湖南省长沙市长郡中学2019届高三月考(二)数学(理)试题(含答案)

长郡中学2019届高三月考试卷（二）
数学（理科）
时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|y=}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）
A．φB．{0，1，2) C.{0,1,2,3) D.(-∞,3]∪{4}
2．已知函数f(x)= ，那么f(8)的值为（）
A．3 B．4 C．15 D．16
3．当n是正整数时，用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2时，从n=k 到n=k+1，等号左边需要增加的代数式为（）
A. k(3k+4) B．（k+1)(3k+l) C.(k+1)3k D．（k+1)(3k+4)
4．直角△ABC(∠A=90°)的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量
方向的投影为（）
A．B．- C．D．-
5．已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在(0，+∞)上递增，则（）
A.f(20.7)<f(-log25)<f（一3)
B.f(-3)<f(20.7)<f(-log25)
C．f(一3)<f(-log25)<f(20.7) D.f(20.7)<f(-3)<f(-log25)
6．某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优的概率是0. 75，连续两天为优的概率是
0.6，已知某天的空气质量为优，则随后一天空气质量为优的概率是（）
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
7．要得到函数f(x) =2sinxcosx，x∈R，只需将函数g(x)=2cos2x-l，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）
A．8 B．-3 C．3 D．-24
9．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若则tan(A-B)的最大值为（）
A．B．C．1 D．
10.函数在x∈(1，2)内存在极值点，则（）
A．B．
C．D．
11.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在表中，“361”出现的次数为（）
A. 12
B. 6
C. 24
D. 48
12.若函数f(x)满足f(x)=x(f'(x)一ln(x)，且，则+1的解集为（）
A．（一1，+∞）B．C．(0，) D．（一∞，一1）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a=（3，-1），b=（1，m），a∥（a-2b），则m=____．
14．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布（100，σ2）(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为．
15．设a= ，则的展开式中常数项是．
16．已知A,B是函数f(x)= （其中常数a>0）图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数f(x)的最大值为．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2-c2=2b2．
(1)求C的大小；
(2)若△ABC的面积为21，求b的值．
18.（本小题满分12分）
已知数列{a n}满足：a n≥1，S n是其前n项的和，且2S n=a n2+n．数列{b n}满足b l= -a2，
b n+1=b n+a n·．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的通项公式．
为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．
(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；
(2)用ξ，η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为ξ和η之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z(单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：
经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a·x b（a，b>0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；
(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据（u l，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=β·u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
已知函数f(x)=(x+b)（e x-a），(b>0)，在（-1，f(-l)）处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0．
(1)求a，b；
(2)若方程f'(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点P（0，一）且倾斜角为
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|+2+a，g(x)=|x-l|+|2x+4|.
(1)解不等式|g(x)|<6；
(2)若存在x1、x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．。