高中数学学案 平面向量的实际背景及基本概念

【解析】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →,BC →,AO →,FE →
.
(2)与a 共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →
.
相等向量必须满足两个条件：方向相同,长度相等,相反向量方向相反,长度相等,与起始点的位置无关,所以只需在图中找与a →
平行或共线且长度相等的所有线段,将它们表示成向量.
2.1
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量．
答案：D
2．下列命题中,正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|
. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
解析：根据单位向量的定义,可知①②③明显是错误的,对于④,与非零向量a 共线的单位向量是a
|a|
或
－
a
|a|,故④也是错误的． 答案：D
3．下列命题中,正确的是( ) A ．|a|＝|b|⇔a ＝b B ．|a|>|b|⇔a>b C ．a ＝b ⇔a∥b D ．|a|＝0⇔a ＝0
解析：由零向量的定义,可知D 选项是正确的,故选D. 答案：D
4．如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF∥AB ,
则( )
A.AD →＝BC →
B.AC →＝BD →
C.PE →＝PF →
D.EP →＝PF →
解析：由平面几何知识知,AD →与BC →
方向不同, 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同,故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反,故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同,∴EP →＝PF →. 答案：D
5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
,则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形
解析：由BA →＝CD →,知AB ＝CD 且AB∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →
|,所以四边形ABCD 为菱形．
答案：C
二、填空题(每小题5分,共15分)
6．如图,已知正方形ABCD 的边长为2,O 为其中心,则|OA →
|＝________.
解析：因为正方形的对角线长为22,所以|OA →
|＝ 2. 答案： 2 7.
如图,四边形ABCD 是平行四边形,E,F 分别是AD 与BC 的中点,则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中,与向量EF →
方向相反的向量为________．
解析：因为AB∥EF ,CD∥EF ,所以与EF →平行的向量为DC →,CD →,AB →,BA →,其中方向相反的向量为BA →,CD →
. 答案：BA →,CD → 8．给出下列命题：
①若AB →＝DC →
,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中,一定有AB →＝DC →
； ③若a ＝b,b ＝c,则a ＝c ； ④若a∥b ,b∥c ,则a∥c.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：AB →＝DC →,A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上,故①不正确；在▱ABCD 中,|AB →|＝|DC →|,AB →与DC →平行且方向相同,故AB →＝DC →
,故②正确；a ＝b,则|a|＝|b|,且a 与b 方向相同；b ＝c,则|b|＝|c|,且b 与c 方向相同,则a 与c 长度相等且方向相同,故a ＝c,故③正确；对于④,当b ＝0时,a 与c 不一定平行,故④不正确．
答案：②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上,已知向量a. (1)试以B 为起点画一个向量b,使b ＝a ；
(2)画一个以C 为起点的向量c,使|c|＝2,并说出c 的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义,所作向量b 应与a 同向,且长度相等,如下图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心,2为半径的圆,如下图所示．
10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点,然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D 点．
(1)作出向量AB →,BC →,CD →
； (2)求|AD →|.
解析：(1)如图所示．
(2)由题意,易知AB →与CD →
方向相反, 故AB →与CD →
共线,即AB∥CD. 又|AB →|＝|CD →|,
所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →
|＝200(千米)． [能力提升](20分钟,40分)
11．如图,在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )
A.AB →＝OC →
B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D.AD →＝FC →
解析：由题图可知,|AD →|＝|FC →|,但AD →、FC →不共线,故AD →≠FC →
,故选D. 答案：D
12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a 与b 方向相反；③|a|＝0或|b|＝0,其中能使a∥b 成立的条件是________．
解析：由于|a|＝|b|并没有确定a 与b 的方向,即①不能够使a∥b 成立；因为a 与b 方向相反时,a∥b ,即②能够使a∥b 成立；因为零向量与任意向量共线,所以|a|＝0或|b|＝0时,a∥b 能够成立．故使a∥b 成立的条件是②③.
答案：②③
13．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地,再从B 地按南偏东75°的方向飞行1 400 km 到达C 地,那么C 地在A 地什么方向上？C 地距A 地多远？
解析：
如图所示,AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移,则|AB →
|＝1 400 km. BC →表示飞机从B 地按南偏东75°方向飞行到C 地的位移,则|BC →
|＝1 400 km. 所以AC →
为飞机从A 地到C 地的位移．
在△ABC 中,AB ＝BC ＝1 400 km,且∠ABC＝75°－15°＝60°, 故△ABC 为等边三角形,所以∠BAC＝60°,AC ＝1 400 km.
所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°方向上,距离A 地1 400 km. 14．如图,在△ABC 中,已知向量AD →＝DB →,DF →＝EC →,求证：AE →＝DF →
.
证明：由DF →＝EC →
,可得DF ＝EC 且DF∥EC , 故四边形CEDF 是平行四边形,从而DE∥FC. ∵AD →＝DB →
,∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →,∴AE →＝DF →.。