第07章 光线的光路计算

第二篇像差理论由球面和平面系统的光路特征和成像特性，可见，只有平面反射镜是唯一能对物体成完善像的光学元件。

单个球面透镜或任意组合的光学系统，只能对近轴物点以细光束成完善像。

随着视场和孔径的增大，成像的光束的同心性将遭到破坏，产生各种成像缺陷，使像的形状与物不再相似。

这些成像缺陷可用若干种像差来描述。

如果只考虑单色光成像，光学系统可能产生五种性质不同的像差，即球差、慧差、像散、像面弯曲和畸变，统称为单色像差。

但是，绝大多数光学系统是用白光或复色光成像，由于色散存在，会使其中不同的色光有不同的传播光路，由于这种光路差别而引起的像差称为色差，包括位置色差和倍率色差。

实际上，用白光成像时，由于其所包含的各种单色光有各自的传播光路，它们的单色像差也是各不相同的。

为了便于分析，将其分成单色像差和色像差两类。

其中，单色像差是对光能接收器最灵敏的色光而言的，色差是对接收器的有效波段内接近边缘的两种色光来考虑的。

事实上我们不可能获得对整个空间都能良好成像的万能光学系统，只能为适应某种单一用途而设计专门的光学系统；同时，即使这样的光学系统，也不能将各种像差完全校正和消除。

但是由于人眼和所有其他的光能接收器也具有一定的缺陷，只要将像差校正到某一限度以内，人眼和其他接收器就觉察和反映不出其成像的缺陷，这样的光学系统从实用意义上来说即可认为是完善的。

第七章光线的光路计算在设计光学系统时，为了获得像差的最佳校正和平衡，要不断地修改结构参数，包括表面的曲率半径、间隔和透镜的材料等。

每修改一次，都必须计算出有关像差，以便进行综合的分析和评价，确定是否需要进一步修改及修改方向。

光学自动设计或称优化设计只是借助于计算机来完成这些繁复的运算与分析，其基本过程并无本质的区别。

所以设计光学系统需要反复作大量光线的光路计算。

通常需作如下四类光线的光路计算：作近轴光线的光路计算，以确定像的理想状态；作含轴面内光线的光路计算，以求得大部分像差；作沿主光线的细光束像点的计算，以求得细光束像差；作空间光线的光路计算，以全面了解系统的像质。

为作各类光线的光路计算，除需给出光学系统的结构参数外，还要知道物体的位置和大小以及孔径光阑的位置和大小。

光线的光路计算，通常要经历下面4个步骤：1．起始计算：在给出光学系统结构参数的基础上，使光线能够进入系统，给出光线的初始位置和方向。

2．折射计算：确定光线经过表面折射（或反射）后的方向和位置。

3．转面计算：完成到下一个表面的数据转换，以便继续光线的光路计算。

4．终结计算与处理：确定光线的最后截点长度或高度有时还需要计算像差值。

在上述步骤中，折射计算和转面计算是要重复进行的，即，对系统内的每个表面都要计算一次。

而起始和终结计算仅在开始和结束的时候才各计算一次。

光线的光路计算最终要解决的问题是给定一个光学系统的结构参数，如半径、厚度或间隔、折射率等，再给出入射到光学系统的光线方向和空间位置，最后求出光线通过该系统后的方向和空间位置。

在光学计算中，通常要求保留6位有效数字的精度，这取决于光学系统的复杂程度、仪器精度和应用的领域。

三角函数应在小数点后面取6位数，这相当于0.2弧秒。

§1.近轴光线的光路计算要计算初级像差，需作两条近轴光线的光路计算：一条是轴上物点发出，过入射光瞳边缘的第一近轴光线；另一条是物面边缘点发出，过入射光瞳中心的第二近轴光线。

一、轴上物点近轴光线的光路计算如图7－1所示，由轴上物点A 发出的近轴光线通过单个折射球面时可按下式计算：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⋅=-+==-=r u i r l i i u u i nn i u r r l i ////// 给出物距l 和孔径u 后。

便可计算出像距/l 和像方孔径角/u 。

图7－1 轴上物点近轴光线光路对于近轴光线，当角u 增大或缩小某一倍数时，由上式可知：u rr l nn u rr l u u -⋅--+=//即，/l 和/u 均增大或缩小同一倍数 另外，像距/l 为： r rr l nn rr l r l r ui r l +-⋅--+-=+⋅=///1即像距/l 与物方孔径角u 无关，因此当轴上物点确定后（即物距l 定），像距/l 与物方孔径角的大小无关，孔径角u 可任意取值（当然得取近轴）。

由此，在计算近轴光线的光路时，物方孔径角u 常取对入射光瞳的边缘光线取值，如图7－2所示， 这就时所谓的第一近轴光线。

图7－2 第一近轴光线 对于由k 个折射面组成的光学系统作光路计算时，则需由前一个面到后一个面的过渡计算：⎪⎩⎪⎨⎧===-=-=-====----/1/23/121/12/231/12/1/23/12,,,,,,,,,k k k k k k k n n n n n n d l l d l l d l l u u u u u u 当物体在无限远，即-∞=1l 时，光线平行于光轴入射，如图7－3所示，01=u ，此时用光线入射高度1y ，作为初始数据，初始入射角1i 可由下式求得 图7－3 平行光入射到第一折射球面111r yi =式中1y 可任意取值，对第一近轴光线，取1y 为入射光瞳的半径。

⎪⎩⎪⎨⎧===-=-=-====----/1/23/12)1(/)1(2/231/12/)1(/23/12,,,,,,,,,k k k p k p pk p p p p p p k p pk p p p p n n n n n n d l l d l l d l l u u u u u u二、轴外点近轴光线的光路计算由物体边缘点发出，并通过入射光瞳中心的光线，称为第二近轴光线，如图7－4所示。

第二近轴光线的光路计算仍然使用轴上物点的光线计算公式，即第一近轴光线的光路计算公式，不过，要加注下角标 p , 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⋅=-+==-=r u i r l i i u u i n ni u rr l i p pp p p p p p p p p p////// 图7－4 第二近轴光线 转面计算公式为：⎩⎪⎨⎧===-=-=-====----/1/23/12)1(/)1(2/231/12/)1(/23/12,,,,,,,,,k k k p k p pk p p p p p p k p pk p p p p n n n n n n d l l d l l d l l u u u u u u 其中，1p l 为入射光瞳到光学系统第一面的距离，为已知，初始孔径角1p u 为111l l h u p p -=由初始值1p l 和1p u ，就可以按近轴光线的光路计算公式，进行第二近轴光线的光路计算，并最终求得出射光瞳到光学系统最后一面的距离pk l '和孔径角pk u '，再按下式，可求得理想像高。

////)(pk k pk u l l h ⋅-=式中，/k l 为由第一近轴光线求得的高斯像面位置重申，上述计算的符号规则：y ：轴上光线在表面上的高度，在光轴之上为正，轴下为负；u ：光线折射前的孔径角，光线向光轴旋转，逆时针方向为正，顺时针为负/u ：光线径表面折射后的孔径角，光线向光轴旋转，逆时针为正值，顺时针为负值 h ：物面高度，符号规定同y/h ：光线在像面截取的高度，符号规定同hi l ：物距，从系统的表面顶点到目标的轴上交点之距(...3,2,1=i )，在顶点的左边为负值，右边为正值i l '：像距，由系统的表面顶点到像的轴上交点之距，符号规定同l1p l : 入射光瞳中心到表面顶点的距离，符号规定同l 1'p l ：出射光瞳中心到表面顶点的距离，符号规定同1p lC ：表面曲率，R C 1=，曲率中心在表面之右为正，反之为负。

n ：折射（或反射）表面前的介质折射率。

/n ： 折射（或反射）表面后的介质折射率。

d ：表面间的顶点间隔，自左至右为正。

当光线计算自左至右进行时，n 、/n 、d 等为正值，当光线自右至左方向进行时为负值。

光线径反射后的/n 和d 为负值。

§2.子午面内的光线光路计算与光学系统的光轴共面的光线叫做子午光线，子午光线与光轴所形成的面叫子午面。

一般的空间光线需要用三维坐标来描述，而子午光线用两维坐标就可以描述，这显然使得子午光线的光路计算变得容易处理在计算像差时，需要计算子午光线的光路，这主要需要计算轴上物点的光线光路、轴外物点的光线光路和无限远物的平行光束的光线光路。

这里要处理的是非近轴光线， 因此，近轴光线的计算公式不再适用。

一、 轴上点远轴光线的光路计算如图7－5所示，轴上物点1P 发出的光线，经第一折射面折射后，到达轴上点/1P ；然 后又继续到达第二折射面，…。

图7－5 轴上物点远轴光线的光路计算1． 初始计算（孔径角）物距），11(U L 2． 折射计算：sin 1I =1111sin U R R L - (因为：111111()sin sin C A L R U R I =-⋅=⋅) 1/11/1sin sin I n n I ⋅=（因为折射定律）/111/1I I U U -+= (因为：1/1/11U U I I +-=-) /1/111/1sin sin U I R R L += （因为：/11/1/11/1sin )(sin U R L I R A C -==）3． 转面计算 ：/12U U = 1/12d L L -= /12n n =4． 结果:sin 2I =2222sin U R R L -2/22/2sin sin I n n I =/222/2I I U U -+= /2/222/2sin sin UI R R L +=5． 继续计算如果还有折射面（k 个），则继续计算⎪⎩⎪⎨⎧======-=-=-=----/1/34/23/1/34/231/13/342/23,,,,,,,,,k k k k k k k n n n n n n U U U U U U d L L d L L d L L ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅+=-+=⋅=⋅-=///////sin sin sin sin sin sin i i i i i ii i i i i i i iii i i U I R R L I I U U I n n I U R R L I ),,3,21(k =6. 终结计算///sin sin iik k kU I R R L ⋅+=以上计算，也可以用如下的程序计算： 如图7－6所示， 初始值：111,,L E U折射计算：(k i ...,,3,2,1=) i i i i U R E I sin sin -= (因为：1111111sin ,sin C A E R U C A R I =-⋅=)ii i i i i ii i i iii i I U I U E E I I U U I n n I cos cos cos cos 'sin sin //////++⋅=-+==附：推导过程：1sin sin sin sin '''sin '()sin 'sin 'sin 'sin 'E CA R U R I R U I E L U R RU R I R U U =+=+==+=+故： ''''sin cos sin 'sin '22'sin sin sin cos22''''''cos 2coscos 222('')cos 2coscos222cos 'cos 'cos cos U I U I E U I U I U I E U I U I U I U I U I U I U I U I U I U I U I+-⋅+==+-+⋅-+-=+=+=-+-+=+因图7－6 轴上物点远轴光线的光路计算（二）转面计算：11/1''sin 'i i i i i i i iU U E E d U n n +++⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ 终结计算：kkk U E L 'sin ''=当目标为无穷远，即要计算平行于光轴入射的光线时，0,11=∞=U L ，如图7－7所示，应确定初值：⎩⎨⎧===0sin 11111U Y U L E 其它计算程序完全一样。