕西中考）
如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a
b +-=-22
或()()a b a b a b 22-=+- 2. 条件开放
例3. （四川中考）多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个
整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出
()9163122
x x x ++=+ 或()916312
2
x x x +-=-只要再动点脑筋，
还会得出 ()
9181492191132422
22
x x x x x ++=+⎛⎝ ⎫⎭⎪
+-= 9191222
x x +-= 故所加的单项式可以是±
6x ，或814
4
x ，或-1，或-92x 等。

3. 找规律
例4. （武汉中考） 观察下列各式：
()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111
111111
223324……
由猜想到的规律可得()()
x xx x x n n n -+++++=--1112
…____________。

分析：由已知等式观察可知 ()
()
xx xx x x n n n n -+++++=---+111121… 4. 推导新公式
例5. 在公式()a a a +=
++1212
2中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列n 个等式
()()()()111211212221
313231
121
2222222
2+=+⨯++=+⨯++=+⨯++=++…
…
n n n
将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式： 123++++=
…n __________（用含n 的代数式表示） 分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，
将已知等式左右两边分别相加，得：
()
n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222
… 移项，整理得： ()1231
2
1++++=+…n n n 例6. （临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，
例如：()()
22322
a b a b a a b b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
()()
a b a b a a b b ++=++34322
（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的
几何图形。

解：（1）()()
2222522
a b b a a ba b ++=++ （2）如图7
（3）略
基础训练题：
1、（m －n ）（ ____）＝ －m 2+n 2
2、(x + y) (－x + y) = ______________, (－7m －11n) (11n －7m) = _____________
3、 (3x + ________)2 = __________+ 12x + ____________
4、__________________)2(__,__________)()(2
2
2
=--+-=+y x b a b a 5、20
3
2×1931＝（ ）·（ ）＝________________＝_______________
6、下列可以用平方差公式计算的是 ( )
A 、(x －y) (x + y)
B 、(x －y) (y －x)
C 、(x －y)(－y + x)
D 、(x －y)(－x + y) 7、下列各式中，运算结果是2
2169b a -的是 ( ) A 、)34)(34(a b a b --+- B 、)43)(43(b a b a --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+
8、运算结果为4
221x x +-的是 ( ) A 、2
)1(x - B 、2
2)1(x -- C 、2
2)1(x +- D 、2
2)1(x +
三、知识运用题：
9、（x －2y ＋1）（x －2y －1）＝（ ）2 －（ ）2＝_______________ 10、已知2
2
64b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )
A 、8
B 、±8
C 、±16
D 、±32
11、已知（a-b ）2= 18, ab = 20 , 则（a+b ）2的值为 （ ） A 、 98 B 、78 C 、58 D 、38
12、两个连续正偶数的平方差一定是 （ ） A 、4的倍数 B 、5的倍数 C 、6的倍数 D 、7的倍数 13、计算：①()
()
2
2
3131x x +- ②)1)(1)(1)(1(4
2-+++x x x x
③)2(2)()2)(2(2
2
xy x y x y x y x --++-+ ④（a+2b －3c ）（a －2b+3c ）
14、已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，求代数式2
22b a +－ab 的值。

15、计算：① 20082
－20072
＋20062
－20052
……＋22
－12
②（1－
221）（1－231）(1－241) ……(1－2
9
1
)(1－2101)
16、比较下面两列算式结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）
42
+32
2×4×3； (-2)2
+12
2×(-2)×1； 32
+32
2×3×3 通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明 17、若x －y = 2，x 2－y 2 =4，试求x
2004
+ y
2004
的值。

四、加深拓展题：
18、代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．
19、代数式8-（a+b ）2
的最大值是 ，当取得最大值时，a 与b 的关系是 。

20、若a-b=2，a-c=1，则(2a-b-c)2
+(c-a)2
= 。

21、已知x －
x 1＝2，求x 2＋21x ，x 4＋41
x
的值．
22、已知a 2b 2+a 2+b 2
+1=4ab ，求a ，b 的值。

23、①已知 16x 2
-2(m-1)xy+49y 2
为一个完全平方式，求m 的值。

②若多项式4x 2+4增加一个单项式后，使这三项可以配成一个完全平方公式，则增加的单项式可能是什么？。