2019年高考数学(文)一轮总复习模拟演练 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-2及答案

(时间：40分钟)
1．已知点A (－1,1)，B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →
∥a ，则实
y 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 C
解析 AB →
＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →
∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.
2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其
中m ，n ∈R 且n ≠0)，则m
n
＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12
D ．12
答案 A
解析 因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m n
＝－2，故选A.
3．已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →
＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →
＝( )
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－6 B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，6
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，6 答案 B
解析 因为在▱ABCD 中，有AC →＝AB →＋AD →，AM →＝12AC →，所以AM →＝12(AB
→
＋AD →)＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，6，故选B.
4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b
B ．12a －32b
C ．32a －12b
D ．－32a ＋12
b
答案 B
解析 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝1
2，
λ2＝－32，所以c ＝12a －3
2
b .
5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则函f (x )＝3x ＋|λ|
x ＋1
(x >－1)的最小值为( )
A ．10
B ．9
C ．6
D ．3
答案 D 解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝31＝3.f (x )＝3x ＋
3x ＋1＝3(x ＋1)＋3x ＋1
－3≥23 x ＋1 ·
3
x ＋1
－3
＝6－3＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3
x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函f (x )
的最小值为3，故选D.
6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实a 的值为________．
答案 －5
4
解析 AB →
＝(a －1,3)，AC →
＝(－3,4)，
据题意知AB →∥AC →
，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－5
4
.
7．已知点A (7,1)，B (1,4)，若直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →
，则实a ＝________.
答案 1
解析 设C (x 0，ax 0)，则AC →＝(x 0－7，ax 0－1)，CB →
＝(1－x 0,4－ax 0)．因为AC →＝2CB →
，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0－7＝2 1－x 0 ，ax 0－1＝2 4－ax 0 ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3，
a ＝1.
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π
4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ
＝________.
答案 2 2
解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π
4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA
→＋μOB →
，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝
μ＝2，λ＋μ＝2 2.
9．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0. (1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；
(2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解 (1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA →＝BC →
，即(a,0)＝(2,2－b )，
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，2－
b ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
故a ＝2，b ＝2.
(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →
＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →
， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，
因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0， 解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0.
因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．
10．如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →
分成2∶1
的一个三等分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b
.
(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →
； (2)若OE →＝λOA →
，求实λ的值．
解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →
，由平行四边形
法则，得OB →＋OC →＝2OA →
，
所以OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ， DC →
＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .
(2)由题意知，EC →∥DC →， 故设EC →＝xDC →
.
因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53
b ，
所以(2－λ)a －b ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫
2a －53b .
因为a 与b 不共线，由平面向量基本定，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
2－λ＝2x ，
－1＝－5
3x ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3
5
，
λ＝4
5，
故λ＝4
5
.
(时间：20分钟)
11．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →
同向的单位向量的坐标为( )
A ．⎝
⎛⎭⎪⎪⎫12，32 B ．⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－12，32 C ．⎝
⎛⎭⎪⎪⎫12
，－32 D ．⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－12
，－32 答案 A
解析 与OA →同向的单位向量a ＝OA
→
|OA →|
，又|OA →|＝1＋ 3 2＝
2，故a ＝12(1，3)＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫12
，32，故选A. 12．在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →
按逆时针旋转3π
4
后，得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )
A ．(－72，－2)
B ．(－72，2)
C ．(－46，－2)
D ．(－46，2)
答案 A
解析 解法一：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，其中cos θ＝3
5，
sin θ＝4
5，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－
2)．
解法二：将向量OP →＝(6,8)按逆时针旋转3π
2后得OM →＝(8，－6)，
则OQ →＝－12
(OP →＋OM →
)＝(－72，－2)．
13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →
，
则|AC →
||AB →|
＝________. 答案 13
解析 由已知得，3OC →＝2OA
→＋OB →
，
即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)， 即BC →＝2CA →
，如图所示，
故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →||AB →|
＝1
3.
14．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →
，
求实m 的值．
解 由N 是OD 的中点，得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD
→
＋14
AB →
， 又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →
， 即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
34
AD →＋14AB →， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝1
4
λ，
1＝3
4λ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
3
，
λ＝4
3，
故实m ＝1
3
.。