2020版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题2 函数概念与基本初等函数I 第16练 Word版含解析

1．(2016·镇江模拟)已知函数y ＝xa －2a －3是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a ＝________.
2．(2016·武汉调考)已知函数f (x )＝
⎩
⎨⎧
sin (πx 2
)，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，且满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________． 3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________.
4．(2016·常州模拟)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为____________．
5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－|x 3－2x 2
＋x |，x ＜1，
ln x ，x ≥1，
若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt
恒成立，则实数k 的取值范围是________．
6．已知f (x )＝⎩⎨⎧
(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，
log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值
范围是____________．
7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 1
23)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是____________．
8．(2016·十堰二模)对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，是“含界点函数”的是________．
①f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )； ②f (x )＝2－|x －1|； ③f (x )＝2x －x 2； ④f (x )＝x －sin x .
9．已知定义在R 上的函数f (x )满足1f (x ＋1)＝f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧
1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则ff (112)]
＝________.
10．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，若f (x －1)≤0，则x 的取值范围为________________．
11．(2016·北京东城区二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的像为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 如表：
则f (3,5)＝． 12．某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
t 4＋22，0≤t ＜40，t ∈N *
，－t
2＋52，40≤t ≤100，t ∈N *
，
日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t
3＋
109
3(0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为____________． 13．(2016·湖北优质高中联考)函数f (x )＝(1
2)|x －1|＋2cosπx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．
14．(2016·聊城一中期中)设定义域为0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件时称f (x )为“友谊函数”：
(1)对任意的x ∈0,1]，总有f (x )≥0； (2)f (1)＝1；
(3)若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立．
则下列判断正确的序号为________．
①f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；
②函数g(x)＝x在区间0,1]上是“友谊函数”；
③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f(x1)≤f(x2)．
答案精析
1．1 2.1或－22 3.2 4.(12，1
4) 5.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1 解析 令y ＝x 3－2x 2＋x ，x ＜1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)，令y ′＞0，即(x －1)(3x －1)＞0，解x ＜13或x ＞1.又因为x ＜1，所以x ＜13.令y ′＜0，得1
3＜x ＜1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y 极大值＝4
27.根据图象变换可作出函数y ＝－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1的图象．
又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图象经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1
x ，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0
，解得x 1
＝e ，所以k 1＝1
e .函数y ＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝y ′⎪⎪⎪
x ＝0＝1.因为∀t ∈
R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图象，数形结合可得1
e ≤k ≤1.
6.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫17，13 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ＞0在x ＜1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3a －1＜0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a
＜1
3.
此时，log a x 是减函数，符合题意． 7．c ＜b ＜a
解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
∵a ＝f (log 47)＝f (log 27)，b ＝f (log 123)＝f (－log 1
23)＝f (log 23)．又0＜log 27＜log 23＜2,0.2－0.6＝50.6＞50.5＞40.5＝2，即0＜log 27＜log 23＜0.2－0.6， ∴a ＞b ＞c . 8．①②③
解析 因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，又Δ＝b 2＋4＞0，所以方程x 2＋bx －1＝0有一正一负两个不同的根，f (x )＝x 2＋bx －1是“含界点函数”；因为f (x )＝2－|x －1|有两个零点x ＝3和x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|是“含界点函数”；f (x )＝2x －x 2的零点即为y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象如图所示，故f (x )＝2x －x 2为“含界点函数”；因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，故f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．
9．－1 解析 由
1
f (x ＋1)
＝f (x )，得 f (x ＋2)＝
1
f (x ＋1)
＝f (x )， 所以f (x )为周期函数，T ＝2， 所以f (112)＝f (112－4)＝f (32) ＝f (12＋1)＝1
f (12)＝－1，
f (－1)＝f (1)＝－1. 10．－1,1)∪3，＋∞)
解析 作出f (x )的草图，如图所示，易知x －1≥2或－2≤x －1＜0，解得－1≤x ＜1或x ≥3.
11．8 {1,2}
解析 由表可知f (3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ， ∴f (2x ，x )＝2x －x ，
则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *) ⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)，
当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5， 2x ≤x ＋4成立；
当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6， 2x ≤x ＋4成立；
当x ≥3(x ∈N *)时，2x ＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 12．808.5
解析 设日销售额为s (t )， 由题意知s (t )＝f (t )g (t )， 当0≤t ＜40时，
s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093
＝－t 212＋7t 4＋23983，
此函数的对称轴为x ＝21
2，
又t ∈N *，所以最大值为s (10)＝s (11)＝1617
2＝808.5； 当40≤t ≤100时， s (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭
⎪⎫－t 3＋1093
＝1 6t 2－213t
6
＋5668
3
，
此时函数的对称轴为x＝213
2
＞100，
最大值为s(40)＝736.
综上，这种商品日销售额s(t)的最大值为808.5. 13．10
解析原问题可转化为求y＝(1
2)
|x－1|与y＝－2cosπx在－4,6]内的交点的横坐标的和，
因为上述两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在－4,6]上的图象(图略)，可知在x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.
14．①②③
解析①∵f(x)为“友谊函数”，则取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0，故①正确；
②g(x)＝x在0,1]上满足：(1)g(x)≥0；(2)g(1)＝1；若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有g(x1＋x2)－g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足
(3)．故g(x)＝x满足条件(1)(2)(3)，∴g(x)＝x为友谊函数，故②正确；
③∵0≤x1＜x2≤1，∴0＜x2－x1＜1，
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，故有f(x1)≤f(x2)，故③正确．故答案为①②③.。