八年级数学全等三角形考点笔记总结

八年级数学全等三角形考点笔记总结
单选题
1、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：
①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
解析：
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由
∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形
面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴1
2BD⋅AM=1
2
CE⋅AN
∵BD=CE
∴AM=AN
∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；
∵AF平分∠BFE，BF⊥CF
∴∠AFE=45°
故④正确．
故答案为C．
小提示：
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定
理是解答本题的关键．
2、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )
A．AB＝EDB．AC＝EF
C．AC∥EFD．BF＝DC
答案：C
解析：
根据全等三角形的判定方法即可判断.
A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；
B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；
C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；
D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；
故选C.
小提示：
此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
3、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8
答案：C
解析：
根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，
∴AC＝20−5−8＝7，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝7，
故选C．
小提示：
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
4、如图，AB=DC ， AE=DF ， CE=BF ， ∠B=55°，则∠C=
A．45°B．55°C．35°D．65°
答案：B
解析：
求出BE=CF，根据SSS证出△AEB≌△DFC，推出∠C=∠B，根据全等三角形的判定推出即可．解答：证明：∵CE=BF ，
∴CE−EF=BF−EF ，
∴BE=CF，
在△AEB和△DFC中，
{AB=DC AE=DF BE=CF
，
∴△AEB≌△DFC（SSS），
∴∠C=∠B=55°.
小提示：
本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出△AEB≌△DFC，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5、如图，已知∠1=∠2，要得到ΔABD≌ΔACD还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（）
A．∠BAD=∠CAD B．∠B =∠C
C．BD=CD D．AB=AC
答案：D
解析：
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
∵∠1=∠2，∠ADB+∠1=∠ADC+∠2
∴∠ADB=∠ADC
A．根据∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；B．根据∠ADB=∠ADC，AD=AD和∠B=∠C能推出△ABD≌△ACD（AAS），故本选项不符合题意；
C．根据BD=CD，∠ADB=∠ADC和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
D．根据AB=AC，∠ADB=∠ADC和AD=AD不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；
故选：D．
小提示：
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6、如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）
A．72°B．60°C．58°D．50°
答案：D
解析：
根据∠α是a、c边的夹角，50°的角是a、c边的夹角，然后根据两个三角形全等写出即可．
解：∵∠α是a、c边的夹角，50°的角是a、c边的夹角，
又∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是50°．
故选：D．
小提示：
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
7、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC 的距离是（）
A．1B．2
C．3D．4
答案：C
解析：
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，
∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD
∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12
OD=3
故选：C
小提示：
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
8、如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A ．72°
B ．60°
C ．58°
D ．50°
答案：D
解析：
根据∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，然后根据两个三角形全等写出即可．
解：∵∠α是a 、c 边的夹角，50°的角是a 、c 边的夹角，
又∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是50°．
故选：D．
小提示：
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
填空题
9、如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．
答案：45°
解析：
根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
解：如图所示：
由题意可得：tan∠3=BC
AB =1
2
,tan∠1=CF
EF
=1
2
∴∠1=∠3，
∵tan∠FAM=FM AM
=1
∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠FAM=45°所以答案是：45°．
小提示：
本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．
10、如图，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上一个动点，若PA=8，则PQ的最小值为______．
答案：8
解析：
根据角平分线的性质定理解答．
解：当PQ⊥OM时，PQ最小，
∵P是∠MON角平分线上的一点，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA=8，
所以答案是：8．
小提示：
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11、如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的坐标为(0,4)，点A的对应
x−1上，点B在∠A′AO的角平分线上，若四边形AA′B′B的面积为4，则点B′的坐标为________．点A′在直线y=5
4
答案：(5,3)
解析：
先求出点A′坐标，由此可知平移的距离，根据四边形AA′B′B的面积为4，可求出点B坐标和平移的方向、距离，则可求B′点坐标．
解：∵△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′与点A是纵坐标相同，是4，
x−1中，得到x=4，
把y=4代入y=5
4
∴A′点坐标为（4，4），
∴点A是沿x轴向右平移4个单位，AA′=4
过点B作BC⊥AA′，BD⊥AO，
∵点B在∠A′AO的角平分线上，且∠A′AB=∠OAB=45°，四边形AA′B′B的面积为4，
∴AA′·BC=4
∴BC=1
∴BC=BD=1
∴B点坐标为（1，3），
根据平移的性质可知点B也是向右平移4个单位得到B′．
∵点B（1，3），
∴B′（5，3）．
所以答案是：（5，3）．
小提示：
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、平移性质，通过求平移后的坐标得到平移的距离是解决本题的的关键．
12、如图, 在△ABC中, ∠ACB的平分线交AB于点D, DE⊥AC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, △ACD与△CDF 的面积分别为10和4, 则△AED的面积为______
答案：3
解析：
如图（见解析），过点D作DG⊥BC，根据角平分线的性质可得DE=DG，再利用三角形全等的判定定理得出ΔCDE≅ΔCDG,ΔADE≅ΔFDG，从而有SΔCDE=SΔCDG,SΔADE=SΔFDG，最后根据三角形面积的和差即可得出答案．
如图，过点D作DG⊥BC
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC
∴DE=DG
∵CD=CD
∴ΔCDE≅ΔCDG(HL)
∴SΔCDE=SΔCDG
又∵AD=FD
∴ΔADE≅ΔFDG(HL)
∴SΔADE=SΔFDG
∴{SΔACD=SΔADE+SΔCDE=10
SΔCDE=SΔCDG=SΔCDF+SΔFDG=4+SΔADE
则SΔADE+4+SΔADE=10
解得SΔADE=3
所以答案是：3．
小提示：
本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是
解题关键．
13、如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．
答案：7
解析：
由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则
AB=AE+BE=AD+BC=7．
所以答案是：7.
点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．
解答题
14、如图，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2．求证：△ABC≌△ADE．
答案：证明见解析
解析：
试题分析：由题目已知条件可得∠EAC+∠2=∠DAE、∠1+∠EAC=∠BAC、∠1=∠2，利用角的加减关系可得∠BAC=∠DAE；结合AC=AE、∠C=∠E，利用两角及其夹边对应相等的两个三角形全等即可解答本题.
试题解析：∵∠1+∠EAC=∠BAC，∠EAC+∠2=∠DAE，∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE.
∵∠BAC=∠DAE，AC=AE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE.
15、如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
答案：(1)见解析；
(2)∠AEC=102°
解析：
（1）由BF＝CE，得BE＝CF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DFC，可知∠D＝72°，再利用三角形外角的性质∠DFB＝∠C+∠D＝102°，从而得出答案．
(1)
解：证明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
{AB=CD
∠B=∠C
BE=CF
∴△ABE≌△DCF（SAS），(2)
解：由（1）知，△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∠A＝∠D，
∵∠AEB+∠AEC＝180°
∠DFC+∠DFB=180°
∴∠AEC＝∠DFB，
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠D＝72°，
又∵∠C＝30°，
∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°，
∴∠AEC＝102°．
小提示：
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据．。