2021年四川省乐山市中考数学真题试卷(学生版+解析版)

2021年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ） A ．5元
B ．﹣5元
C ．﹣3元
D ．7元
2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ） 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32
7 1
A ．32
B ．7
C ．
710
D ．4
5
3．（3分）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ） A ．
8n m
（元） B ．
n
8m
（元） C ．
8m n
（元） D ．
m
8n
（元）
4．（3分）如图，已知直线l 1、l 2、l 3两两相交，且l 1⊥l 3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．140°
D ．150°
5．（3分）如图，已知直线l 1：y ＝﹣2x +4与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将△AOB 的面积平分的直线l 2的解析式为（ ）
A ．y =1
2x
B ．y ＝x
C ．y =3
2x
D ．y ＝2x
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，
其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）
A ．3
B ．7
2
C ．2
D ．5
2
8．（3分）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ）
A ．3
2
B ．√3
C ．2
D ．5
2
9．（3分）如图，已知OA ＝6，OB ＝8，BC ＝2，⊙P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线y ＝ax 2的交点，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．9
2
C ．
112
D ．5
10．（3分）如图，直线l 1与反比例函数y =3x
（x ＞0）的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线l 2过原点O 和点C ．若直线l 2上存在点P （m ，n ），满足∠APB ＝∠ADB ，则m +n 的值为（ ）
A ．3−√5
B ．3或3
2
C ．3+√5或3−√5
D ．3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）（2021﹣π）0＝ ．
12．（3分）因式分解：4a 2﹣9＝ ．
13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙”）
14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A
点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石碑顶A 点的仰角为60°，那么石碑的高度AB 的长＝ 米．（结果保留根号）
15．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，有一个锐角为60°，AB ＝4．若点P 在直线AB 上（不与点A ，B 重合），且∠PCB ＝30°，则CP 的长为 ． 16．（3分）如图，已知点A （4，3），点B 为直线y ＝﹣2上的一动点，点C （0，n ），﹣2＜n ＜3，AC ⊥BC 于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为 ．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分. 17．（9分）当x 取何正整数值时，代数式
x+32
与
2x−13
的值的差大于1．
18．（9分）如图．已知AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，AC 与DB 相交于点O ，求证：∠OBC ＝∠OCB ．
19．（9分）已知
A x−1
−
B 2−x
=
2x−6
(x−1)(x−2)
，求A 、B 的值．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
22．（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=k
x（k≠0）的
图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
24．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．
（1）如图1，若∠C ＝60°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连结AE ，DE ，则∠BDE ＝ ；
（2）若∠C ＝60°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连结BE ． ①在图2中补全图形；
②探究CD 与BE 的数量关系，并证明； （3）如图3，若AB BC
=
AD DE
=k ，且∠ADE ＝∠C ．试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量
关系，并证明．
26．（13分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，且经过点A （0，3
2），B （2，−1
2）．
（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；
（2）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 在1≤x ≤3时，y 的最大值为1，求a 的值；
（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A ′B ′．若线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2+bx +c +4a ﹣1仅有一个交点，求a 的取值范围．
2021年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ） A ．5元
B ．﹣5元
C ．﹣3元
D ．7元
【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作﹣5元． 故选：B ．
2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ） 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32
7 1
A ．32
B ．7
C ．
710
D ．4
5
【解答】解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人， ∴测试结果为“健康”的频率是：3240
=4
5
．
故选：D ．
3．（3分）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ） A ．
8n m
（元） B ．
n
8m
（元）
C ．
8m n
（元） D ．
m
8n
（元）
【解答】解：根据题意，得：n
m
×8=
8n
m
（元）， 故选：A ．
4．（3分）如图，已知直线l 1、l 2、l 3两两相交，且l 1⊥l 3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．140°
D ．150°
【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，
∵l1⊥l3，
∴∠2＝90°．
∵∠β是三角形的外角，
∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故选：C．
5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）
A．y=1
2x B．y＝x C．y=
3
2x D．y＝2x
【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l2把△AOB面积平分
∴以l2经过AB的中点；
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y＝kx，
把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，
∴l2的解析式为y＝2x，
故选：D．
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：顺时针旋转90°后，从正面看第一列有一层，第二列有两层， 故选：C ．
7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）
A ．3
B ．7
2
C ．2
D ．5
2
【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积＝2×1＝2， 阴影部分的三角形的面积=1
2×2×1＝1， ∴阴影部分的面积＝2+1＝3， 故选：A ．
8．（3分）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ）
A ．3
2
B ．√3
C ．2
D ．5
2
【解答】解：设AC 交BD 于O ，如图：
∵菱形ABCD ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，
∴∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∠DAC ＝∠DCA ＝30°，AD ＝AB ＝2，BD ⊥AC ， Rt △AOD 中，OD =1
2AD ＝1，OA =√AD 2−OA 2=√3， ∴AC ＝2OA ＝2√3，
Rt △APE 中，∠DAC ＝30°，PE =1
2
AP ， Rt △CPF 中，∠PCF ＝∠DCA ＝30°，PF =1
2CP ， ∴PE ﹣PF =1
2AP −1
2CP =1
2（AP ﹣CP ）=12AC ， ∴PE ﹣PF =√3， 故选：B ．
9．（3分）如图，已知OA ＝6，OB ＝8，BC ＝2，⊙P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线y ＝ax 2的交点，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．9
2
C ．
112
D ．5
【解答】解：设⊙P 与OB 、AB 分别相切于点M 、N ，连接PM 、PN ，
设圆的半径为x ，则PN ＝PM ＝x ，
由题意知，OC ＝AO ＝6，则直线BA 与y 轴的夹角为45°，则CM ＝MP ＝x ， 由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为y ＝﹣x +6， 则点P 的坐标为（x ，﹣x +6）， 由点P 、A 的坐标得，P A =√2（6﹣x ）， 则AN =√AP 2−PN 2=√2(6−x)2−x 2，
∵⊙P 与OB 、AB 分别相切于点M 、N ，故BN ＝BM ＝BC +CM ＝2+x ， 在Rt △ABO 中，OA ＝6，OB ＝8，则AB ＝10＝BN +AN ， 即10=√2(6−x)2−x 2+2+x ，解得x ＝1， 故点P 的坐标为（1，5）， 将点P 的坐标代入y ＝ax 2得5＝a ， 故选：D ．
10．（3分）如图，直线l 1与反比例函数y =3
x （x ＞0）的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线l 2过原点O 和点C ．若直线l 2上存在点P （m ，n ），满足∠APB ＝∠ADB ，则m +n 的值为（ ）
A ．3−√5
B ．3或3
2
C ．3+√5或3−√5
D ．3
【解答】解：如图，作△ABD 的外接圆⊙J ,交直线l 2于P ,连接AP ,PB ,则∠APB ＝∠ADB
满足条件。

由题意A (1,3),B (3,1), ∵AC ＝BC , ∴C (2,2), ∵CD ⊥x 轴， ∴D (2,0),
∵AD =√12+32=√10,AB =√22+22=2√2,BD =√12+12=√2, ∴AD 2＝AB 2+BD 2, ∴∠ABD 是直角三角形， ∴J 是AD 的中点，J (32,3
2),
∵直线OC 的解析式为y ＝x , ∴P (m ,n ),
∵PJ ＝JA =√10
2,OJ =3√2
2, ∴OP =3√22−√10
2, ∴m =3
2−√52, ∴m ＝n =
32−√52
, ∴m +n ＝3−√5,此时P (32
−
√52,32−√5
2
), 根据对称性可知，点P 关于点C 的对称点P ′(32
+√52,32+√5
2
), ∴m +n ＝3+√5,
综上所述，m +n 的值为3+√5或3−√5， 故选：C ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）（2021﹣π）0＝1．
【解答】解：（2021﹣π）0＝1．
故答案为：1．
12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）．
【解答】解：4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）．
故答案为：（2a+3）（2a﹣3）．
13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？甲（填“甲”或“乙”）
【解答】解：甲的平均成绩为x
甲=7+6+9+6+7
5
=7，乙的平均成绩为x
乙
=
5+9+6+7+8
5
=7，
∴甲的方差为s甲2＝1.2，
乙的方差为s乙2＝2，
∵s甲2＜s乙2，
∴甲的成绩较稳定．
故答案为：甲．
14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A 点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，
那么石碑的高度AB的长＝5
2
√3米．（结果保留根号）
【解答】解：设石碑的高度AB 的长为x 米， Rt △ABC 中，BC =AB
tan30°=√3x ， Rt △ABD 中，BD =AB
tan60°=3
， ∵CD ＝5， ∴BC ﹣BD ＝5， 即√3x x
3=5， 解得x =5
2√3， 故答案为：
52
√3．
15．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，有一个锐角为60°，AB ＝4．若点P 在直线AB 上（不与点A ，B 重合），且∠PCB ＝30°，则CP 的长为 2或√3 ． 【解答】解：（1）当∠ABC ＝60°时，则BC =1
2AB ＝2， 当点P 在线段AB 上时，
∵∠PCB ＝30°，故CP ⊥AB ，
则PC＝BC cos30°＝2×√3
2
=√3；
当点P（P′）在AB的延长线上时，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
则△P′BC为的等腰三角形
则BP′＝BC＝2，
（2）当∠ABC＝30°时，
同理可得，PC＝2；
故答案为2或√3．
16．（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα
的值最大时，n的值为1
2
．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα=AN
BN
=6BN值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG 最大时，sin α的值最大， 设BG ＝y ，
则AM ＝4，GC ＝n +2，CM ＝4﹣n ，
∵∠ACM +∠MAC ＝90°，∠ACM +∠BCG ＝90°， ∴∠CAM ＝∠BCG ， ∴tan ∠CAM ＝tan ∠BCG ， ∴
CM AM
=
BG CG
，即
4−n 4
=
y n+2
，
∴y =−14
（n ﹣3）（n +2）， ∵−14
＜0，
故当n =12
（3﹣2）=12
时，y 取得最大值， 故n =1
2， 故答案为：12．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分. 17．（9分）当x 取何正整数值时，代数式x+32
与
2x−13
的值的差大于1．
【解答】解：依题意得：
x+32
−
2x−13
＞1，
去分母，得：3（x +3）﹣2（2x ﹣1）＞6， 去括号，得：3x +9﹣4x +2＞6， 移项，得：3x ﹣4x ＞6﹣2﹣9， 合并同类项，得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1，得：x ＜5．
18．（9分）如图．已知AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，AC 与DB 相交于点O ，求证：∠OBC ＝∠OCB ．
【解答】证明：在△AOB 与△COD 中， ∵∠A ＝∠D ，∠AOB ＝∠DOC ，AB ＝DC ，
∴△AOB ≌△COD （AAS ）， ∴OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB ． 19．（9分）已知
A x−1−
B 2−x =2x−6
(x−1)(x−2)
，求A 、B 的值．
【解答】解：
A x−1
−
B 2−x
=
A(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)
=
(A+B)x−2A−B (x−1)(x−2)
=
2x−6(x−1)(x−2)
，
∴{A +B =2−2A −B =−6， 解得{A =4B =−2
．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分. 20．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）二次函数y ＝x 2+x ﹣m 的部分图象如图所示，求一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即1+4m ＞0， ∴m ＞−1
4；
（2）二次函数y ＝x 2+x ﹣m 图象的对称轴为直线x =−1
2， ∴抛物线与x 轴两个交点关于直线x =−1
2对称， 由图可知抛物线与x 轴一个交点为（1，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的解为x 1＝1，x 2＝﹣2．
21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随
机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
【解答】解：（1）这组数据的平均数=5×1+10×3+15×4+20×6+25×1+30×3+40×2
1+3+4+6+1+3+2
=20.5
（元），
其中20元出现的次数最多，
∴这组数据的众数为20元；
（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，
估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000×6
20
×20×20%+1000×120×25×
20%+1000×3
20
×30×20%+1000×220×40×20%＝3150（元）；
（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，
∴两人来自不同学校的概率为8
12=
2
3
．
22．（10分）如图，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交反比例函数y =k
x
（k ≠0）的图象于P 、Q 两点．若AB ＝2BP ，且△AOB 的面积为4． （1）求k 的值；
（2）当点P 的横坐标为﹣1时，求△POQ 的面积．
【解答】解：（1）∵AB ＝2BP ，且△AOB 的面积为4， ∴△POB 的面积为2， 作PM ⊥y 轴于M , ∴PM ∥OA , ∴△PBM ∽△ABO , ∴
S △PBM S △ABO
=(
PB AB )2,即S △PBM 4=(1
2
)2, ∴△PBM 的面积为1， ∴S △POM ＝1+2＝3, ∵S △POM =1
2|k |, ∴|k |＝6， ∵k ＜0, ∴k ＝﹣6;
(2)∵点P 的横坐标为﹣1, ∴PM ＝1,
∵△PBM ∽△ABO , ∴
PM OA
=
PB AB
,即
1
OA
=1
2
,
∴OA ＝2,
∴A (2,0),
把x ＝﹣1代入y =−6x 得，y ＝6,
∴P (﹣1,6),
设直线AB 为y ＝mx +n ,
把P 、A 的坐标代入得{−m +n =62m +n =0,解得{m =−2n =4
, ∴直线AB 为y ＝﹣2x +4,
解{y =−6x y =−2x +4得{x =3y =−2或{x =−1y =6, ∴Q (3,﹣2),
∴S △POQ ＝S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2＝8．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变
化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x ＜10和10≤x ＜20时，图象是线段；当20≤x ≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A 对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【解答】解：（1）设当20≤x ≤45时，反比例函数的解析式为y =k x ，将C （20，45）代入得：
45=k 20
，解得k ＝900， ∴反比例函数的解析式为y =
900x ， 当x ＝45时，y =90045=20，
∴D （45，20）， ∴A （0，20），即A 对应的指标值为20；
（2）设当0≤x ＜10时，AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （0，20）、B （10，45）代入得：
{20=n 45=10m +n ，解得{m =52n =20
， ∴AB 的解析式为y =52x +20，
当y ≥36时，52
x +20≥36，解得x ≥325， 由（1）得反比例函数的解析式为y =900x ，
当y ≥36时，
900x ≥36，解得x ≤25， ∴325≤x ≤25时，注意力指标都不低于36，
而25−
325=935＞17， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
24．（10分）如图，已知点C 是以AB 为直径的半圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点
D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点
E ，连结CD ，且CD ＝ED ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tan E＝2，
∵ED⊥AD，
Rt △EDA 中，AD ED =2，
设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OB ＝x ，
∵BD ＝1，
∴AD ＝2x +1，
∴2x+1ED =2，
∴ED ＝x +12=CD ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴CD 2＝BD •AD ，
∴（x +12）2＝1×（2x +1），解得x =32或x =−12
（舍去），
∴⊙O 的半径为32． 六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结
AD ．
（1）如图1，若∠C ＝60°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连结AE ，DE ，则∠BDE ＝ 30° ；
（2）若∠C ＝60°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连结BE ． ①在图2中补全图形；
②探究CD 与BE 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若
AB BC =AD DE =k ，且∠ADE ＝∠C ．试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量
关系，并证明．
【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∠C ＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，
∵点D 关于直线AB 的对称点为点E ，
∴DE ⊥AB ，
∴∠BDE ＝180°﹣60°﹣90°＝30°；
故答案为：30°；
（2）①补全图形如下：
②CD ＝BE ，证明如下：
∵AB ＝AC ，∠C ＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，
∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，
∴AD ＝AE ，∠EAD ＝60°，
∴∠BAC ＝∠EAD ＝60°，
∴∠BAC ﹣∠BAD ＝∠EAD ﹣∠BAD ，即∠EAB ＝∠DAC ，
在△EAB 和△DAC 中，
{AB =AC ∠EAB =∠DAC AE =AD
，
∴△EAB ≌△DAC （SAS ），
∴CD ＝BE ；
（3）AC ＝k （BD +BE ），证明如下：
连接AE ，如图：
∵AB ＝AC ，
∴∠C ＝∠ABC ，
∵∠ADE ＝∠C ，
∴∠ABC ＝∠ADE ，
∵AB BC =AD DE ，
∴△ABC ∽△ADE ，
∴∠DAE ＝∠BAC ，AB AD =AC AE ，
∴∠DAE ﹣∠BAD ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠EAB ＝∠DAC ，
∵AB ＝AC ，
∴AE ＝AD ，
在△EAB 和△DAC 中，
{AB =AC ∠EAB =∠DAC AE =AD
，
∴△EAB ≌△DAC （SAS ），
∴CD ＝BE ，
∴BC ＝BD +CD ＝BD +BE ，
而
AB BC =AC BC =k ， ∴AC BD+BE =k ，即AC ＝k （BD +BE ）．
26．（13分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，且经过点A （0，32），B （2，−12）．
（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；
（2）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 在1≤x ≤3时，y 的最大值为1，求a 的值；
（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A ′B ′．若线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2+bx +c +4a ﹣1仅有一个交点，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，经过点A （0，32），B （2，−12
），
∴{ a ＞0c =324a +2b +c =−12
, ∴b ＝﹣2a ﹣1(a ＞0)．
(2)∵二次函数y ＝ax 2﹣(2a +1)x +32,a ＞0,在1≤x ≤3时，y 的最大值为1,
∴x ＝1时，y ＝1x ＝3时，y ＝1,
∴1＝a ﹣(2a +1)+32或1＝9a ﹣3(2a +1)+32,
解得a =−12(舍弃）或a =56．
∴a =56．
(3)∵线段AB 向右平移2个单位得到线段A ′B ′,
∴A ′(2,32),B ′(4,−12)． ∵线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2﹣(2a +1)x +12
+4a 仅有一个交点,
∴{4a −2(2a +1)+12+4a ≤3216a −4(2a +1)+12+4a ≥−12
, 解得，14≤a ≤34． 或{4a 2(2a +1)+12+4a ≥3216a −4(2a +1)+12+4a ≤−12
不等式组无解， ∴14≤a ≤34．。