辽宁省本溪市2020年中考数学试题及答案解析

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
辽宁省本溪市2020年中考数学试题
试题副标题
题号 一 二 三 总分 得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分
一、单选题
1．下列各数是正数的是（ ） A.0 B.5
C.12
-
D.2-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据正数的定义：正数都是大于0的数求解即可. 【详解】
解：0既不是正数，也不是负数；5是正数； 1
2
-和2-都是负数． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是正数，熟练掌握正数的定义是解题的关键.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
试题第2页，总25页
【答案】B 【解析】 【分析】
根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心，旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，联系上步结论即可得到答案. 【详解】
解：A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握两者的定义是解题的关键. 3．下列计算正确的是（ ） A.77x x x ÷＝ B.()
2
2
439x x -=-
C.336•2x x x ＝
D.32
6x x （）＝
【答案】D 【解析】 【分析】
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，把每个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、76x x x ÷＝，故此选项错误；
B 、22
439x x （﹣）＝，故此选项错误；
C 、336•x x x ＝，故此选项错误；
D 、32
6x x （）＝，故此选项正确；
故选：D ． 【点睛】
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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本题考查的是的同底数幂的计算，熟练掌握同底数幂的除法，乘法和幂的乘方是解题的关键.
4．2020年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表示为（ ） A.69.5610⨯ B.595.610⨯
C.70.95610⨯
D.495610⨯
【答案】A 【解析】 【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】
解：将数据9560000科学记数法表示为69.5610⨯． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键. 5．下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：
则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（ ） A.25,25 B.25,26
C.25,23
D.24,25
【答案】A 【解析】 【分析】
中位数是将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数；众数是在一组数据中出现次数最多的数. 【详解】 解：
在这7个数中，25（℃）
出现了3次，出现的次数最多， ∴该日最高气温（℃）
的众数是25； 把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25，
试题第4页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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则中位数为：25； 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是中位数和众数，熟练掌握两者的定义是解题的关键.
6．不等式组30
280x x ->⎧⎨-≤⎩
的解集是（ ）
A.3x >
B.4x ≤
C.3x <
D.34x <≤
【答案】D 【解析】 【分析】
先分别求出两个不等式的解，再求出其公共解即可. 【详解】
解： 30280x x ->⎧⎨-≤⎩
①
②，
由①得：3x >， 由②得：4x ≤，
则不等式组的解集为34x ≤＜， 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是不等式组，熟练掌握不等式组是解题的关键. 7．如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图求解即可.
【详解】
解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.
8．下列事件属于必然事件的是（）
A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
【答案】C
【解析】
【分析】
必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
【详解】
解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；
C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；
D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件，熟练掌握他们的定义是解题的关键. 9．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正
确的是（）
试题第6页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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A.360480
140x x =- B.
360480
140x x =
- C.360480
140x x
+= D.
360480
140x x
-= 【答案】A 【解析】 【分析】
甲型机器人每台x 万元,根据360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可. 【详解】
解：设甲型机器人每台x 万元，根据题意，可得 360480
140x x
=
- 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
10．如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC ⊥⊥，于点D ，连
接AP ，设AP x PA PD y ＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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D.
【答案】C 【解析】 【分析】
设圆的半径为R ，连接PB ,求出1
sin 22AP ABP x R R
∠=
=，根据CA ⊥AB,求出2
1122PD APsin x x R R
α⨯=＝＝，即可求出函数的解析式为2
12y PA PD x x R
-+＝＝-. 【详解】
设：圆的半径为R ，连接PB ，
则1
sin 22AP ABP x R R
∠=
=， CA AB ⊥，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝，
则2
122x PD APsin x x R R
α⨯=＝＝ 则2
12y PA PD x x R
-+＝＝-
图象为开口向下的抛物线， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.
试题第8页，总25页
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第II 卷（非选择题)
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二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】。

【解析】 【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使
在实数范围内有意义，必须
.
故答案为：
12．函数5y x =的图象经过的象限是_____． 【答案】一、三 【解析】 【分析】
直接利用一次函数的性质得出其经过的象限． 【详解】
解：函数5y x =的图象经过一三象限， 故答案为：一、三 【点睛】
本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
13．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+k=0有实数根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】k≤4 【解析】 【详解】
∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+k=0有实数根， ∴△=16﹣4k≥0，解得：k≤4.
14．在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()()4,25,0A B ,，以点O 为位似中心，相们比为
1
2
，把ABO 缩小，得到11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为_____． 【答案】()2,1或()2,1--
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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【解析】 【分析】
利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以12和-1
2
即可求解. 【详解】
解：以点O 为位似中心，相似比为1
2
，把ABO 缩小，点A 的坐标是()4,2A 则点A 的对应点1A 的坐标为114,222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭或114,222⎛⎫
-⨯-⨯ ⎪⎝⎭
，即()2,1或()2,1--， 故答案为：()2,1或()2,1--． 【点睛】
本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.
15．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE BF ，，使
BE BF ＝；分别以,E F 为圆心，以大于1
2
EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于
点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若3AP =，则点P 到BD 的距离为_____．
【答案】3 【解析】 【分析】
根据作图的过程知：BP 平分ABD ∠，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∠A=90°，AP=3即可求解. 【详解】
解：结合作图的过程知：BP 平分ABD ∠， 903A AP ∠︒＝，＝，
∴点P 到BD 的距离等于AP 的长，为3，
故答案为：3． 【点睛】
本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键.
试题第10页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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16．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为_____．
【答案】
15
16
【解析】 【分析】
根据题意可知11
,24
AE AB AF AB ==，可以求出△AEF 的面积，即可求出小球停留在阴影部分的概率. 【详解】
解：如图所示，AD 与直线的交点为E ，AB 与直线的交点为F ，
根据题意可知11
,24
AE AD AF AB ==， 211111
222416
AEF S AE AF AB AB AB ∴=•=⨯⨯=
∴小球停留在阴影区域的概率为：115
11616
-=．
故答案为： 1516
. 【点睛】
本题考查的是概率，熟练掌握点阵是解题的关键.
17．如图，在平面直角坐标系中，等边OAB 和菱形OCDE 的边OA OE ，都在x 轴上，点C 在OB 边上，3ABD
S =()0k
y x x =>的图象经过点B ，则k 的值为
_____．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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3【解析】 【分析】
连接OD ，根据等边△OAB ，求出∠AOB,根据四边形OCDE 是菱形，求出
60DEO AOB ∠∠︒＝＝，得出△DEO 为等边三角形，求出BDO
AOD
S S
＝，求出
3AOB ABD S
S
==，过B 作BH OA ⊥于H ，求出3
2
OBH
S
=
，即可求出k. 【详解】 解：连接OD ，
OAB 是等边三角形，
60AOB ∴∠︒＝， 四边形OCDE 是菱形， //DE OB ∴，
60DEO AOB ∴∠∠︒＝＝，
DEO ∴是等边三角形，
60DOE BAO ∴∠∠︒＝＝， //OD AB ∴，
BDO
AOD
S
S
∴＝，
ABDO ADO
ABD
BDO
AOB
S S
S
S
S
++四边形＝＝，
3AOB
ABD
S
S
=∴=，
过B 作BH OA ⊥于H ， OH AH ∴＝，
3OBH
S
∴=
反比例函数()0k
y x x
=
>的图象经过点B ，
试题第12页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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k ∴的值为3，
故答案为：
3．
【点睛】
本题考查的是反比例函数，熟练掌握菱形，三角形的性质是解题的关键. 18．如图，点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2，过1B 作11B A l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形
3343A B B C 延长43B C 交x 轴于点4A ⋯；；按照这个规律进行下去，点n C 的横坐标为
_____（结果用含正整数n 的代数式表示）
【答案】1
7322n -⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
【解析】 【分析】
过点11234B C C C C 、、、、分别作1B D x ⊥轴，11C D x ⊥轴，22C D x ⊥轴，
33C D x ⊥轴，44C D x ⊥轴，……垂足分别为1234D D D D D ⋯⋯、、、、,根据题意
求出12,1OD B D ==，得到图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是
1:2，
可以求出点1C 的横坐标为：0
13222⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，再依次求出2,3C C ……n C 即可求解.
【详解】
解：过点11234B C C C C 、、、、分别作1B D x ⊥轴，11C D x ⊥轴，22C D x ⊥轴，
33C D x ⊥轴，44C D x ⊥轴，……垂足分别为1234D D D D D ⋯⋯、、、、
点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 的纵坐标为1，
即：12,1OD B D ==
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2，
111112
111111
12B D DA C D D A OD A D A D C D =====⋅⋅⋅ ∴点1C 的横坐标为：0
13222⎛⎫++ ⎪⎝⎭
， 点2C 的横坐标为： 0
2
1
133********⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0
1
53532242⎛⎫⎛⎫
+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
点C 3的横坐标为：
00113313222242⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2012
1353535342224242⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+=+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点4C 的横坐标为：0
1
2
2
5353535322424242⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅
点n C 的横坐标为：0
1
5353522424⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
3
4
353535
242424⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
32n -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ⎪
⎝⎭
01234
55333332422222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11373222n n --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 故答案为： 1
7322n -⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
试题第14页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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【点睛】
本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 评卷人 得分
三、解答题
19．先化简，再求值222
212
4422a a a a a a
⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 满足2320a a +﹣＝． 【答案】232
+a a
，1
【解析】 【分析】
先将原式进行化简，再23=2a a +代入即可. 【详解】
解：222
412
442-2a a a a a a
⎛⎫--÷ ⎪-+-⎝⎭ ()()()()2
2221222a a a a a a ⎡⎤+--=+•⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
()22
1222a a a a a -+⎛⎫=+•
⎪--⎝⎭ ()2322a a a a -+=
•
- ()32
a a +=
232
a a
+=
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2320a a +-＝， 232a a ∴+＝，
∴原式2
12
=
= 【点睛】
本题考查的是代数式，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.
20．某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A ．机器人，B ．围棋，C ．羽毛球，D ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图()1中A 所占扇形的圆心角为36︒．
根据以上信息，解答下列问题：
()1这次被调查的学生共有
人；
()2请你将条形统计图补充完整；
()3若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛
球社团；
()4在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人
中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200；（2）见解析；（3）300；（4）1
6
. 【解析】 【分析】
（1）根据扇形统计图得出机器人所占的比，再用36
20200360
÷
=即可求解； （2）用调查总人数-机器人社团人数-围棋社团人数-电影配音社团人数即可求解； （3）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解；
试题第16页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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（4）根据题意列出树状图即可求解. 【详解】 解：()
1A 类有20人，所占扇形的圆心角为36︒，
∴这次被调查的学生共有：36
20200360
÷
=（人）； 故答案为：200；
()2C 项目对应人数为：20020804060﹣﹣﹣＝（人）； 补充如图．
()60
31000300200
⨯
=（人） 答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团；
()4画树状图得：
共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
P ∴（选中甲、乙）21126
=
=． 【点睛】
本题考查的是概率，熟练掌握统计图和树状图是解题的关键.
21．如图，在四边形ABCD 中，//45AB CD AD CD B ⊥∠︒，，＝，延长CD 到点E ，使DE DA ＝，连接AE ．
()1求证：AE BC =；
()2若31AB CD ＝，＝，求四边形ABCE 的面积．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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【答案】（1）见解析；（2）6. 【解析】 【分析】
（1）先求出∠C=135°，再根据DE DA ＝，求出∠E=45°，所以180E C ∠+∠︒＝，可证//AE BC ，且//AB CD ，证明四边形ABCE 是平行四边形即可；
（2）四边形ABCE 是平行四边形，求出3AB CE ＝＝，2AD DE AB CD -＝＝＝即可求解. 【详解】
证明：1//45AB CD B ∠︒（），＝
180C B ∴∠+∠︒＝ 135C ∴∠︒＝
DE DA AD CD ⊥＝， 45E ∴∠︒＝ 180E C ∠+∠︒＝
//AE BC ∴，
且//AB CD ∴四边形ABCE 是平行四边形
AE BC ∴＝
2（）四边形ABCE 是平行四边形
3AB CE ∴＝＝
2AD DE AB CD ∴-＝＝＝
∴四边形ABCE 的面积326⨯＝＝
【点睛】
本题考查的是四边形的综合运用，熟练掌握平行和平行四边形的性质是解题的关键. 22．小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长
BC ，拉杆AB 的长度都相等，,B F 在AC 上，C 在DE 上，支杆
30:1:3＝，＝，DF cm CE CD 4530∠︒∠︒＝，＝DCF CDF ，请根据以上信息，解决下
列向题．
试题第18页，总25页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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()1求AC 的长度（结果保留根号）
； ()2求拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离（结果保留根号）
．
【答案】（1）40403=+AC ；（2）202206cm. 【解析】 【分析】
()1过F 作FH DE ⊥于H ,90FHC FHD ∠∠︒＝＝,根据3030FDC DF ∠︒＝，＝，求出1
3
1515322
FH DF DH DF ＝＝，＝＝，
再求出CD ，根据:1:3CE CD ＝，求出DE,即可求出AC;
()2过A 作AG ED ⊥交ED 的延长线于G ，根据45ACG ∠︒＝，求出
2
262
AG AC ＝
＝. 【详解】
解：()1过F 作FH DE ⊥于H , 90FHC FHD ∴∠∠︒＝＝， 3030FDC DF ∠︒＝，＝，
13
151532FH DF DH DF ∴＝＝，＝＝，
45FCH ∠︒＝， 15CH FH ∴＝＝，
15153CD CH DH ∴=+=+:1:3CE CD ＝，
4
202033
DE CD ∴+＝＝，
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
AB BC DE ＝＝， 40403AC cm ∴=+（）；
()2过A 作AG ED ⊥交ED 的延长线于G ，
45ACG ∠︒＝，
2
2022062
AG AC ∴+＝
＝，
答：拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离为()
202206cm +．
【点睛】
本题考查的是三角形的实际应用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
23．一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元）与一次性批发量x （件）（x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
()1直接写出y 与x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ()2若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是
多少？
【答案】（1）当020x ≤＜且x 为整数时， 40y ＝；当2060x ≤＜且x 为整数时，
1
502
y x +＝-;当60x ＞且x 为整数时，20y =；（2）一次批发34件时所获利润最大，
最大利润是578元． 【解析】 【分析】
（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可；
试题第20页，总25页
（2）设所获利润w （元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解. 【详解】
解：()1当020x ≤＜且x 为整数时， 40y ＝； 当2060x ≤＜且x 为整数时， 1
502
y x +＝-; 当60x ＞且x 为整数时，20y =； ()2设所获利润w （元）
， 当020x ≤＜且x 为整数时，40y ＝；
401620480w ∴=-⨯=（）元，
当020x ≤＜且x 为整数时，w=480 , ∴当2060x ≤＜且x 为整数时，1
502
y x +＝-
165016w y x x x ∴=-=+-（）（-），
21
342w x x ∴+＝-，
2
1345782w x ∴=--+（），
102
-< ∴当34x ＝时，w 最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元． 【点睛】
本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键.
24．如图，点P 为正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，连接BP 并延长交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，
O 是DEF 的外接圆，连接DP ．
()1求证：DP 是
O 的切线；
()2若1tan 2
PDC ∠＝，正方形ABCD 的边长为4，求
O 的半径和线段OP 的长．
试题第21页，总25页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【答案】（1）见解析；（2）5，55
3
. 【解析】 【分析】
()1连接OD ，证明
CDP CBP ≌，得出CDP CBP ∠∠＝，
再得出90CBP BEC ∠+∠︒＝，求出BEC OED ODE ∠∠∠＝＝，得出90CDP ODE ∠+∠︒＝，
即可求解；
（2）根据CDP CBE ∠∠＝，求出DE=2，再求出EF 为圆的直径，求出F CDP ∠∠＝，再根据直角三角形DEF ，求出4DF ＝，求出EF 即可求出半径；利用F PDE DPE FPD ∠∠∠∠＝，＝，
可得DPE FPD ∽，可得PE PD DE
PD PF DF
==，设PE x =，则2PD x =，求出x 即可.
【详解】
()1连接OD ，
正方形ABCD 中， 45CD BC CP CP DCP BCP ∠∠︒＝，＝，＝＝， CDP CBP SAS ∴≌（），
试题第22页，总25页
CDP CBP ∴∠∠＝，求出2DE ＝， 90BCD ∠︒＝， 90CBP BEC ∴∠+∠︒＝， OD OE ＝， ODE OED ∴∠∠＝， OED BEC ∠∠＝，
BEC OED ODE ∴∠∠∠＝＝， 90CDP ODE ∴∠+∠︒＝， 90ODP ∴∠︒＝，
DP ∴是O 的切线；
2CDP CBE ∠∠（）＝，
1
tan tan 2
CE CBE CDP BC ∴∠=∠== 1
42
CE ∴=⨯2=
2DE ∴＝， 90EDF ∠︒＝，
EF ∴是O 的直径，
90F DEF ∴∠+∠︒＝， F CDP ∴∠∠＝， 在Rt DEF △中， 12
DE DF = 4DF ∴＝，
EF ∴==OE ∴=
F PDE DPE FPD ∠∠∠∠＝，＝， DPE FPD ∴∽，
,PE PD DE
PD PF DF
∴
== 设PE x =，则2PD x =
(()2
2x x x ∴+=
解得x =
试题第23页，总25页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
2555
533
OP OE EP ∴=+=+
=
【点睛】
本题考查的是圆和正方形的综合运用，熟练掌握圆，正方形，相似三角形的性质是解题的关键.
25．抛物线2
29
y x bx c =-
++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点，顶点为C ，对称
轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．
()1求抛物线的解析式； ()2当
PCF 的面积为5时，求点P 的坐标；
()3当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）28210999++=-y x x ；（2）(2,3)P -；（3）点 32,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
或()2,2-． 【解析】 【分析】
()1把1,05,0A
B （-），（）代入函数,利用交点式求解即可. ()2先求出点
C ，设点2P m （，），
然后得函数PB 的表达式为：153
3
m
y mx =-+⋯①，，根据CE PE ⊥，得故直线CE 表达式中的k 值为
3
m
，求出直线CE 的表达式为362y x m m ⎛⎫=
+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭②，联立①②并解得： 223m x =-，求出22,03m F ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，利用PCF 的面积为5，求出m 即可；
试题第24页，总25页
()3由点F 的坐标得：22
222222224,3
3
m m CP m CF PF m -++＝（）
，＝（）＝（），分别算出CP CF ＝，CP PF ＝，CF PF ＝时的m 即可. 【详解】
解：()1将抛物线化为交点式：()222
=h 99
y x bx c x x k =-
++-++（） 将1,05,0A B （-），（）代入可得
()
21-59y x x =-+（）()
2222810
459999
x x x x =---=-++. 故抛物线解析式为28210
99
9++
=-y x x . ()2抛物线的对称轴为1x =，则点22C （，）， 设点2P m （，），
将点,P B 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得： 函数PB 的表达式为： 153
3
m
y mx =-+
⋯①，
CE PE ⊥，
故直线CE 表达式中的k 值为3
m
， 将点C 的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线CE 的表达式为： 362y x m m ⎛
⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝
⎭② 联立①②并解得： 223
m x =- 故点22,03m F ⎛⎫-
⎪⎝⎭
1122)225223PCF m S
PC DF m ⎛⎫
⨯⨯---= ⎪⎝⎭
＝＝（， 解得：5m =或3-（舍去5），
故点2,3P
（-）; ()3由()2确定的点F 的坐标得：
22
2222
22224,33
m m CP m CF PF m -++＝（），＝（
）＝（）， ①当CP CF ＝时，即： ()2
2243m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
，解得0m =：或365（均舍去）， ②当CP PF ＝时， ()
2
2
2
223m m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
，解得：32m =或3（舍去3），
试题第25页，总25页
③当CF PF ＝时，同理可得：2m =±（舍去2），
故点 32,
2P ⎛⎫
⎪⎝
⎭
或()2,2-． 【点睛】
本题考查的是抛物线，熟练掌握抛物线的性质，等腰三角形是解题的关键.。