湖北省黄冈中学等八校高三12月第一次联考(全科10套)(

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知复数R )，，若为纯虚数，则 A ． B ． C ．2 D ．
2．如图给出的是计算的值的程序框图，其中 判断框内应填入的是 A ． B ． C ． D ．
3．设224a x dx π
ππ-⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式展开式中含
项的系数是
A ．
B ．193
C ．
D ．7
4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A ． B ．4 C ． D ．3 5．“且”是“”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分条件也非必要条件
6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若，则
7．用表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()
()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若，
，且，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知x , y , R ，且，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是
A ．20
B ．25
C ．36
D ．47
9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足，R 在抛物线准
线上的射影为S ，设，是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子 ① ② ③ ④2
tan
|)tan(|β
αβα+>-
中一定正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．设定义在D 上的函数在点处的切线方程为，当时，若 在D 内恒成立，则称P 为函数的“类对称点”，则的 “类对称点”的横坐标是 A ．1 B ． C ．e D ．
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对
应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） 11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．
12．已知直线过点，若可行域⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥-+≤003y y x n my x 的外接圆直径为20，则n =_____．
13．已知函数⎪⎩⎪⎨
⎧≤<++-≤≤=3
1,321
0,2)(2
x x x x x x f ，将f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则
所得旋转体的体积为________．
14．以(0, m )间的整数N )为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；以 间的整数N )为分子，以为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2，其所有元素和为 a 2；……，依次类推以间的整数N )为分子，以为分母组成不属于A 1，A 2，…， 的分数集合A n ，其所有元素和为a n ；则=________．
(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分) 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一 点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若
AD =AB = 2，则EB =_________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程 为04)sin 2(cos 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为正 半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数
方程为 (为参数)．设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两 条切线所成角余弦的最小值是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A , B , C 所对边的长依次为a,b,c ，若， ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编
码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字
符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和它的数学期望．
19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，，
把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角为直二面角．如图2，
（Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的大小的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，S3=7，且，，成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，，其中N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅲ）设，，，求集合C中所有元素之和．
21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，
过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．
22．（本小题满分14分）已知，设函数132)1(3)(2
3+++-
=tx x t x x f ．
（Ⅰ）若在(0, 2)上无极值，求t 的值；
（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围；
（Ⅲ）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m 的最大值为1，求t 的取
值范围．
2015届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题
二、填空题
解析如下：1．由于()()()
5
4
2
2
5
2
1
2
2
1
2
2
1
i
a
a
i
ai
i
ai
z
z+
+
-
=
+
+
=
-
+
=为纯虚数,则,则,故选择D. 2．由程序知道,都应该满足条件,不满足条件,故应该选择B.
3．由于()
2222
2222
2cos cos sin cos sin2
4
a x dx x x dx xdx x
ππππ
ππππ
π
----
⎛⎫
=+=-===
⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰
则含项的系数为,故选择A.
4．几何体如图，体积为：,故选择B
8．由于()()()()()()324
)]
3
(2
1
)2
(
5
[
)]
2
2
1
][(
3
1
5
[2
2
2
2
2
2
2=
+
+
-
-
+
+
≥
+
-
+
+
+
-
+
+z
y
x
z
y
x
则()()()2
2
23
1
5+
+
-
+
+z
y
x(当且仅当即
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
=
-
=
1
3
3
z
y
x
时取等号.故选C
9．由于△PQS是直角三角形，则，故①②③都对，
当PQ垂直对称轴时|tan()|0tan
2
αβ
αβ
+
-=<，故选C
10．由于，则在点P处切线的斜率.
所以切线方程为()2
00000
4
()2664ln
y g x x x x x x x
x
⎛⎫
==+--+-+
⎪
⎝⎭
2
000
4
264ln4
x x x x
x
⎛⎫
=+--+
-
⎪
⎝⎭
()()()()()
22
00000
4
64ln2664ln x f x g x x x x x x x x x x
x
ϕ
⎛⎫
=-=-+-+----+
⎪
⎝⎭
，则，)
2
)(
(
2
)
2
1
)(
(2
)6
4
2(
6
4
2
)
('
0x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x-
-
=
-
-
=
-
+
-
-
+
=
ϕ.
当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，； 当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，； 所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故
所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则） 故选择B
13．将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为
23114202123233
πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 14．由题意＝1m +2m +…+m -1m
＝1m 2+2m 2+…+m -1m 2+m +1m 2+…+2m -1m 2+2m +1m 2+…+m 2-1m 2=1m 2+2m 2+…+m 2-1m 2 -(1m +2m +…+m -1m )＝1m 2+2m 2+…+m 2-1m 2 -a 1 a 3＝1m 3+2m 3+…+m 3-1
m 3 -a 2-a 1
a n ＝1m n +2m n +…+m n -1
m n -a n-1…-a 2-a 1
所以=1m n +2m n +…+m n -1m n =1m n ·[1+2+…+(m n
-1)]＝m n -12
15．连接则COD BCO CBO DOA ∠=∠=∠=∠则则，则是半圆的切线 设，由BC ∥OD 得，则，则，则
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．( I )依题设：sin A ＝＝＝，sin C ＝＝＝，
故cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos (A ＋C )＝－(cos A cos C -sin A sin C )＝－(－)＝. 则:sin B ＝＝＝
所以==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6…………………………………………6分 ( II ) 由( I )知：==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6，
不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0.故知：||＝b ＝5k ，||＝a ＝4k . 依题设知：||2＋||2＋2||||cos C ＝46 46k 2＝46，又k ＞0k ＝1. 故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6.
△ABC 的面积是…………………………………………12分 18．（I ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是
1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. ………4分 （II ）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.
若，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，
3或1，2，4.21
2333
2(221)19
(3).324
A C P ξ++∴=== 若122232323
9
4,(4)432
A A A A P ξξ+====则（或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. ……8分
.32
32432382=⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………………………………12分
19．如图2所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的 直线为轴建立空间直角坐标系，则 ,
（Ⅰ）设面的法向量为
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
BC n AB n 取有
,
与面所成角的余弦值是. ………………………………6分 （Ⅱ）同理求得面的法向量为，则
则二面角的正弦值为. …………………………12分
21．（Ⅰ）由题意知，，则，23222222
=+=+=+∴c c a
b a CD AB ，
所以．所以椭圆的方程为． ………………4分 （Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知22222
1
21=⨯⨯=⋅=
CD AB S 四边形； …………………………5分 ②当两弦斜率均存在且不为0时，设，， 且设直线的方程为， 则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，
所以)2122
1|12k AB x x k +=-==+． ……………8分
同理，2212(1)
21k CD k
+==+． …………………………9分 所以2
4
2
22222522)1(42)1(2221)1(222121k k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形
()
()()2
2
2
142211
2121
k k k k k k
+==-++++，
911221122
2
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k 当且仅当时取等号 …………11分
∴
综合①与②可知， …………………………………………13分 22．（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又在(0, 2)无极值
…………………………………………3分
（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
由得：在时无解 ②当时，不合题意；
③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
即1332212
t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩
④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件
综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值. …8分。