高等数学电子教案(大专版)

《高等数学》教案
第一讲 函数与极限
1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。

对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。

记作y=f(x)，x ∈D 。

其中x 叫自变量，y 叫因变量。

函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。

例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).
解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2
∴f(x)=2x 2 – x – 2
定义域：使函数有意义的自变量的集合。

因此，求函数定义域需注意以下几点：
①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0
例2 求函数y=
6—2x －x +arcsin
7
1
2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：
1|7
12|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].
例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x
解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数
（1）基本初等函数
常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μ
x （μ为常数） 指数函数：y=x
a (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)
三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx
（2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ϕ=中，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.
例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，
∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]
例5：分析下列复合函数的结构
（1）y=2
cot
x （2）y=1
sin 2+x e
解：（1）y=u ，u=cosv ，v=
2
x
（2）y=u
e ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1
例6：设f(x)=2
x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]
解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2
x )=22
x
3. 极限
（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。

定理1 函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0
=-→)(lim 0
x f x x A x f x x =+→)(lim 0
例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y （当2→x 时） ⑵ ⎪⎩⎪
⎨⎧><=0,310
,sin x x x x y （当0→x 时）
解：⑴ ∵
3
lim ,2lim 2
2==+-
→→y y x x ，
y
y x x +-
→→≠2
2lim lim
∴ 函数在指定点的极限不存在。

⑵ ∵0031
lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ，y y x x +-→→=00lim lim
∴ 函数在指定点的极限y x 0
lim →=0
4.无穷小量与无穷大量
极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若∞=→)(lim 0
x f x x （或∞=∞
→)(lim x f x ）,则
称)(x f 为当0x x →（或
）时的无穷大量,简称无穷大。

例如：0sin lim 0
=→x x ，所以，当x →0时，sin x 是无穷小量。

同样，当x →0时α
x (α>0)，1-cosx ，arcsinx 等都是无穷小量。

当x →+∞时，01lim =+∞→n n ，所以{n
1
}是无穷小量.
无穷小量的性质：
（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

（2）无穷小量与有界量之积是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。

（注：两个无穷小之商未必是无穷小） 5.极限的运算
设x 在同一变化过程中)(lim x f （此处省略了自变量x 的变化趋势，下同）及)(lim x g 都存在，则有下列运算法则：
法则1、lim [f(x)±g(x)]= lim f(x)± lim g(x) 法则2、lim [f(x)• g(x)]= lim f(x) •lim g(x) 法则3、lim
)()(x g x f =)
(lim )
(lim x g x f （lim g(x)≠0） (1)直接代入求值 例8 求2
lim →x (3x 2
-4x+1)
解：2
lim →x (3x 2-4x+1)=3•22
-4•2+1=5
例8 求1lim -→x 2
34
222+-+x x x 解：1lim -→x 234222+-+x x x =)
23(lim )42(lim 21
21+-+-→-→x x x x x = -53 例10 求4
5127lim 224+-+-→x x x x x
解：45127lim 224+-+-→x x x x x =4lim →x )4)(1()4)(3(----x x x x =4lim →x 13--x x =3
1
（2）
∞
∞型 例11 求∞→x lim 2
33
222+--+x x x x
解：∞→x lim 233222
+--+x x x x =∞→x lim
2
2
213312x
x x x +--+
=3
2
小结：∞→x 时，∞∞
型的极限，可用分子分母中x 的最高次幂除之
（3）∞-∞型，0
型，
例12 求下列函数极限
1、1
lim →x （
313x --x
-11
） 2、0lim →x x x 1
1-+ 3、+∞→x lim 31cos x
x x +
解：1、1lim →x （313x --x -11）=1lim →x )
1)(1()
1(322x x x x x ++-++- =1
lim
→x )1)(1()1)(2(2x x x x x ++--+=1lim →x 212x
x x
+++=1 2、0
lim
→x x x 11-+=0lim →x )
11()
11)(11(++-+-+x x x x =0
lim
→x )11(++x x x =0
lim
→x 111
++x =
21
3、+∞
→x lim
3
1cos x
x x +=+∞
→x lim
x x
x cos 13
•+=0
（4）利用两个重要极限
10
0lim
→x x
x
sin =1
特点：①它是“00”型 ②1sin lim 0=∆
∆
→∆ （三角形∆代表同一变量）
例13 求∞→x lim x x 1
sin •
解： 0lim →x x x 2sin =0lim →x 222sin •x x
=2
注：∞→x lim
x
x
sin ≠1 ∞→x lim
x
x sin =∞→x lim x x sin 1
•=0 例14 求∞→x lim x
x 1
sin •
解： ∞→x lim x x 1sin •=∞→x lim
x
x 1
1sin
=1 例15 求0lim →x x x
4sin 3sin
解： 0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x [x x x x x x 4sin 44333sin ••]=4
3
例16 求2
0cos 1lim x x
x -→
解：原式=0
lim
→x 2
2
2sin 2x x
=0lim →x [21)22sin (
2•x x ]=210lim →x [2
2sin x x ]2=21 20 ∞
→x lim （1+
x
1）x
= e 特点：（１）∞
→x lim (1+无穷小)无穷大案 ，即1∞型；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，e =∆
+
∆
∞
→∆)11(lim 推广：①e x x
x =+→1
)1(lim ②e =∆+∆
→∆10
)
1(lim
例17 ∞
→x lim （1+
x
21）x
3 解：原式=∞→x lim [x x
2)211(+]23
=2
3
e
例18 ∞
→x lim （1+
x
21）2
3+x 解：原式=∞→x lim [（1+x 21）23+x •（1+x 21）2]=∞→x lim （1+x 21）x 3•∞→x lim （1+x
21
）2=23
e
例19 ∞
→x lim （1+
x
3）x
解：原式=∞→x lim （1+3
1x
）33•x
=3
e
（5）利用常用的几个等价无穷小代换：
当0→x 时，有x sin ～ x ；tanx ～x ；arcsinx ～x ；arctanx ～x ；-1cosx ～2
2
x ；
ln(1+x) ～x ；x
e 1-～x ；11-+x ～
x 2
1。

例20 求0lim
→x x x
4sin 3sin
解：0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x x x 43=4
3
例21 求0lim →x 2
cos 1x x
-
解：0lim →x 2
cos 1x x -=0lim →x 222x x =21
例22 求0lim
→x x x
5sin 2tan
解：0lim →x x x 5sin 2tan =0lim →x x x 52=5
2
例23 0lim →x 3sin tan x
x
x - 解：0lim →x x x x x cos )cos 1(sin 3-=0lim →x x
x x
x cos 2132
••
=0lim →x x cos 21=21 注：10用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）
20分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。

（6）利用函数的连续性
定义 1 设y=f(x)在点0x 的某邻域上有定义，如果自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即0)]()([lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 则称f(x)在点0
x 是连续的。

定义2 设函数y=f(x)在点0x 的某邻域内有定义，若)()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数f(x)
在点0x 处连续。

定义3（间断点的分类）：设0x 是)(x f 的一个间断点，如果：
（1）)(x f 的左右极限都存在，称0x 为)(x f 第一类间断点，当
-
→0lim x x )(x f +→≠0
lim x x )(x f ，则称0x 为)(x f 的跳跃间断点
（2）)(x f 的左右极限都存在，称0x 为)(x f 第一类间断点，当)(lim 0
x f x x →存在，但不
等于)(0x f ，则称0x 为)(x f 的可去间断点
（3）除（1）（2）以外的，称0x 为)(x f 的第二类间断点，当0
lim x x →)(x f =∞，称0x 为
)(x f 的无穷间断点。

例24 设⎩⎨⎧+≤≤=1
,11
0,)(2 x x x x x f ，讨论f(x)在x=1处的连续性。

解： f(1)=1 -→1
lim x f(x)= -→1
lim x 2
x =1， +→1
lim x f(x)= +→1
lim x (x+1)=2
即1
lim →x f(x)不存在，x=1是第一类间断点，且为跳跃间断点。

例25 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,10
,)(4
x x x x x f ，讨论f(x)在x=0处的连续性。

解： f(0)=1 )0()(lim 0
f x f x ≠→ ∴ x=0是第一类间断点，且为可去间断点。

例26 2
)
1(1
)(-=
x x f 在x=1是什么间断点。

解：函数2
)1(1)(-=x x f 在x=1处没有定义，且21)1(1
lim -→x x =∞ 则x=1为f(x)的无穷间断点。

例27 求极限)][ln(sin lim 2
x x π
→
]
解：)ln(sin x 在2
π
=
x 处连续 ∴)][ln(sin lim 2
x x π
→
=ln(sin
2
π
)=ln1=0 例28 求极限x
x x )
1ln(lim
0+→
解： x
x x )
1ln(lim 0+→=x x x 1
0)1ln(lim +→，复合函数x x 1
)1ln(+是由lnu 和u=x x 1
)1(+组成，
又x
x x 10
)1ln(lim +→=e ，在u=e 点lnu 连续。

x
x x 1
)1ln(lim +∴→=1ln ])1(lim ln[10
==+→e x x
x
例29 证明方程135
=-x x 至少有一个根介于1和2之间。

证明： 设f(x)= 135
--x x ，在（+∞∞-,）连续，又f(1)=1-3-1=-3<0 f(2)=201235
>-•-
根据介值定理，至少存在一点)2,1(∈ξ，使得ξ(f ）=0，显然ξ即为方程135
=-x x 的根。

第二讲 导数与微分
1、导数的概念
设函数()x f y =在点0x 处的某一邻域内有定义，当自变量X 在点0x 处有增量
()0≠∆∆x x ,x x ∆+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量()()00x f x x f y -∆+=∆，若 极
限()()x
x x x x f x f x
y ∆-∆+=∆∆→∆→∆000
lim lim 存在，则称()x f 在点0x 处可导，并称此极限值为
()x f 在0x 处的导数，记为()0x f '，若极限不存在，则称()x f y =在点0x 处不可导。

2、左导数与右导数
（1）函数()x f 在点0x 处的左导数
()()()x
x f x x f x y
x f x x ∆-∆+=∆∆='-
-
→∆→∆-0000
0lim lim （2）函数()x f 在点0x 处的右导数
()()()x
x f x x f x y
x f x ∆-∆+=∆∆='+
+
→∆→∆+0000
0lim lim 定理 y=()x f 在点0x 可导()()00x f x f +-'='⇔ 例1 求函数2
x y =在任意点x 处的导数，并求
1|=x dx
dy
解：在x 处给自变量一个增量x ∆，相应函数增量为
()()()
222
2x x x x x
x x f x x f y ∆+∆=-∆+=-∆+=∆,
于是 ()x x x x y x x 2200=∆+=∆∆→∆→∆lim lim
；即()
x x 22='；则
()21*21
-=-==x dx
dy
一般地()1
-='u u
ux
x
，（u 为任意实数）。

3、导数的几何意义
函数()x f y =在点0x 的导数()0x f '在几何上表示曲线)(x f y =在点（0x ，()0x f ）处切线的斜率。

例2 求抛物线2
x y =在点（1，1）处的切线方程和法线方程。

解： x x y 2)(/
2/
==， 切线斜率 2211
=='
===x x x y k
切线方程：()121-=-x y 即12-=x y ；法线方程：()121
1--
=-x y 即2
321+-=x y 。

4、可导与连续关系：可导⇒连续，但反过来不一定成立，即在x 处连续的函数未必在
x 可导。

例3 ()⎩⎨
⎧<-≥===0
,0
,x x x x x x f y ，虽然在x =0处连续，但在该点不可导。

解： ()()x f x f y ∆=-∆+=∆00
()1lim lim lim 0000
=∆∆=∆∆=∆∆='∴+++
→∆→∆→∆+x x
x x x y f x x x ()1lim lim lim 0000
-=∆∆-=∆∆=∆∆='---
→∆→∆→∆-x
x x x x y f x x x ()()00-+'≠'f f 点处不可导在0==∴x x y
例4 讨论 ()⎪⎩⎪⎨⎧
=≠⋅=0
,00
,1sin x x x
x x f 在点x =0的连续性与可导性。

解： ()01
sin
lim lim 0
=⋅=→→x
x x f x x ，即()()0lim 0f x f x =→，
()连续在0==∴x x f y
又 ()()x
x x x x f x f 1sin 1
sin
0=⋅=
--
当极限不存在时x x 1sin 0→
()处不可导在点0==∴x x f y
5.求导法则
（1）加减乘除的求导法则 例5 设y=;7
sin
ln 4cos π
++x x x 求y '
解：)7
(sin
)ln 4()cos ('+'+'='π
x x x y
=x x x x x ln 4)(cos cos )(//
++
=
x
x x x
x 4sin 2cos +
- 例6 求y=tanx 的导数。

x x
x x x x
x x x x x x x y 22
22
221sec cos cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (
)(tan ==+='
⋅-'='='='解： ();sec tan 2x x =' 类似可得：()x x 2csc cot -='
例7 已知y=sec x ，求y '. 解:.tan sec cos sin cos )(cos )cos 1(
)(sec 2
2x x x
x x x x x y ⋅=='-=='=' 类似可得:x x x cot csc )(csc -='
例8 设f(x)=x
x x cos 1sin +,求)(/
x f .
解:2
)cos 1()cos 1(sin )cos 1()sin ()(x x x x x x x x f +'
+++'=
'
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x cos 1sin )cos 1(cos)1()cos 1(sin )
cos 1(sin cos cos )cos 1(sin )cos 1()
sin (sin )cos 1)(cos (sin 2
2
22`
2++=
++++=+++++=+--++=
（2）、复合函数求导法则:
定理 如果)(x u ϕ=在点x 处可导，函数y=f(u)在对应的点u 处可导，那么复合函数
)]([x f y ϕ=也在点x 处可导，且有
x
u
u y x
y d d d d d d ⋅=
或)()(})]([{/x u f x f ϕϕ'=' 例9 x y sin =的导数。

分析：x y sin
=可看作x u u y =
=,sin 复合而成
解：
2
2cos 21cos )()(sin x
x u x u dx du du dy dx dy =
⋅='⋅'=⋅= 例10 求22x a y -=
的导数。

分析：此函数可看作由u y =与22x a u -=复合而成
解：
2222)2(21)()(x
a x x u x a u dx du du dy dx dy --=-⋅='-⋅'=⋅=
例7 求2
tan
ln x
y =的导数。

x x x x x
x x x x x x x x x
y csc sin 1212
cos 12sin 2cos
)2(2sec 2
tan 1)2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 1
)2
tan (ln 2
22==⋅⋅=
'⋅⋅='⋅='⋅=
'='解：
例8 设)(x f '存在，求|)(|ln x f y =的导数（f(x)≠0） 解：当f(x)>0时y=lnf(x),)
()
()()(1])([ln x f x f x f x f x f y '='=
'=' 当f(x)<0时,y=ln(-f(x)),)
()(])([)(1x f x f x f x f y '='--=
'
)()(]|)(|[ln x f x f x f '=
'∴ 例9 求12ln
sin +=x y 的导数.
解:1
21
2ln cos )12(1
221
121
12ln cos ++=
'+⋅+⋅
+⋅
+='x x x x x x y
（3）、反函数的求导法则
定理 如果单调连续函数x=)(y ϕ在点y 处可导，而且)(y ϕ0≠，那么它的反函数y=f(x)在对应的点x 处可导，且有()()
y x f ϕ'=
'1。

例10 求()
)1,0(≠>=a a a
y x 导数
解： ()()a a a y a
y a x y a
x
ln ln ln 11
log 1
===
'
=
' 特别：()x
x
e
e
='
例11 设u
x y = （u 为实数），求y '. 解： 11
-⋅=⋅
⋅='='u u
u
x u x
u e x u e y )ln ( ()1
-='∴u u
ux
x
例12 设;arctan x e y =求y ' 解：()
)
1(22111
arctan
2
arctan x x e x
x e
y x
x
+⋅=
⋅
+
⋅='
（4）、隐函数求导法：
例13 求由方程0=+-y
x
e e xy 所确定的隐函数的导数 解：方程两端对x 求导：
有 )0(,
)(0
≠++-='-=+'='⋅+-'+y y
x x y y x e x e
x y
e y y e e x y y e e y x y 即
注意：y '表达式允许有含y 的式子；
例14 求曲线)1(32
2
+=x x y 在点（2，2）处的切线方程；
分析：（1）关键求斜率k;
(2 )由导数几何意义知： 00|1
y y x x x y k === 可用隐函数求导法来解决；
解：方程两边对x 求导：
()3
4|0623236)2,2(2
2=
'∴≠+='+='y y y
x x y x
x y y
所求切线方程：0
234)2(3
4
2=--∴-=
-y x x y （5）对数求导法 步骤：（1）两边取对数；（2）两边对x 求导；
它适合于含乘、除、乘方、开方的因子所构成的比较复杂的函数。

例15 设y=()32)2()13(1-+-x x x 求：y ' 解：两边先取绝对值，再取对数，得
2ln 3
1
13ln 321ln ln -+++-=x x x y
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++-⋅-+⋅-='∴-⋅++⋅+-=')()()()(2311321121312
1311333211132x x x x x x y x x x y y
例16 求y=()0sin >x x
x
的导数
解：两边取对数， lny=sinx ·lnx
等式两端对x 求导
x x
x y y cos sin 1+='·lnx )ln cos sin (ln cos sin sin x x x x x x x x x y x *+=⎪⎭
⎫
⎝⎛*+'∴
（6）由参数方程所确定的函数求导法 若参数方程 ⎩
⎨
⎧==)()
(t y t x φϕ确定y 与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为
由参数方程所确定的函数. 其求导法则是：
)
()
(////t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕφ==*=
例17 求摆线⎩⎨⎧-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x (0π2≤≤t )，（1）在任何点的切线斜率；（2）在2π
=
t 处的切线方程. 解：（1）易知 k=
2
cot cos 1sin )cos 1(sin )sin ()cos 1(t
t t t a t a t t a t a dx dy =-=-*='-'-=； （2）当t=
2π时，摆线上对应点为（a a ,12⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π），在此点的切线斜率为
12cot
2
2
====
π
πt t t
dx
dy
切线方程 )12(--=-π
a x a y ， 即y )2
2(π
-+=a x 。

（7）高阶导数 例18 求函数 x e y x
cos *=-的二阶及三阶导数。

解：()()x x e x e x e
y x x x
sin cos sin cos +=-+*='---
()x e x x e x e
y x x x
sin 2cos sin cos ---=+-+*=''
()x x e x e x e
y x x x
sin cos 2cos 2sin 2-=*+-='''---
例19 求n 次多项式 n n n a x a x a y +++=- (1)
10的各阶导数。

解：()1211
0.....1---++*-+='n n a n a x n x
na y
()()()2312
02...211---++--+-=''n n n a x a n n x
a n n y 每经过一次求导运算，多项式的次数就降低一次，继续求导得：
()01a n y n =; 这是一个常数，所以()()==++21n n y y ….=0
这就是说，n 次多项式的一切高于n 阶的导数都是零。

例20 求指数函数 ax
e y =的n 阶导数；
解：ax
e y = ax
e a y *=' ax
e a y *=''2
ax
e a y *='''3
依次类推：()
ax n n e a y
=
例21 求方程⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos ， ()π20≤≤t 所确定的函数的一阶导数dx dy
及二阶导数
2
2dx y
d . 解：
t a
b t a t b dx dy cot sin cos -=*-*= t a b
t a t
a b
dt dx dx dy dt d dx y d 3
2222
sin sin csc /-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 6．函数的微分
若函数()x f y =在点x 处的改变量()()x f x x f y -∆+=∆，可表示为
()()x o x A y ∆+∆=∆。

其中A 为常数，则函数()x f y =在点0x 处可微，x A ∆称为函数在
点0x 的微分，记为x A dy ∆= 且有)(/
x f A =，则x x f dy ∆=)(/
例22 求函数2
x y =在x=1，1.0=∆x 时的改变量及微分. 解：21.011.1)(2
2
2
2
=-=-∆+=∆x x x y ，在点 x=1处，2211
=='==x x x y
所以 2.01.02=⋅=∆⋅'=x y dy
定理 函数y=f(x)在点0x 处可微⇔ f(x)在0x 处可导 例23 设 x y cos = ，求dy 解：dx x x
dx x dx x f dy sin 21)(cos )(-
='='=
例24 设x
e y sin =，求dy
解： xdx e dx e
dy x x
cos )(sin sin ⋅='=
例25 求方程 2
2
2
2a y xy x =-+确定的隐函数y=f(x)的微分dy 及导数
dx
dy 解：对方程两边求微分，得02)(22=-++ydy xdy ydx xdx ，即
x
y x y dx dy dx x y x
y dy dy
x y dx y x -+=
∴-+=
∴-=+)()(
第三讲 中值定理及导数应用
1. 柯西中值定理与洛必达法则
定理（柯西中值定理）如果函数满足下列条件： （1） 在闭区间[a,b]上连续； （2） 在开区间(a,b)上可导；
（3） )('x F 在（a,b ）内的每一点均不为零，
那么，在（a,b ）内至少存在一点ξ , 使得()()()
.
()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='-
定理（洛必达法则）若 （1）
)(lim ,0)(lim 0
==→→x g x f x x x x ；
（2） f(x)与g(x)在
x 的某个邻域（点
x 除外）可导，且)('x g ≠0；
（3）
A x g x f x x =→)(')
('lim
（A 为有限数，也可为∞-∞+或）
则
A x g x f x g x f x x x x ==→→)(')
('lim )()(lim
00
例1 求12
3lim 2
3
31+--+-→x x x x x x
解： 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =2346=
例2 求x x x tan cos 1lim
+→π
解：0
cos 1sin lim tan cos 1lim
2=-=+→→x x
x
x x x ππ
例3 求x
x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
解：
22
1
11lim 1arctan 2
lim x x x
x x x -+-=-+∞→+∞
→π
=1
例4 求)
0(ln lim
>+∞→n x x
n
x
解： 01lim 1
lim ln lim 1===+∞→-+∞→+∞→n
x n x n x nx nx x x x
例5 求)ln 1
1(
lim 1
x x x x --→
解：
2
1111
lim ln 11ln lim 1ln 1
ln 1
lim ln )1()1(ln lim )ln 11(lim 211111=
+=+-=-+-+=---=--→→→→→x x x x
x
x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x x
例6 求)
cos 1(sin )1(lim
20x x e x x x --→
22lim )cos 1(sin )1(lim 22020==--→→x
x x x x x e x x x x 解：
2.拉格朗日中值定理及函数的单调性
定理（拉格朗日中值定理）如果函数)(x f 满足下列条件： （1） 在闭区间[a,b]上连续
（2） 在开区间(a,b)内可导，
则在区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ。

推论 如果函数f(x)在区间(a,b)内满足0)('≡x f ，则在(a,b)内f(x)=C (C 为常
数)
推论 如果对(a,b)内任意x ，均有)(')('x g x f =，则在(a,b )内f(x)与g(x)之间只相差一个常数，即 f(x)=g(x)+C （C 为常数）
定理 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则有
（1）如果在(a,b)内0)('>x f ，则函数f(x)在[a,b]上单调递增； （2）如果在(a,b)内0)('<x f ，则函数f(x)在[a,b]上单调递减。

例7 讨论函数3
23)(x x x f -=的单调性。

解：)2(336)('3)(2
3
2
x x x x x f x x x f -=-=-=，所以因为
令0)(/
=x f 得驻点：2,021==x x ，将定义域分为三个部分区间
),2(),2,0(),0,(+∞-∞时，当)0,(-∞∈x 有，有0)(/<x f ；当)2,0(∈x 时，有0)(/>x f ；
当),2(+∞∈x 时有0)(/
<x f ，因此，由定理2知，函数在区间),2()0,(+∞-∞与上单调减少，在区间（0，2）上单调增加。

3.函数的极值与最值
（1）极值的定义 设函数f(x)在0x 的某个邻域内有定义，且对此邻域内任意一点
x(0x x ≠)，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数()x f 的一个极大值；同样，如果对
此邻域内的任一点x （0x x ≠），均有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数()x f 的一个极小值。

函数()x f 的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点0x ，称为极值点.
定理1（极值的必要条件） 设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则0)('=x f
（2）函数极值的判别法
定理（第一充分条件） 设函数f(x)在点0x 处连续，在点的某一个空心邻域内可导，当x 由小到大经过点0x 时，如果
1）)('x f 由正变负，那么0x 是函数f(x)极大值点； 2）)('x f 由负变正，那么0x 是函数f(x)极小值点； 3）)('x f 不变号，那么0x 不是极值点。

定理（第二充分条件）设函数f(x)在点0x 处具有二阶导数且0)('',0)('≠=x f x f 1）如果0)(''<x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值； 2）如果0)(''>x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值。

例7 求函数f(x)=x x x 962
3
+-的极值。

解法1：因为 f(x)=x x x 962
3
+-的定义域为(+∞∞-,),
)3)(1(39123)('2--=+-=x x x x x f
令0)('=x f ，得驻点为3,121==x x .
在)1,(-∞内，0)('>x f 在(1,3)内，0)('<x f 故f(1)=4为函数f(x)的极大值。

同理知f(3)=0为f(x)极小值。

解法2：因为f(x)的定义域为),(+∞-∞，且126)('',9123)('2
-=+-=x x f x x x f , 令0)('=x f ，得驻点为3,121==x x 。

又因为06)1(''<-=f ，所以f(1)=4为极大值，
06)3(''>=f 所以，f(3)=0为极小值。

例8 求函数3
2)1(2)(--=x x f 的极值。

解：因为 f(x)的定义域为),(+∞-∞，且在),(+∞-∞上连续，且
)1()
1(32)1(3
2
)('3
131≠--=
--=-x x x x f
x=1时，)('x f 不存在，所以x=1为f(x)的可能极值点。

在)1,(-∞内，0)('>x f 在)
,1(+∞内，0)('<x f ,故在x=1处取得极大值2)1('=f 。

（3）最大值与最小值
某些优先问题可归结为求函数f(x)在区间I 上的最大值与最小值，求连续函数f(x)在闭区间[a, b]上最大（小）值的一般步骤是：
1）求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x 1, x 2,。

x n,; 2）计算出函数值f(x 1), f(x 2),… f(x n );以及f(a)与f(b); 3）比较上述值的大小.
例9 求函数x x x x f 1232)(2
3
-+=在[-3,4]上的最值。

解：因为f(x)在 [-3,4] 上连续，所以在该区间上存在最大和最小值。

又因为
)1)(2(61266)('2-+=-+=x x x x x f ，
令0)('=x f ，得驻点1,221=-=x x 。

由于128)4(,9)3(,7(1(,20)2(==--==-f f f f 比较各值，可得f(x)最大值为128，最小值为-7。

例10 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ，问高x 取何值时水槽的流量最大。

解：设两边各折起，则横截面积为S(x)=2x(a-x)(0<x<a)，
由于x a x s 42)('-=，所以，令0)('=x s ，得驻点为2
a x =
由实际意义，其最大值在2a x =
时取得，所以当2
a
x =时，流量最大。

4.函数图形的描绘
（1）曲线的凹凸性及判别法
若在某区间（a,b ）内曲线段总位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线段在（a,b ）内是凹的；若曲线段总位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线段在（a,b ）内是凸的
定理 设函数)(x f y =在开区间（a,b ）内具有二阶导数，
（1）若在(a,b)内，0)(''>x f 则曲线y=f(x)在(a,b)内是上凹的； （2）若在(a,b)内，0)(''<x f 则曲线y=f(x)在(a,b)内是下凹的。

例10 判定曲线y=x ln 的凹凸性。

解：函数的定义域为),0(+∞，21'',1'x
y x y -==
当x>0时0''<y ，故y=lnx 在),0(+∞内是向下凹的。

（2）拐点及其求法
若连续函数f(x)的点P 是曲线上凹和下凸的分界点，则称点P 是曲线的拐点。

由于拐点是曲线凹向的分界点，则在拐点两侧近旁必)(''x f 异号。

故拐点0x 横坐标只能是使
0)(''=x f 的点或是)(''x f 不存在的点。

所以可得其求法：
1)先求出)(''x f ，找出在(a,b)内使0)(''=x f 的点和)(''x f 不存在的点； 2)用上述点将(a,b)分成若干小区间，再在每个小区间上考察)(''x f 的符号； 3)若在某点i x 两侧近旁异号，则该点是拐点，否则不是。

例11 求曲线3
x y =的凹向及拐点，并画草图。

解；因为3
x y =定义域为),(+∞-∞，且x y x y 6'',3'2
==，令0''=y 得 x=0 用x=0将),(+∞-∞分成两小区间),0(),0,(+∞-∞
当)0,(-∞∈x 时，曲线3
x y =下凹；当),0(+∞∈x 时，曲线3
x y =上凹 所以，点x=0为3
x y =拐点。

（3）渐近线
若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线L 的距离趋近于零，则称L 为曲线C 的渐近线。

斜渐近线 若满足：（1）k x
x f x =∞
→)
(lim ；（2）b kx x f x =-∞→])([lim 则曲线y=f(x)有
斜渐近线为y=kx+b.
例12 求曲线3
223
-+=x x x y 的斜渐近线
解：令3
2)(23
-+=x x x x f ， 因为
2)32(lim ])([lim ,132lim )(lim 23
22-=--+=-==-+==∞→∞→∞→∞→x x x x kx x f b x x x x
x f k x x x x
所以斜渐近线为2-=x y
铅直渐进线 若C x →时（有时仅当+→C x 或-
→C x ），有∞→)(x f ，则称直线C x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线。

（其中C 为常数）
水平渐进线 若当∞→x 时，C x f →)(（C 为常数）则称曲线y=f(x)有水平渐近线C y = （4）函数的图形的描绘 函数作图的步骤如下：
（1）确定函数的定义域，判断函数是否有奇偶性，周期性；
（2）求出/
y ，并求出使0)(/
=x f ；0)(/
=x f 在定义域内的所有点x 及0)(/
=x f ，不存在点；
（3）这些点将定义域分成若干小区间，在各小区间内确定/
y 的符号，由此确定每个区间上函数图像的单调性，凹凸性，极值点和拐点。

（4）确定函数的渐进线；
（5）求出极值点，拐点对应的纵坐标，必要时可再补充一些特殊点； （6）描点并根据上述结果绘出函数的图形。

例13 描绘函数x
e y x
+=1的图象
解；函数的定义域为1≠x 的全体实数，且当1-<x 时，有0)(<x f ，即1-<x 时，
图象在x 轴的下方；当1->x 时，有0)(>x f ，图象在x 轴的上方.
由于∞=-→)(lim 1
x f x ，所以，1-=x 时为曲线)(x f y =的铅直渐进线
又因为01lim
=+-∞→x
e x
x ，所以，0=y 为水平渐进线； 因为2/
)1(x xe y x +=，3
2//
)
1()1(x x e y x ++=，令0/=y ，得0=x ，又1-=x 时，//y 不存在。

极小值10
1)0(0
=+=e f 故可画出图象（略）。

第四讲 不定积分与定积分
1. 不定积分
（1）不定积分的概念
设f (x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F ’(x) = f (x) 或d F(x) = f (x)dx ,则称F(x)为f (x) 的一个原函数.
函数f (x)的全体原函数叫做f (x)的不定积分，记为⎰dx x f )( = F(x)+ C ，
其中 F /
(x) = f (x)。

例1 求下列不定积分
（1）dx x ⎰
2； （2）
dx x ⎰1。

解：（1）因为)3
1
(3'x = 2
x ，所以dx x ⎰
2=
3
3
1x +C （2）因为x >0时,)(ln 'x =x 1 ,又x <0时,)][ln(x -’=x --1=x
1, 所以
dx x ⎰1
=ln |x |+ C .
例2 设曲线过点（1，2）且斜率为2x ，求曲线方程。

解 设所求曲线方程为y=y(x).按题意有:
dx
dy =2x , 故y =⎰xdx 2 =2
x +C . 又因为曲线过点（1，2），故代入上式 2=1+C ,于是所求方程为y=2
x +1.
例3 设某物体以速度2
3t v =作直线运动，且当0=t 时2=s ，求运动规律)(t s s = 解： 按题意有2
3)(t t s ='，即C t dt t t s +==⎰
323)(，再将条件0=t 时2=s 代入得
,2=C 故所求运动规律为23+=t s 。

（2）利用基本积分公式和不定积分性质计算不定积分 例4 求下列不定积分：（1）
dx x ⎰21
； （2）dx x x ⎰ 。

解 （1）dx x
⎰21= dx x ⎰-2
=
C x C x +-=++-+-11212 ； （2）dx x x ⎰=C x dx x +=⎰25
2
35
2
例5 求下列不定积分：(1)dx x
x x )1
)(1(-
+⎰
; (2)dx x x ⎰+-11
22.
解 (1)
dx x
x x ))((1
1-
+⎰ =dx x
dx xdx dx x x ⎰
⎰⎰⎰-
-+1
.1=C x x x x +--+21
225221
52
(2)dx x x ⎰+-1
122=2222122(1)2111x dx
dx dx dx x x x +-=-=-+++⎰⎰⎰⎰2arctan x x C =-+
例6 求下列不定积分:(1)xdx ⎰2tan ; (2)dx x
2
sin
2
⎰
. 解 (1)xdx ⎰2tan =⎰
⎰⎰+-=-=-C x x dx xdx dx x tan sec )1(sec 22
(2)sin dx x 2sin
2
⎰
==C x x dx x +-=-⎰sin 2
1212cos 1 （3）换元积分法 定理 如果⎰+=C x F dx x f )()(,则⎰⎰+=,)()(C u F du u f 其中)(x u φ=是x 的可
微函数。

例7 求⎰
.sin cos 2xdx x
解 设u=cosx, 得du= -sinxdx.
⎰.sin cos 2
xdx x =—C x C u du u +-=+-=⎰332cos 3
131 例8 求
⎰-x x
dx 2
ln 1
解 设
⎰-x
x
dx
2ln 1=
C x x d x
x dx x +=-=-⎰⎰
)arcsin(ln )(ln ln 11
)(
ln 11
22。

例9 求下列积分： （1）
a x a dx (2
2⎰
-〉0）；（2）⎰
+2
2x
a dx
； （3）⎰xdx tan ； （4）⎰xdx cot ； （5）xdx sec ； （6）⎰
xdx csc 。

解（1）
C x a x
d a
x dx a
x a x a dx +=-=-=-⎰
⎰
⎰
arcsin )()
(11
)(1122
2
2；
（2）
C a x
a x a dx +=+⎰arctan 122 （3）C x x
x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰|cos |ln cos )
(cos cos sin tan ;
（4）C x xdx +=⎰
|sin |ln cot
（5）⎰⎰⎰++=++=++=++=;
|tan sec |ln )sec (tan sec tan 1
sec tan tan sec sec sec tan )tan (sec sec sec 2C x x x x d x
x dx
x x x
x x dx x x x x x xdx （6）C x x xdx +-=⎰
|cot csc |ln csc 例10 求下列积分： （1）
dx a x ⎰-2
21
； （2）dx x x ⎰-+243； （3）
dx e x ⎰+11； （4）⎰
xdx 2
sin ； 解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数作适当变形。

（1）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++---=+--=-⎰⎰⎰⎰a x a x d a x a x d a dx a x a x a dx a x )()(21)11(21122 =
[]C a
x a x a C a x a x a ++-=++--ln 21||ln ||ln 21
（2）
⎰
⎰
⎰
-+=-+dx x
x x
dx dx x
x 2
2
2
4_4343
=)4(421
2arcsin
322
x d x x
---
+⎰
=C x x +--242arcsin 3
（3）)1(11)11(1111x
x x x x x x x e d e
dx dx e e dx e e e dx e ++-=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰ C e x x
++-=)1ln( (4)
⎰C x x xdx dx dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰
2sin 4
1
212cos 212122cos 1sin 2 例11 计算积分
⎰
-2
x
x dx
解法1
⎰
⎰
⎰
--=--=-2
22
)
12(12)2
1(41x dx x dx x
x dx
=
C x x x d +-=---⎰
)12arcsin()
12(1)12(2
解法2 因为
,2x d x
dx =所以
.arcsin 2)
(12)
1(2
2
C x x x d x x dx x
x dx +=-=-=-⎰
⎰
⎰
例12 求
.1dx x
x ⎰+
解：为了消去根式，可令.2),0(,2
tdt dx t t x t x =≥==则即于是Л
dt t t tdt t t dx x x
⎰⎰⎰+=+=+122112
=2dt t
t dt t t )11
1(211)1(2
⎰
⎰++-=++- =C x x x t C t t t +++-=+++-|1|ln 22|1|ln 222
例13 求
⎰
-dx x a 22
解：令x=asint(-21π‹ t ‹2
1
π),那么 tdt a dx t a x a cos cos 22==-且,
于是
C t a t a dt t a tdt a dx x a ++=+==-⎰⎰⎰
2sin 4
222cos 1cos 2
22
2
2
2
2
例14 求
a x a dx ()
(2
3
22
⎰
+›0）
解：令t a x tan =(-21π‹ t ‹21π)，则tdt a dx 2
sec =。

所以
C t a
tdt a dt t a t a x a dx +===+⎰⎰⎰
sin 1cos 1sec sec )
(2
23322
32
2
.
又因为,sin 2
2
x
a x t +=
故C x
a a
x x a dx ++=
+⎰
2
22
2
322)
(。

（4）分部积分法
⎰⎰-=vdu uv udv ，
（分部积分公式） 例15 求⎰
xdx x cos 。

解：设)(sin cos ,x d xdx dv x u ===，代入公式得
⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin )(sin cos
=.cos sin C x x x ++
例16 求⎰
.ln xdx x
解：)(ln 2ln 21)2(ln ln 2
22x d x x x x xd xdx x ⎰⎰⎰-==
=C x x x xdx x x +-=-⎰2224
1ln 221ln 2。

例17 求dx e x x ⎰
2。

解：
⎰⎰⎰-==)()(2222x d e e x e d x dx e x x x x x =)(2222x
x x x e xd e x dx xe e x ⎰
⎰-=- =C e xe e x dx e xe e x x x x x x x ++-=--⎰
22)(222
=（C e x x x
++-)22(2 例18 求⎰
xdx e x sin 。

解：xdx e x e e xd xdx e x x x x cos sin )(sin sin ⎰⎰⎰-== =)(cos sin ⎰
-x x e xd x e
=⎰
--xdx e x e x e x x x sin cos sin
移项整理得
C x x e xdx e x
x
+-=
⎰)cos (sin 2
1sin 。

注：（1）下列几种类型积分，均可用分布积分求解。

;,cos ,sin ,⎰⎰⎰=n n n ax
n x u xdx x xdx x dx e
x 可设
;arctan ,arcsin ,ln ,arctan ,arcsin ,ln x x x u xdx x xdx x xdx x n
n n =⎰⎰⎰可设 ⎰⎰=.cos ,sin ,cos ,sin bx bx u bxdx e dx bx e ax ax 可设
（2）上述情况n
x 换为多项式仍然成立。

（3）一经选定，再次分布积分时，必须按原来的选择。

例19 求dx x ⎰
arctan 。

解： 先换元，令t t x (2
=›0），则.2tdt dx =
⎰
⎰⎰==)(arctan 2.arctan arctan 2
t td tdt t dx x =dt t t t t t d t t t ⎰⎰+-=-2
2
2
2
2
1arctan )(arctan arctan =C x x x C t t t t +-+=++-arctan
)1(arctan arctan 2。

2.定积分
（1）定理（Newton －Leibniz 公式）设)(x f 在区间[a ，b]上连续，且)(x F 是它在该区间上的一个原函数，则：
⎰
b
a
dx x f )(=)(b F –)(a F 简记为：⎰b
a
dx x f )(=b a x F )]([
例20 求：
⎰-+1
1211
dx x 解：∵ ⎰+dx x 211
=x arctan
∴ ⎰-+11211dx x =1
1
][arctan -x =)1arctan(1arctan --=2
)4(4πππ=--。

例21 求：⎰-1
)cos 32(dx x
解：∵
⎰-dx x )cos 32(=⎰⎰-xdx dx cos 32=x x sin 32-+c
∴
⎰
-10
)cos 32(dx x =10]sin 32[x x -)0sin 31sin 3()0212(--⨯-⨯=
= 1sin 32-
注：在熟悉牛顿－莱布尼茨后，可简化书写过程 例22 求：
⎰-1
0100
)
12(dx x
解：
⎰-1
100
)
12(dx x =⎰--10
100
)12()12(21x d x =10101101])12[(2021101)12(21-=-x x
=])102()112[(2021101101-⨯--⨯=101
1
)]1(1[2021=-- 例23 求： ⎰e dx x
x
1ln 解：
⎰
e
dx x x 1
ln =2)1(ln 2)(ln ]2)(ln [)(ln ln 22112-==⎰e x x xd e e =2
1
021=-。

例24 设0
,0
1{
)(<≥+=-x e x x x f x ，，求⎰-21)(dx x f 解：⎰-2
1)(dx x f =⎰--0
1dx e x
+⎰+2
0)1(dx x =2
020
1
]2
)1([
][++---x e x =]2
)10(2)12([)(2
20
+-++--e e =341+=+-e e （2）定积分的换元积分法 例25 求：
⎰
+4
11dx x
解：设t = x ，则：2t x =，故：tdt dx 2= 当0=x 时，00==
t ， 当4=x 时，24==t
∴⎰+4
011
dx x
=⎰⋅+2
0211
tdt t =⎰⋅+2012dt t t =⎰⋅+-+2011)1(2dt t t
=⎰
⋅+-
2
)111(2dt t
=2
||)1|ln (2t x +-=)3ln 2(2- 例26求：
⎰
-2
2
2
1
x x dx
解：设x=t sec =
t cos 1
)20(π<<t ，则：x
t 1arccos =)1(>x 则：tdt t dx tan sec = 当x=2时，cost=
21，∴3π=t ，当x=2时，cost=22，∴4
π=t ，
∴
⎰
-2
2
21x x dx
=⎰⋅⋅4
3tan sec tan sec ππt t tdt t =⎰4
3
π
πdt =4π-
例27 设：⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0
,0
,1)(2
x e x x x f x 求：⎰-31)2(dx x f
解：设2-=x t ，则：2+=t x ，dt dx =，当1=x 时，1-=t ；当3=x 时，1=t ∴
⎰
-3
1
)2(dx x f =⎰-=
1
1
)(dt t f ⎰
-1
1
)(dx x f =⎰-+01
2)1(dx x +⎰1
dx e x
=e e e x x x +=-+=++-3
1
134][]3[10013 （3）定积分的分部积分法：
例28 求
dx x x ⎰
π
cos
解：设x x u =)(， ∴1)(='x u ，x x v cos )(='，∴x x v sin )(= ∴
dx x x ⎰
π
cos =[x ﹒sinx]π0- dx x ⎰π
sin =π
0]cos [x --=0cos cos -π= －1－1=－2
例29 求dx e x x ⎰
-1
2
解：
dx e x
x
⎰-1
2
=)(1
2
x
e d x ---⎰=-
--1
2
)]([x
e x dx e
x x
⎰--1
)(2
=1
--e --
-1
]2[x xe
dx e x ⎰
--1
)(2=1--e -12-e -)1(21--e =2 -15-e
（4）定积分的几个常用公式：
设)(x f 在关于原点的对称的区间 [a ，b] 上可积，则： （1）当)(x f 为奇函数时，⎰
-=a
a dx x f 0)(
（2）当)(x f 为偶函数时，
⎰
⎰-=a
a
a
dx x f dx x f 0)(2)(
例30 求：
⎰-++2
22sin 1cos π
πdx x x x
解：⎰-++222sin 1cos π
πdx x x x =⎰-+222sin 1π
πdx x x +⎰-+22
2sin 1cos π
πdx x x 在[2,
2ππ-
]上，
x x 2sin 1+为奇函数，x
x
2
sin 1cos +为偶函数 ∴原式=0+⎰+202sin 1cos 2π
dx x x =)(sin sin 112202⎰+π
x d x =20)]n [arctan(si 2π
x =2
π 3.积分上限的函数及其导数：
设)(x f 在区间[a ，b]上连续，对任意x ∈[a ，b]，函数)(x f 可积，即：⎰
x
a
dx x f )(存在，
一般记为
⎰
x
a
dt t f )(，称为变上限积分。

定理 如)(x f 在区间[a ，b]上连续，则：F （x ）=
⎰
x
a
dt t f )(在[a ，b]可导，且：
)())(()(''x f dt t f x F x
a
==⎰。

例31 算下列各题：
（1）
dt e dx d x t ⎰-0 （2）dt e dx d x t ⎰-20 （3）dt e dx d x x t
⎰-2 解：（1）dt e dx
d x t ⎰-0=x
e -。