高中数学选择性必修二 5 3 2 函数的极值与最大(小)值导学案

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）导学案
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．
重点：求函数极值
难点：函数极值与导数的关系
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值．
0 ;f ′(x)＜0;f ′(x)＞0;f (a)
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．
0 ;f ′(x)＞0;f ′(x)＜0;f (b);极值点;极值
1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)()
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
一、新知探究
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。

如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
以a，b为例进行说明.
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
二、典例解析
x3−4x2+4的极值.
例5. 求函数f(x)=1
3
问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？
一般地，求函数y＝f x的极值的步骤
1求出函数的定义域及导数f′x；
2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；
3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
4由f′x在各个开区间内的符号，判断f x在f′x＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f x在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f x在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
问题2：导数为0的点一定是极值点吗？
跟踪训练1 求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y ＝x 3(x －5)2.
1.函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A ．在(1，2)上函数f (x )为增函数
B ．在(3，4)上函数f (x )为减函数
C ．在(1，3)上函数f (x )有极大值
D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1，5]上的极小值点 2．设函数f (x )＝x e x ，则( )
A ．x ＝1为f (x )的极大值点
B ．x ＝1为f (x )的极小值点
C ．x ＝－1为f (x )的极大值点
D ．x ＝－1为f (x )的极小值点
3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________． 4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x
e ，则函数
f (x )的极大值为______．
求可导函数y ＝f (x )的极值的方法
解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．
参考答案：
知识梳理
1．C[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，
在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
学习过程
二、新知探究
探究1：放大t=a附近函数ℎ(t)的图像,如图，可以看出，ℎ′(a)=0;在t=a的附近，当t<a时，函数ℎ(t)单调递增，ℎ′(t)>0;当t>a时，函数ℎ(t)单调递减，ℎ′(t)<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，ℎ′(t)>0）后减（当t>a时，ℎ′(t)<0）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，ℎ′(t)先正后负，且ℎ′(t)连续变化，于是有ℎ′(a)=0.
探究2：（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x= a点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0;
（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
二、典例解析
x3−4x2+4的定义域为R，所以
例5. 解：因为f(x)=1
3
f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)
令f′(x)=0,解得：x1=−2,x2=2
当x变化时，f′(x)，f(x)，的变化情况如下表
;因此，当x=−2时，f(x)有极大值，极大值为f(−2)= 28
3
.
当x=2时，f(x)有极小值，极小值为f(2)=- 4
3
x3−4x2+4的图像如图所示.
函数f(x)=1
3
问题2：[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，
但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，
还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
跟踪训练1 [解](1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
∴当x＝－1
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
达标检测
1.D[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，
∴x＝2是函数f (x)的极大值点，
x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2．D[令f ′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]
3． (－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，
∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，
即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.] 4． 2ln 2 [f ′(x )＝
2e f ′e
x
－1e ，故f ′(e)＝2e f ′e e －1e
， 解得f ′(e)＝1e ，所以f (x )＝2ln x －x e ，f ′(x )＝2x －1
e .
由f ′(x )＞0得0＜x ＜2e ，f ′(x )＜0得x ＞2e.
所以函数f (x )在(0，2e)单调递增，在(2e ，＋∞)单调递减， 故f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2.]
故f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2.]。