第4章 数学建模 建立函数模型解决实际问题 (学生版)

数学建模建立函数模型解决实际问题
知识讲解
1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;
(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;
(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;
(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;
(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;
(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的。

2面临实际问题,自己建立函数模型的步骤
(1)收集数据;
(2)画散点图
(3)选择函数模型;
(4)求函数模型;
(5)检验;
(6)用函数模型解释实际问题.
3.数学建模活动的要求
(l)组建合作团队;
(2)开展研究活动;
(3)撰写研究报告;
(4)交流展示。

一、选择题 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )
A.200副
B.400量
C.600副
D.800副 2.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( )
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善。

A.1
B.2
C.3
D.4 3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()
A.增加7.84%
B.减少7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为⎪⎩⎪
⎨⎧∈≥∈<<+∈≤≤,,100,5.1,
,10010,102,,101,4N x x x N x x x N x x x 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )
A.15
B.40
C.25
D.130
5.某地固定电话市话收费规定:前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后每加一分钟增加0.10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550秒,应支付电话费( )
同步练习
A.1.00元
B.0.90元
C.1.20元
D.0.80元
二、填空题 1.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是)1ln(2000m M v +
⋅=.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本.某企业一个月生产某种商品x 万件时生产成本为)(20212)(2万元++=x x x C ,一万件售价是20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件。

3.已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方2v (v 的单位:千米/时)成正比,当汽车行驶速度为60千米/时,刹车距离为
20米.若某人驾驶汽车的速度为90千米/时,则刹车距离为 米。

4.为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;①如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;①如果超过500元,其中500元按第①条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 元。

三、解答题
1.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y 应是x 的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
(1)请你确定y 与x 的函数解析式(不必写出x 的取值范围)
(2)现有一把高42.0cm 的椅子和一张高78.2cm 的课桌,它们是否配套?为什么?
2.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.
(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式)(t f P =,写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式)(g t Q =。

(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
(注:市场售价和种植成本的单位:元/102kg,时间单位:天)
3.一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购过超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元。

(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价格恰好为51元?
(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x)关系式。

(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个,利润又是多少元?(一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件的成本)
4.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的20%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超过A 万元,则超过部分按)2(log 25 A 进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式.
(2)如果业务员小江获得8万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?。