章末综合提升-【新】人教B版高中数学必修第二册演示PPT

章末综合提升-【新】人教B版高中数 学必修 第二册P PT全文 课件[1 ]【完 美课件 】
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＝23A→B＋13B→C＝32(O→B－O→A)＋13(O→C－O→B) ＝23(b－a)＋13(c－b) ＝－23a＋13b＋31c. ∴O→M＝O→A＋A→M ＝a＋－23a＋13b＋13c＝13(a＋b＋c)．
λ＝1， ⇒λ＝－23.
∴λ 不存在，故 a 与 b 不共线，即可以作为一组基底．
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(2)设 c＝ma＋nb(m，n∈R) ，得 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴m－＋2mn＝ ＋33，n＝－1， ∴mn＝＝12.， ∴c＝2a＋b.
4 [由于 a⊥b，由此画出以 a，b 为邻边的矩形 ABCD，如图，其中A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b.
因为 a＋b＋c＝0，且 a＋b＝A→C， 所以C→A＝c. 因为(a－b)⊥c，所以矩形的两条对角线互相垂直，即四边形 ABCD 为正方形， 所以|a|＝|b|＝1，|c|＝ 2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]
判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说 明此两直线有公共点．
[跟进训练]
3．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且C→P＝23C→A＋13C→B，Q 是
BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又C→M＝tC→P，则 t 的值为________．
3 4
[∵C→P＝32C→A＋13C→B，
[解] (1)设点 B 的坐标为(x1，y1)． ∵A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)， ∴xy11＋＋12＝＝43，， ∴xy11＝＝31，， ∴B(3,1)．同理可得 D(－4，－3)． 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2)， 则 x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，∴M－12，－1.
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(3)由 4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴λ－＋2μλ＋＝34， μ＝－3， ∴λμ＝＝31，. 故 λ，μ 的值分别为 3 和 1.
【例 4】 已知向量A→B＝(4,3)，A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－ 2)．
(1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值． [思路探究] (1)先求 B，D 点的坐标，再求 M 点坐标； (2)由向量相等转化为 y 与 λ 的方程求解．
法二：由题意得A→B，A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)， A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 即 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线.
＝－12b＋B→M＋A→F－E→F＝－12b＋a＋2M→H－12M→H ＝－12b＋a＋2b－21b＝a＋b. 综上，得H→F＝B→H＝F→C.
运用向量平行(共线)证明，常用的结论有：(1)向量 a，b(a≠0) 共线，存在唯一实数 λ，使 b＝λa；(2)向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 共线⇔x1y2＝x2y1；(3)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0.
∴3C→P＝2C→A＋C→B，
即 2C→P－2C→A＝C→B－C→P，
∴2A→P＝P→B，
即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A，M，Q 三点共线，
∴C→M＝xC→Q＋(1－x)C→A ＝2xC→B＋(x－1)A→C， 而C→B＝A→B－A→C， ∴C→M＝2xA→B＋2x－1A→C.
(2)由已知得P→B＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
则11＝ －－y＝7－λ，4λ，
∴λ＝－71， y＝37.
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面： (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、 共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分 向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、求参数的值时，要 注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作 为列方程的依据．
平面向量的线性运算 1.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面． 2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的 核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的 共线问题、共点问题． 3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或 向量的坐标等．
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[跟进训练] 2．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b 可以作为一组基底； (2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求 λ，μ 的值．
又C→P＝C→A－P→A＝－A→C＋31A→B， 由已知C→M＝tC→P，
可得2xA→B＋2x－1A→C＝t－A→C＋13A→B，
又A→B，A→C不共线，∴22xx－＝13t ＝，－t，
解得 t＝34.]
向量的坐标运算 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标 表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化 思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行 问题．
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【例 1】 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2 的值是________．
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(1)
(2)
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(2)设O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图(2)．因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，又|B→A|＝|a－ b|＝ 2，|a|＝|b|＝1，则O→A⊥O→B，所以菱形 OACB 是正方形，所以|a ＋b|＝|O→C|＝|B→A|，所以|a＋b|＝ 2.
【例 3】 如图，在△ABC 中，点 M 是 AB 边的 中点，E 是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F， MH∥AF 交 BC 于 H.求证：H→F＝B→H＝F→C.
[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出 H→F，B→H与F→C即可证得．
[证明] 设B→M＝a，M→H＝b， 则B→H＝a＋b， H→F＝H→B＋B→A＋A→F ＝－B→H＋2B→M＋2M→H ＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b， F→C＝F→E＋E→C＝12H→M＋M→E＝－12M→H＋M→A＋A→E
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利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向 量的加、减、数乘运算；平面向量基本定理的引入为其提供了有力 的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当 的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．
[跟进训练] 4．设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何 值时，A，B，C 三点共线． [解] 法一：若 A，B，C 三点共线，则A→B，A→C共线，则存在实 数 λ，使得A→B＝λA→C， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，
A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k－12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7＝k＝λλk1－0－ 12k，， 解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
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[解] (1)证明：设 a＝λb(λ∈R)，则 e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由 e1， e2 不共线得
λ＝1， 3λ＝－2
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由于( 7＋1)2＋( 7－1)2＝42，即|O→A|2＋|O→B|2＝|B→A|2，所以△OAB 是以∠AOB 为直角的直角三角形，从而O→A⊥O→B，所以平行四边形 OACB 是矩形．
根据矩形的对角线相等，有|O→C|＝|B→A|＝4，即|a＋b|＝4.
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基底向量表示其它向量 一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量 均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的． 【例 2】 如图，设△ABC 的重心为 M，O 为平面上任一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→M.
[跟进训练] 1．已知非零向量 a，b. (1)若|a|＝ 7＋1，|b|＝ 7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值； (2)若|a|＝|b|＝1，且|a－b|＝ 2，求|a＋b|. [解] (1)设O→A＝a，O→B＝b，则|B→A|＝|a－b|.以 OA 与 OB 为邻边 作平行四边形 OACB，如图(1)，则|O→C|＝|a＋b|.
第六章 平面向量初步
章末综合提升
巩 固
层Leabharlann 知识 整合
提 升
层
题
型
探
究
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构造特殊平面图形整合向量 由于平面向量中涉及的向量的模、平行、垂直，与平面图形中 的边长、平行、垂直有着密切的联系，因此如果用一些特殊的图形(如 平行四边形、矩形、菱形、直角三角形等)来整合向量的有关条件， 可以使向量问题简单化、直观化，从而达到快速解题的目的．
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[解] 如图，连接 AM 并延长交 BC 于点 D. ∵M 是△ABC 的重心， ∴D 是 BC 的中点，且 AM＝32AD. ∴A→M＝32A→D＝23(A→B＋B→D) ＝23A→B＋23B→D＝32A→B＋3212B→C
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向量可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又 可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，正是这种“双重身 份”使它成为知识的交汇点，我们应借助图形来巧妙解题．
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