数乘向量教学设计
教学设计1：6.1.4 数乘向量~6.1.5 向量的线性运算
6.1.4数乘向量~6.1.5向量的线性运算课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义.教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算.教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.核心概念掌握知识导学知识点一数乘向量(1)定义：给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa.(2)方向①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：a．当λ>0时，与a的方向相同；b．当λ<0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘的运算简称为□07数乘向量．其结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线(平行)，即□08λa∥a.(3)几何意义数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a.(4)运算律当λ和μ都是实数，且a是向量时：λ(μa)＝(λμ)a.数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.知识点二向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算①对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a.②对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．新知拓展λa的理解(1)数乘向量定义的实质①条件：一个实数与一个向量相乘．②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．(2)从两个角度看数乘向量 ①代数角度：(ⅰ)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量； (ⅱ)λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. ②几何角度：(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍． (3)对数乘向量的运算律的两点说明①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数． ②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． (4)单位向量给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，则a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量可以进行加减运算．( ) (2)λa 的方向与a 的方向一致．( ) (3)a 的单位向量a 0与a 方向相反．( )(4)对于任意实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)2(3a ＋4b )＝________.(2)若a ＝23e ，b ＝13e ，则a ＝________b .(3)若|a |＝3，b 与a 方向相反，且|b |＝6，则b ＝________a . 【答案】 (1)6a ＋8b (2)2 (3)－2核心素养形成题型一 数乘向量例1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【解析】 当λ<0时，a 与－λa 的方向相同，当λ>0时，a 与－λa 的方向相反，因此A 不正确；当|λ|<1时，|－λa |＝|λ||a |<|a |，因此B 不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，故C 正确；|－λa |是实数，|λ|a 是向量，不可能相等，故D 不正确．故选C.【答案】 C 金版点睛(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa 的方向有关，λ的大小与λa 的模有关．(2)若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0.(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 跟踪训练1如果c 是非零向量，且a ＝－2c,3b ＝c ，那么a ，b 的关系是( ) A ．相等 B ．共线 C ．不共线D ．不能确定【解析】 ∵a ＝－2c,3b ＝c 且c 为非零向量，∴a ＝－6b ，∴a 与b 共线且方向相反. 【答案】 B题型二 数乘向量的简单应用例2 若AP →＝13AB →，AB →＝λBP →，则实数λ的值为( )A.32 B ．－32C.23D ．－23【解析】 AP →＝13AB →，如图．结合图形可知AB →＝－32BP →.【答案】 B 金版点睛解决有关数乘向量的问题关键要确定两个相关向量它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化． 跟踪训练2设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积之比是( ) A ．1∶3 B ．1∶2 C ．2∶3 D ．3∶4 【解析】 作出图形如图所示．∵CP →＝2P A →，∴P 为边AC 上靠近A 点的三等分点．又△P AB 与△PBC 的底边长之比为|P A →|∶|CP →|＝1∶2，且高相等， ∴△P AB 与△PBC 的面积之比为1∶2. 【答案】 B题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算 例3 计算下列各式并填写结果： (1)4×12a ＋2(a ＋b )＋4b ＝________；(2)2(3a ＋2b )＋3(a ＋5b )＋5(a ＋4b )＝________. 【解析】 (1)原式＝2a ＋2a ＋2b ＋4b ＝4a ＋6b .(2)原式＝6a ＋4b ＋3a ＋15b ＋5a ＋20b ＝(6＋3＋5)a ＋(4＋15＋20)b ＝14a ＋39b . 【答案】 (1)4a ＋6b (2)14a ＋39b 金版点睛(1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同．(2)数乘向量的运算律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量．(3)数乘有两个分配律(λa ＋μa ＝(λ＋μ)a 可称为第一分配律，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律． 跟踪训练3设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，那么AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．相等B ．模相等C ．同向平行D ．反向平行【解析】 易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，所以AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋13BC →＋BA →＋13AC →＋CB →＋13BA →＝CB →＋13(BC →＋AC →＋BA →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行.【答案】 D题型四 向量的线性运算例4 (1)化简：3a －[6a －2b －4(2a －3b )]＋(a ＋8b )；(2)把满足5x －6y ＝a ，－4x ＋5y ＝b 的向量x ，y 用a ，b 表示出来．解：(1)3a －[6a －2b －4(2a －3b )]＋(a ＋8b )＝3a －(6a －2b －8a ＋12b )＋(a ＋8b )＝(3－6＋8＋1)a ＋(2－12＋8)b ＝6a －2b .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝a ， ①－4x ＋5y ＝b . ②①×4＋②×5得y ＝4a ＋5b ， ①×5＋②×6得x ＝5a ＋6b ， 所以x ＝5a ＋6b ，y ＝4a ＋5b . 金版点睛 1.线性运算形式 (1)几何运算①三角形法则；②平行四边形法则；③(2)代数运算向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用． 2．数乘向量满足的运算律 (1)(λμ)a ＝λ(μa )． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ，μ为实数)．跟踪训练4化简：23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ). 解：原式＝23⎝⎛⎭⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . 题型五 利用向量数乘运算表示相关向量例5 如图所示，已知平面内的两点P 与Q 关于点A 对称，Q 与R 关于点B 对称，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示PR →.解：解法一：分别连接AB ，OR ，OP ，如右图所示，已知P 与Q 两点关于A 点对称，所以OA →＝12(OP →＋OQ →)．所以OP →＝2OA →－OQ →＝2a －OQ →.又Q 与R 两点关于B 点对称，所以OB →＝12(OQ →＋OR →)．所以OR →＝2OB →－OQ →＝2b －OQ →.所以PR →＝OR →－OP →＝(2b －OQ →)－(2a －OQ →)． 所以PR →＝2b －2a .解法二：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋QA →，OR →＝OB →＋BR →＝OB →＋QB →，所以PR →＝OR →－OP →＝OB →－OA →＋QB →－QA →＝OB →－OA →＋AB →＝OB →－OA →＋OB →－OA →＝2(OB →－OA →)＝2b －2a .解法三：在△PQR 中，因为A 与B 分别为边PQ 和QR 的中点，所以AB →＝12PR →.所以PR →＝2AB →＝2(OB →－OA →)＝2b －2a .金版点睛 用已知向量表示未知向量的求解思路跟踪训练5如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，且BM ＝13BC ，CN＝13CD ，试用a ，b 表示 OM →，ON →，MN →.解：BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝13BC →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .又因为OD →＝a ＋b ，C N →＝13C D →，所以ON →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝⎝⎛⎭⎫23a ＋23b －⎝⎛⎭⎫16a ＋56b ＝12a －16b . 题型六例6 已知非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：可以通过证明向量AB →，AD →共线来证明A ，B ，D 三点共线．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6AB →，∴向量AD →与AB →共线．又向量AB →与AD →有共同的起点A ，故A ，B ，D 三点共线．金版点睛 解决三点共线问题的思路先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥a ”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线． 跟踪训练6已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围． (1)证明：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →， ∴AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)．又AM 与AB 有公共点A ，故A ，B ，M 三点共线． (2)解：由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向， 且|AM →|>|AB →|>0，故λ>1.随堂水平达标1．点C 是线段AB 的中点，AB →＝λAC →，那么λ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2【解析】 因为点C 是线段AB 的中点，所以AC →＝CB →，所以AB →＝2AC →，即λ＝2. 【答案】 D2．下列说法正确的为( ) A ．任意两个单位向量都相等 B ．与a 同向的单位向量是a|a |C ．2019 cm 长的有向线段不可能表示单位向量D ．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆【解析】 A 错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；B 错误，若a ＝0，则没有相应的单位向量；C 错误，一个单位长度取2019 cm 时，2019 cm 长的有向线段恰好表示单位向量；D 显然正确． 【答案】 D3．化简112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]，其最简式为( )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a【解析】 原式＝112×(2×2－4×4)a ＋112×(2×8＋4×2)b ＝－a ＋2b .【答案】 B4．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①②正确，③错误，向量线性运算的结果依然是向量，即(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. 【答案】 C5．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则向量EF →＝____________.【解析】 在四边形ABCD 中取AD 的中点M ，连接ME ，MF ，所以ME 为△ACD 的中位线，MF 为△DAB 的中位线，故EF →＝MF →－ME →＝12AB →－12DC →＝12(AB →＋CD →)＝12[(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )]＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c6．已知平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于点E ，用向量法证明：BE ＝14BA ．证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ．设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a ，BE ′→＝OE ′→－b ，E ′A →＝a －OE ′→.∵3BE ′→＝E ′A →，∴3(OE ′→－b )＝a －OE ′→，∴OE ′→＝14(a ＋3b )＝34⎝⎛⎭⎫b ＋13a ，∴OE ′→＝34OD →，∴O ，E ′，D 三点共线，故E ，E ′重合，∴BE ＝14BA ．。
《2.2.3向量的数乘运算》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的数乘运算》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“向量的数乘运算”。
向量作为数学中的一个重要概念，在物理、工程、经济等多个领域有着广泛的应用。
掌握向量的数乘运算是理解和应用向量知识的基础，对于提升学生的数学素养和解决实际问题能力具有重要意义。
二、学习目标1. 理解向量的数乘概念，掌握数乘运算的法则。
2. 能够正确进行向量的数乘运算，并能够用数乘运算解决简单的实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
4. 激发学生的学习兴趣，提高自主学习和合作学习的能力。
三、评价任务1. 知识理解评价：通过课堂提问和课后小测验，评价学生对向量数乘概念的理解程度。
2. 运算能力评价：通过课堂练习和课后作业，评价学生数乘运算的准确性和速度。
3. 问题解决能力评价：通过实际问题解决，评价学生运用向量数乘知识解决问题的能力。
4. 学习过程评价：通过观察学生的学习态度、合作学习和自主学习的表现，评价学生的学习过程。
四、学习过程1. 导入新课：通过复习之前学过的内容，引出向量的概念，为学习数乘运算做铺垫。
2. 新课讲解：通过举例说明向量的数乘概念，讲解数乘运算的法则，强调运算过程中的注意事项。
3. 课堂练习：学生独立完成数乘运算的练习题，教师巡视指导，及时解答学生疑问。
4. 小组讨论：学生分组进行数乘运算的讨论，分享解题方法和经验，加深对数乘运算的理解。
5. 归纳总结：教师总结本课重点内容，强调数乘运算的重要性和应用价值。
6. 拓展延伸：介绍向量数乘在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣和求知欲。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对向量数乘概念的理解和运算的准确性。
2. 课后作业：布置适量的数乘运算练习题，要求学生独立完成并提交作业。
3. 作业评讲：教师评讲课后作业，针对学生的错误进行指导，加强学生对数乘运算的掌握。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思本课学习的过程和结果，总结自己的不足之处，为今后的学习提供借鉴。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案概述：本教案旨在拓展学生对向量的数乘运算的理解。
数乘运算是向量的最基本运算之一，能够将向量拉伸或缩小。
同理，也可以将向量反向或者使其朝向反方向。
教学目标：- 让学生了解向量的数乘运算是什么，以及它对向量的影响。
- 通过实践演练，让学生掌握如何进行向量的数乘运算。
- 让学生懂得如何应用向量的数乘运算解决实际问题。
课程内容：1. 什么是向量的数乘运算向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
例如，将向量 a 与标量 k 相乘，可以得到一个新向量 b = ka ，该向量的大小是原向量大小的 k 倍，而且朝向与原来的向量一致（如果 k 不是负数的话）。
2. 向量的数乘运算的影响向量的数乘运算对向量的影响主要取决于乘数的正负。
- 如果乘数 k 为正数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，朝向保持不变。
- 如果乘数 k 为负数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，但方向会与原向量相反。
- 如果乘数 k 为零，得到的新向量大小为零向量，方向无意义。
3. 如何进行向量的数乘运算在计算时，只需要将向量中每个分量乘以标量即可。
例如，若将向量 a 与标量 k 相乘，得到的新向量分量分别为 kb1，kb2，kb3，其中b1、b2、b3 是原向量 a 的对应分量。
4. 实际应用向量的数乘运算在实际中有许多应用，例如：- 将向量的大小缩放，使其适应计算的要求。
- 控制物体的移动速度和旋转角度。
- 调节图像的亮度和对比度等。
5. 注意事项在进行向量的数乘运算时，需要注意以下几点：- 数乘运算只能用于向量之间，不能用于标量之间。
- 向量的朝向保持不变，乘数的正负影响朝向。
- 数乘运算的结果是一个向量，大小和方向都可能改变。
教学结论：通过本教案的学习，相信学生已经全面掌握了向量的数乘运算的原理和操作方法。
在实际应用中，希望学生能灵活运用向量的数乘运算解决问题，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
向量的数乘教案
向量的数乘教案教案：向量的数乘教学目标：1. 了解向量的数乘的概念和性质。
2. 掌握向量的数乘的计算方法。
3. 能够应用向量的数乘解决简单的几何问题。
教学重点：1. 向量的数乘的概念和性质。
2. 向量的数乘的计算方法。
教学难点：1. 向量的数乘的性质的理解与运用。
2. 向量的数乘与几何问题的联系。
教学准备：白板、黑板笔、教学课件、练习题。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 向学生展示一个重量物品的图像，并询问学生这个图像代表的是什么，并引导学生思考一个问题：如果这个重量物品增加2倍重量，该如何表示？2. 引导学生思考数乘概念，引出向量的数乘的概念。
Step 2：向量的数乘的概念与性质（10分钟）1. 讲解向量的数乘的概念：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。
2. 引导学生思考数乘的性质：数乘的结果仍然是一个向量，数乘后的向量与原向量的方向相同或相反，数乘后的向量的大小是原向量的大小的乘积。
Step 3：向量的数乘的计算方法（15分钟）1. 讲解向量的数乘的计算方法：将实数分别乘以向量的每个分量。
2. 在黑板上进行示范演示，引导学生逐步理解向量的数乘的计算方法。
Step 4：向量的数乘的应用（15分钟）1. 引导学生思考数乘在几何问题中的应用。
例如，一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过3小时，汽车行驶的距离如何表示？2. 让学生独立思考并解答应用题，加深对向量的数乘的应用理解。
Step 5：练习与巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，再进行学生讲解答案。
2. 在学生出现错误或不理解的地方进行解答和讲解。
Step 6：小结与反思（5分钟）1. 总结向量的数乘的概念、性质和计算方法。
2. 引导学生思考向量的数乘在几何问题中的应用。
教学延伸：1. 调查与讨论向量的数乘在实际生活中的应用，例如速度、力和功等。
2. 深入研究向量的数乘的性质和计算方法，并解决更复杂的几何问题。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
向量的数乘运算教学设计 2023-2024学年高一数学人教版
《向量的数乘运算》教学设计一、教学目标1.知识与技能：掌握向量数乘运算的定义、性质及几何意义。
能够熟练运用向量数乘运算解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生的数学逻辑思维和探究能力。
通过小组讨论和问题解决，提高学生的合作与沟通能力。
3. 情感、态度与价值观：激发学生对向量运算的兴趣，培养其积极探索的学习态度。
引导学生体会向量数乘运算在解决实际问题中的应用价值。
二、教学重难点1. 教学重点：向量数乘运算的定义、性质及几何意义。
2. 教学难点：向量数乘运算的几何解释和实际应用。
三、教学准备1. 教具准备：多媒体课件，包含向量数乘运算的定义、性质、几何解释和例题等。
向量数乘运算的几何模型或教学软件。
2. 学生准备：预习向量数乘运算的基本概念。
准备笔记本和书写工具，以便记录课堂要点和练习。
四、教学过程1. 导入新课（5分钟）回顾向量加法和减法的概念，以及它们在解决实际问题中的应用。
引出向量数乘运算的概念，解释数乘运算在向量运算中的重要性。
2. 新课讲授（25分钟）定义与性质（5分钟）+ 阐述向量数乘运算的定义：一个向量与一个实数的乘积是一个新的向量，其长度和方向由原向量和实数共同决定。
+ 推导数乘的基本性质，如结合律、分配律等，并通过实例进行演示。
+ 强调数乘运算与标量乘法的区别和联系。
几何解释（5分钟）+ 使用几何模型或教学软件，演示向量数乘的几何意义。
+ 解释正数乘向量、负数乘向量、零乘向量的几何效果，并与学生进行互动讨论。
+ 强调数乘运算在改变向量长度和方向上的作用，以及与向量加法和减法的区别。
应用示例（10分钟）+ 力的缩放：- 例子：一个物体受到一个大小为10N的力F，现在我们要将这个力放大2倍。
- 解决方案：使用数乘运算，新的力F' = 2F = 2 10N = 20N。
- 几何解释：力的方向不变，但大小变为原来的2倍。
+ 速度的倍增：- 例子：一辆汽车以5m/s的速度行驶，司机踩下油门后，速度增加了1倍。
数乘向量教学设计
5.3.1 数乘向量
【教学目标】
1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．
2. 理解并掌握平行向量基本定理．
3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．
【教学难点】
对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
【教学过程】。
人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》教学设计 (一)
人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》教学设计 (一)本次教学设计是针对人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》这一章进行的。
本设计旨在通过针对性的教学方式，使学生们能够正确地理解数乘向量的定义和计算方法，掌握数乘向量的几何意义和应用场景，同时培养学生们的综合运算能力和思维能力。
一、教材分析本章内容主要包括：向量的数乘定义、数乘向量的几何意义、数乘向量的计算和应用。
与前几章内容相比，本章知识点理论性较强，需要学生具备一定抽象思维能力。
二、教学目标1. 理解数乘向量的定义和概念；2. 掌握数乘向量的几何意义和应用场景；3. 能够正确地进行数乘向量的计算；4. 培养学生们的综合运算能力和思维能力。
三、教学过程1. 导入环节布置学生自学《数乘向量》这一章的相关内容，预习内容包括向量的概念、向量加法以及向量坐标表示法。
并邀请学生们在大班讲解中分享自己的理解以及疑问。
2. 理论讲解（1）向量的数乘定义引入定义：“一个实数k与向量a相乘得到的向量ka，其方向不变，长度为|k|与a长度的乘积，即ka=|k| |a|cosα，其中α为ka、a的夹角。
”（2）数乘向量的几何意义直观展示数乘向量对于向量的伸缩效果，并从数学公式的角度解释几何变化。
（3）数乘向量的计算通过例题，引导学生应用数乘向量的计算方法。
3. 拓展练习考题分析：通过几道拓展练习，检验学生掌握数乘向量的方法，并应用数乘向量的概念解决实际问题。
举例如下：（1）设A(-3,5),B(1,-4)，C(-2,1)，D(6,-3)，E(-4,7)分别是向量a,b,c,d,e的终点，且向量a,b,c平行，向量d,e平行，且与向量a,b,c夹角相等，若向量a的模为3，则向量d的模为______。
(解析：数乘向量可以用来求不等长向量间的夹角大小）（2）设两个向量a=(1,2,3),b=(-1,0,2)。
若向量c满足a+b+2c=0，则c是( )______。
A．(0,0,0) B．(0,0,1) C．(0,-1,1) D．(1,-2,2) （解：三元一次方程组）4. 总结在本次教学中，我们探究了数乘向量的概念和运算方法。
数乘向量教案
数乘向量教案数乘向量教案一、教学目标：1.了解数乘向量的概念和性质；2.能够进行数乘向量的计算；3.能够应用数乘向量解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点：1.理解数乘向量的含义；2.掌握数乘向量的运算规律。
三、教学难点：1.掌握数乘向量的运算性质；2.能够正确应用数乘向量解决问题。
四、教学准备：白板、黑板、投影仪、教学课件、习题手册、学生练习册。
五、教学过程：1.导入（5分钟）引导思考：你知道什么是向量吗？向量有哪些性质？向量能够进行哪些运算？激活前期知识，为本节课的学习做铺垫。
2.概念讲解（10分钟）向量的数乘：数乘向量，即将一个实数与一个向量相乘的运算。
具体表达式为：k·A，其中k为实数，A为向量。
数乘向量的含义：数乘向量就是将一个向量的大小进行伸缩或缩小。
性质：a) 零向量的数乘：0·A=0；b) 数与向量的乘法分配律：(k+m)·A=k·A+m·A；c) 数与向量的乘法结合律：k·(m·A)=(km)·A；d) 数的加法与向量的乘法交换律：k·(A+B)=k·A+k·B。
3.计算例题（15分钟）通过例题的演示，引导学生进行数乘向量的计算。
例题一：计算2·(3,4)。
解：2·(3,4)=(2·3,2·4)=(6,8)。
例题二：计算(-1)·(2,5)。
解：(-1)·(2,5)=(-1·2,-1·5)=(-2,-5)。
4.练习（10分钟）让学生进行练习，巩固数乘向量的计算。
练习一：计算3·(1,2,3)。
练习二：计算(-2)·(-1,3)。
5.实际应用（15分钟）通过实际问题进行应用，激发学生的思维和创新能力。
问题一：小明去市场买柠檬，他买了2斤柠檬，每斤价格为3元。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。
三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。
六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。
教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。
向量的数乘教案
向量的数乘教案教案标题：向量的数乘教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质。
2. 能够进行向量的数乘运算，并应用于解决实际问题。
3. 掌握向量的数乘运算的基本性质和规律。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、白板、黑板、彩色粉笔、计算器、实物向量模型等。
2. 学生准备：笔记本、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：Step 1：导入与引入（5分钟）1. 教师通过呈现一个实际生活中的例子，引导学生思考向量的数乘运算的应用场景，并激发学生的学习兴趣。
2. 教师简要介绍向量的数乘运算的概念，并与学生共同探讨向量的数乘运算的意义。
Step 2：概念解释与讲解（10分钟）1. 教师通过幻灯片或黑板，向学生解释向量的数乘运算的定义和表示方式。
2. 教师讲解向量的数乘运算的基本性质和规律，并通过示例进行说明和演示。
Step 3：数学公式的推导与探索（15分钟）1. 教师与学生一起推导向量的数乘运算的数学公式，并解释每一步的推导过程。
2. 学生分组合作，通过小组讨论和探索，发现向量的数乘运算的特点和规律。
Step 4：练习与巩固（20分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并在黑板上进行解题过程的讲解。
2. 学生完成练习题后，教师与学生共同讨论和解答问题，帮助学生理解和掌握向量的数乘运算的方法和技巧。
Step 5：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际生活中的应用，并通过实例进行说明。
2. 学生分组进行小研究，选择一个实际问题，运用向量的数乘运算进行分析和解决，并向全班进行汇报。
Step 6：总结与归纳（5分钟）1. 教师与学生共同总结向量的数乘运算的基本概念、性质和规律。
2. 教师强调学生在课后复习时应重点掌握的知识点和解题技巧。
Step 7：作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后作业，要求学生巩固和应用向量的数乘运算的知识。
2. 教师提醒学生及时复习和解决问题，以便在下节课进行检查和讨论。
教学设计1：2.1.4 数乘向量
必修四第二章 平面向量2．1.4 数乘向量教学目的：知识目标：掌握向量加减法的混合运算，并理解其几何意义通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：向量数乘的定义及运算教学难点：向量数乘的定义及运算教学过程：导入新课Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.1.一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当 时，λa a λ||||||a a λλ=0λ>a λa 0λ<a λa 0λ=0a λ=2.实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）；（2）（第一分配律）；（3）（第二分配律）．特别地，（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）λ（a －b ）＝λa －λb说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .说明：(1)推证过程引导学生自学；(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.应用示例例1 计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式＝(－3⨯4) a ＝－12a ；（2）原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b（3）原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c 。
数乘向量教案
学科：数学上课日期：2014年12月15—12月19日班级或专业：13秋数学模块D本课主题：数乘向量一、条件分析学情分析本节课是在学生已经学习了向量的加、减法的基础上进行学习的，虽然学生已经了解了向量的一些基本运算，但在本节课中出现了符号的判断和向量的证明，是本节课的重点也是学生的难点。
教材分析学生已学习了向量的加、减法运算，知道用作图的方法来求两个向量的和向量和差向量，在本节课的学习中，学生会遇到的困难有：数乘向量运算时的符号确定；数乘向量的证明，为此在教学中要注重数形结合的学习方法。
二、教学结构化一）三维目标知识与能力目标1.通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
2.熟练运用定义、运算律进行有关计算。
3.能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
过程与方法目标理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
情感态度与价值观通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
三、 教学过程一、知识回顾问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的运算法则？二、新知探究 我用的力的大小记为【探究1】 已知非零向量a ，作出a 21，aa 3-2和和向量a 的积叫做数乘向量。
a k 。
0=a k ；a k a k k a a k .=倍，即的模的的模是；方向相同；与a a k 方向相反；与a a k 课堂练习已知非零向量a ，作出a 31，aa 23-和（1）)().(a n m a n m =；练习册P113、114页。
20-21版：6.1.4 数乘向量（创新设计）
6.1.4 数乘向量新知探究在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍. 一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式v t ＝gt 可知，它在1 s 末和 2 s 末的速度大小分别为v 1＝9.8 m/s 和v 2＝19.6 m/s.显然v 2＝2v 1，并且方向都是竖直向下.问题 在上述情景中的速度有什么关系？ 提示 有倍数关系.1.数乘向量定义 结果还是向量且与原向量平行一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a ，规定它们的乘积是一个向量，记作λa ，其中：(1)当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向如下： ①当λ>0时，与a 的方向相同；②当λ<0时，与a 的方向相反. (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.上述实数λ与向量a 相乘的运算简称为数乘向量. 2.数乘向量的几何意义把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3.数乘向量的运算律 λ(μa )＝(λμ)a . 4.向量平行与三点共线(1)向量平行：如果存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)，则b ∥a . (2)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得AB →＝λAC →，则AB →与AC →平行且有公共点A ，从而A ，B ，C 三点一定共线.拓展深化[微判断]1.－a ＝(－1)·a .(√)2.λa ∥a .(√)3.0·a ＝0.(×) 提示 0·a ＝0.4.λ·0＝0.(×) 提示 λ·0＝0. [微训练]1.存在两个非零向量a ，b ，满足b ＝－3a ，则有( ) A.a 与b 方向相同 B.a 与b 方向相反 C.|a |＝|3b |D.|a |＝|b |解析 ∵－3<0，∴b 与a 方向相反. 答案 B2.点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A.－2AB→ B.13AB →C.－13AB →D.2AB →解析 ∵AC →＝3AB →，∴BC →＝2AB →.答案 D3.已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 解析 由于|a |＝4，|b |＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 答案 2 [微思考]1.若λa ＝μa ，λ一定等于μ吗？提示 当a ＝0时，λ，μ∈R ，λ不一定等于μ. 2.若λa ＝0，a 一定是零向量吗？提示 不一定.当λa ＝0时，有下列三种情况. ①⎩⎨⎧λ＝0，a ≠0；②⎩⎨⎧λ≠0，a ＝0；③⎩⎨⎧λ＝0，a ＝0.题型一 向量的数乘及其几何意义【例1】 (1)化简下列各式. ①6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a ；②－12×4×9a .(2)任作一向量OA→，再作向量OB →＝2OA →，OC →＝－13OA →.解 (1)①6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a ＝－2a ，②－12×4×9a ＝－2×9a ＝－18a .(2)当OA →＝0时，OB →＝2OA →＝2·0＝0，OC →＝－13OA →＝－13·0＝0；当OA→≠0时，如图延长OA 到点B 使|OB |＝2|OA |，则OB →＝2OA →，反向延长AO 至C ，使|OC |＝13|OA |，则OC→＝－13OA →.规律方法 (1)向量的数乘运算注意运用运算律λ·(μa )＝(λμ)a . (2)给一向量a ，作向量m a 时，注意运用向量数乘的几何意义. 【训练1】 (1)计算下列各式： ①3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ；②－3×(－2)×5a .(2)已知向量e 1，e 2不共线，求作向量2e 1－3e 2.解 (1)①3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·a ＝－32a ，②－3×(－2)×5a ＝[－3×(－2)×5]×a ＝30a .(2)在e 1，e 2所在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2.延长OA 到A ′，使|OA ′|＝2|OA |，则OA →′＝2e 1， 法一 延长BO 至B ′，使|OB ′|＝3|OB |，则OB →′＝－3e 2. 再利用向量加法的平行四边形法则，得到 OG →＝OA →′＋OB →′＝2e 1＋(－3e 2)＝2e 1－3e 2.法二 延长OB 到B ′，使|OB ′|＝3|OB |，则OB→′＝3OB →，再利用向量减法的三角形法则得到向量B ′A ′→＝OA →′－OB →′＝2e 1－3e 2.题型二 判定向量平行【例2】 (1)已知a ＝13e ，b ＝－5e ，判断a 与b 是否平行，并求|b ||a |的值. (2)已知向量a ＝12c ，b ＝23c ＋a ，求证：a ∥b .(1)解 由a ＝13e 得e ＝3a ，代入b ＝－5e ，得b ＝－5×(3a )＝－15a ，∴a ∥b ，且|b |＝15|a |，即|b ||a |＝15.(2)证明 ∵a ＝12c ，∴c ＝2a ， ∵b ＝23c ＋a ＝43a ＋a ＝73a ， ∴a ∥b .规律方法 如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥a ，且|b |＝|λ||a |.【训练2】 (1)已知a ＝－13e ，b ＝4a ，判断b 与e 是否共线，并求|b |∶|e |. (2)已知a ＝12e 1，e 1＝3e 2，b ＝－4e 2，判断a 与b 是否平行，并求|a |∶|b |. 解 (1)∵a ＝－13e ，b ＝4a ， ∴b ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13e ＝－43e ，∴b 与e 共线，且|b |＝43|e |，即|b ||e |＝43.(2)∵a ＝12e 1，e 1＝3e 2，b ＝－4e 2，∴e 1＝2a ，e 2＝13e 1， b ＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 1＝－4×13×2a ＝－83a ，∴a 与b 平行，且|b |＝83|a |，即|a ||b |＝38.题型三 判定三点共线【例3】 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A.A ，B ，D B.A ，B ，C C.B ，C ，DD.A ，C ，D(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.P ，A ，C 三点共线B.P ，A ，B 三点共线C.P ，B ，C 三点共线D.以上均不正确解析 (1)BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，又BD →，AB→有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线，故选A. (2)在△ABC 中，取AC 的中点D ，则BC→＋BA →＝2BD →，∴2BD→＝2BP →，∴D 和P 重合，∴P ，A ，C 三点共线，故选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 三点共线与向量共线的区别是还需两共线向量有公共点.【训练3】 (1)已知AB→＝2e ，BC →＝－12e ，判断A ，B ，C 三点是否共线，如果共线，求出AB ∶BC .(2)已知AB→＝e ，CD →＝－e ，A ，B ，C 三点一定共线吗？解 (1)∵AB→＝2e ，∴e ＝12AB →，∴BC→＝－12e ＝－12×12AB →＝－14AB →， ∴AB→∥BC →.又AB→，BC →有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线，且|AB →|＝4|BC →|，即AB ∶BC ＝4.(2)AB→＝e ，CD →＝－e ，∴AB →∥CD →，但由于AB →，CD →不一定有公共点，∴A ，B ，C 三点不一定共线.一、素养落地1.通过学习数乘向量，培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理素养.2.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.3.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.4.向量的数乘注意运用运算律λ·(μa )＝(λμ)a ，注意判定向量平行(共线)与判定三点共线的差别. 二、素养训练1.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD→等于( )A.BC→＋12BA → B.－BC→＋12BA → C.－BC →－12BA →D.BC →－12BA →解析 CD→＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.答案 B2.下列算式中不正确的是( ) A.AB →＋BC →＋CA →＝0 B.AB→－AC →＝BC → C.0·AB→＝0 D.λ(μa )＝(λμ)a 解析 AB →－AC →＝CB →，而不是BC →，故B 错误.答案 B3.若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则b ＝________a .解析 令b ＝λa (λ<0)，则|b |＝|λ||a |，∴2＝3|λ|，|λ|＝23，又λ<0，∴λ＝－23. 答案 －234.(1)命题|λa|＝λ|a|为真命题的条件是什么？(2)若向量a表示小船沿东北方向行驶了2 km，则向量3a和－12a的意义是什么？解(1)当λ≥0或a＝0时，|λa|＝λ|a|是真命题.(2)3a表示小船沿东北方向行驶了6 km，－12a表示小船沿西南方向行驶了1 km.。
6.1.4 高中必修二数学教案《数乘向量》
高中必修二数学教案《数乘向量》教材分析数乘向量是在学生学习了向量的基本概念，向量的加减法后的第三种运算。
本节课对向量的加法减法，零向量都进行了巩固，为学生以后学习共线向量基本定理、解析几何、空间几何、推理与证明埋下了伏笔。
学情分析少部分同学有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和老师经常交流。
但仍有大部分学生学习懒散、学习习惯差，粗心大意、书写不认真、不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解和同学的帮助，有抄袭作业等不良现象。
由于两级分化严重，学生成绩差异明显，高分很高，低分太低。
有的学生很多初中的知识都不会，甚至在计算上经常出现错误。
教学目标1、通过实例，掌握数乘向量的运算，理解其几何意义，以及两个向量共线的含义，掌握共线向量的充要条件。
2、由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养学生类比归纳的能力。
3、初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想、论证的能力。
教学重点1、实数与向量积的意义。
2、实数与向量积的运算率。
3、两个向量共线的等价条件及其运用，教学难点1、理解向量数乘运算的几何意义。
2、对向量共线的等价条件的理解运用。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量。
特别地，给定一个向量a，3个a相加a + a + a的结果，是一个模为3|a|、方向与a相同的向量，如图6-1-20（1）所示，通常这个向量记为3a，即a + a + a = 3a ；3个-a相加（-a）+（-a）+（-a）的结果，是一个模为3|a|、方向与a相反的向量，如图6-1-20（2）所示。
通常这个向量简记为-3a，即（-a）+（-a）+（-a）= -3a ；你能根据上述实例，给出实数λ与任意一个向量a的乘积λa的定义吗？一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：（1）当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下：①当λ＞0时，与a的方向相同；②当λ＜0时，与a的方向相反。
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景在高中数学中，向量是描述物理运动、几何图形等方面的重要工具。
数乘运算作为向量运算的基础，对于学生理解和掌握向量的性质和运算规律具有重要意义。
1.2 教学目标通过本章学习，使学生了解数乘运算的概念，掌握数乘运算的性质和运算规律，能够运用数乘运算解决实际问题。
第二章：数乘运算的定义及性质2.1 数乘运算的定义定义：对于向量a和实数λ，数乘运算定义为λa，记作λa。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律对于任意实数λ和μ，有λa = μa。
性质2：结合律对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
性质3：分配律对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
第三章：数乘运算的运算规律3.1 数乘运算与向量长度的关系数乘运算不改变向量的长度，即|λa| = |a|。
数乘运算不改变向量的方向，即λa与a同向或反向。
第四章：数乘运算的应用4.1 数乘运算在几何中的应用数乘运算可以用来放大或缩小向量，例如，在几何作图中，可以通过数乘运算来构造特定长度的向量。
4.2 数乘运算在物理中的应用在物理学中，数乘运算可以用来表示向量的速度、加速度等物理量的倍数。
第五章：小结与练习5.1 数乘运算的概念和性质本章学习了数乘运算的定义及性质，包括交换律、结合律和分配律。
5.2 数乘运算的运算规律本章学习了数乘运算与向量长度和方向的关系。
5.3 数乘运算的应用本章学习了数乘运算在几何和物理中的应用。
1. 判断下列命题的正确性：(1) 对于任意向量a和实数λ，λa = μa。
(2) 对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
(3) 对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
2. 判断下列命题的正确性：(1) 数乘运算会改变向量的长度。
北师大版高中必修43.1数乘向量教学设计
北师大版高中必修43.1数乘向量教学设计教学背景本设计针对高中数学必修三第43.1节课“数乘向量”的教学。
这一节课的主要内容是介绍了“数乘向量”的定义，运算法则和向量的数量积，在高中数学中具有重要的意义。
学生在前面章节已经学习过向量的相关知识，并且学生已经掌握了一些矩阵和行列式的知识。
教学目的本教学设计的目的是：1.深入学生对数乘向量的讲解，让学生真正理解数乘向量的概念。
2.帮助学生掌握数乘向量的运算法则，并能熟练地求向量的数乘。
3.让学生了解向量的数量积，掌握求解向量间的数量积。
4.培养学生的计算能力和抽象思维能力。
教学重点和难点教学重点为数乘向量的定义，运算法则和向量的数量积的计算方法。
教学难点为向量的数量积的计算方法。
教学方式此节课采用讲授、听讲、小组讨论和练习结合的方式进行。
教学准备教学需要的工具有：黑板、白板、笔、PPT和投影仪。
教学计划课堂活动一活动名称：认识数乘向量活动说明：这是一堂以认识数乘向量为目的的活动。
在课堂上，我们首先要让学生认识数乘向量的概念，并介绍它的定义和运算法则。
然后通过实例讲解，让学生通过自主实践的方式来理解它的基本操作方法。
在这个过程中，让学生自己发现数乘向量的规律。
最后，为了检验学生的掌握情况，可以出一些课堂练习题。
课堂时间安排：•讲师：5分钟•分组讨论：20分钟•实例讲解：10分钟•练习答疑：10分钟课堂活动二活动名称：理解向量的数量积活动说明：这是一堂以理解向量的数量积为目的的活动。
在课堂上，我们要介绍数量积的定义和计算方法。
然后通过实例讲解，让学生通过自主实践的方式来理解它的基本操作方法。
在这个过程中，让学生自己发现数量积的规律。
最后，为了检验学生的掌握情况，可以出一些课堂练习题。
课堂时间安排：•讲师：5分钟•分组讨论：20分钟•实例讲解：10分钟•练习答疑：10分钟作业布置对于这个课程，学生的作业可以包括以下几个部分：1.阅读教材相关章节，回答问题。
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5.3.1 数乘向量
【教学目标】
1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．
2. 理解并掌握平行向量基本定理．
3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．
【教学难点】
对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
【教学过程】。