新高考数学-椭圆作业31

课时作业(三十一)
1．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是()
A ．[4－23，4＋23]
B ．[4－3，4＋3]
C ．[4－22，4＋22] D.[4－2，4＋2]
答案A 解析
由8x 2
＋3y 2
＝24，得x 23＋y 2
8
＝1.
∴－3≤m ≤3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋2 3.
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为()A.x 29＋y 2
16
＝1 B.
x 225＋y 2
16
＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2
25＝1D ．以上都不对
答案
C
解析
a ＋2
b ＝18，
c ＝6，
2－b 2＝c 2，
解得a ＝5，b ＝4.
又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2
25＝1.故选C.
3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2
b 2＝k (a ＞b ＞0，k ＞0)具有(
)
A ．相同的长轴长
B ．相同的焦点
C ．相同的离心率
D ．相同的顶点
答案C 解析
椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝k (a ＞b ＞0，k ＞0)化为标准形式为x 2ka 2＋y 2
kb
2＝1，其离心率的平方为
ka 2－kb 2ka 2＝a 2－b 2a
2＝c 2
a 2.故选C.
4．(2016·全国Ⅰ卷，文)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心(坐标原点)到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为(
)
A.13
B.12
C.23
D.
34答案
B
解析利用椭圆的几何性质列方程求离心率．
不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (
c ，
0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝1
2，即
e ＝1
2
.故选B.5．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2
＝60°，则椭圆的离心率为()
A.22
B.3
3C.12
D.
13
答案B
解析
由题意知P c c ∵∠F 1PF 2＝60°，∴2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝3
3
或
e ＝－3(舍去)．
6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·
FP →
的最大值为()
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
答案C 解析
由椭圆x 24＋y 23
＝1，可得点F (－1，0)，点O (0，0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP
→
＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋＝14x 2＋x ＋3＝14
(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，
OP →·FP →
取得最大值6.7．若椭圆x 2k ＋4＋y 24
＝1的离心率为1
2，则k ＝________．
答案4
3
或－1解析
当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k .
因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝4
3；
当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k .因为e ＝12，所以c 2a 2＝1
4，所以－k 4＝14
，所以k ＝－1.
综上可知，k ＝4
3
或k ＝－1.
8．(1)长轴长是短轴长的3倍，且过(3，－1)，则椭圆的标准方程为________．(2)椭圆过点(3，0)，离心率e ＝6
3
，则椭圆的标准方程为________．答案
(1)x 218＋y 22＝1或y 282
＋x 2
829
＝1(2)x 29＋y 23＝1或x 29＋y 2
27＝1解析
(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
由已知得a ＝3b ，且椭圆过点(3，－1)，
∴32（3b ）2＋1b 2＝1或1（3b ）2＋32
b 2＝1.
2＝18，2
＝2，2＝82，
2＝82
9
.故所求方程为x 218＋y 22＝1或y 282
＋x
2
829
＝1.
(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝6
3，∴c ＝ 6.
∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2
3＝1；
当椭圆的焦点在y 轴上时，
∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝6
3，∴a 2＝27.
∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2
27
＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 2
27
1.
9．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析
椭圆的方程m 2x 2
＋4m 2y 2
＝1(m >0)可转化为x 21m 2＋y 2
14m 2
＝1.
因为m 2<4m 2，所以
1m 2>14m 2
.所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝3
2m .
所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1
m
，
－32m
，
－1m
，
离心率e ＝c a ＝3
2m 1m
＝3
2
.
10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，F 1，
F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶
点，直线AF 2交椭圆于另一点B .
(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆的标准方程．解析(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝2
2.
(2)由题意知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →
，解得x ＝32y ＝－b
2.
代入x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
得94a 2＋b 2
4b 2＝1，即94a 2＋1
4＝1，
解得a 2＝3，
又c 2＝1，所以b 2＝2，
所以椭圆的标准方程为x
23＋y 2
2
＝1.
11．【多选题】若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是()A.x 28＋y 2
4
＝1 B.x 23＋y 2
5
＝1
C.x 26＋y 2
3＝1 D.x 26＋y 2
9
＝1答案AC
解析由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．四个选项中只有A 、C 中b ＝c ，符合题意．故选AC.
12．设F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x ＝a 2
c 上存在点P ，使线
段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是()
，
2
2
，
33
C.22，
D.33
，答案D
解析
由垂直平分线的性质知|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线x ＝a 2
c
与x 轴的交点为M ，则|PF 2|≥|F 2M |，
即|F 1F 2|≥|F 2M |，则2c ≥a 2c －c ，即3c 2≥a 2，所以e 2＝c 2a 2≥13，又0<e <1，所以3
3≤e <1.
13.如图，把椭圆x 225＋y 2
16＝1的长轴(线段AB )分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线，分别
交上半椭圆于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________．
答案35
解析由椭圆的对称性及定义，知|P 1F |＋|P 7F |＝2a ，|P 2F |＋|P 6F |＝2a ，|P 3F |＋|P 5F |＝2a ，|P 4F |＝a ，所以|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋|P 4F |＋|P 5F |＋|P 6F |＋|P 7F |＝7a .因为a ＝5，所以所求式子的值为35.
14．设F 1，F 2分别是椭圆x 25＋y 24＝1的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，则PF 1→·PF 2
→
的最大值和最小值分别为________．答案4，3解析
由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设点P (x ，y )，则PF 1→·PF 2
→
＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1＝x 2＋4－45x 2－1＝1
5x 2＋3，∵x ∈[－5，5]，∴当
x ＝±5，即点P 为椭圆长轴端点时，
PF 1→·PF 2→
有最大值且最大值为4；当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，
PF 1→·PF 2→
有最小值且最小值为3.
15.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2
相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为________．
答案53
解析
如图，连接PF 1，
由题意知|OA |＝b ，所以|PF 1|＝2b ，
所以|PF 2|＝2a －2b ，所以|AF 2|＝a －b .
在Rt △OAF 2中，有b 2＋(a －b )2＝c 2①，
将b 2＝a 2－c 2代入①整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝5
9或e 2＝1(舍去)，
所以e ＝
5
3
(负值舍去)．
1．【多选题】已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为63
过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是()
A ．椭圆方程为y 2
3＋x 2＝1
B ．椭圆方程为x 2
3＋y 2＝1
C ．|PQ |＝233
D ．△PF 2Q 的周长为43
答案ACD
解析
由已知得，2b ＝2，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2
＝3，b ＝1，所以椭圆方程为y 23
＋
x 2＝1，将F 1的纵坐标代入椭圆方程得|PF 1|＝33，所以|PQ |＝23
3
.根据椭圆的定义得，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选ACD.
2．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 2
5＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，则使
得PF 1→·PF 2→
＝2成立的点P 的个数为(
)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4答案D
解析因为c 2＝9－5＝4，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x ，y )，则PF 1→
＝(－2－x ，－y )，PF 2→
＝(2－x ，－y )，
所以(－2－x )(2－x )＋(－y )2＝2，即x 2＋y 2＝6，又x 29＋y 2
5
＝1，两式联立，
＝32，＝152
或＝32
，＝－152
或＝－32
，
＝152
＝－32
，
＝－152
.
故满足条件的点P 有4个．
3.如图，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，若OP ∥
AB ，则离心率e ＝________．
答案2
2
解析
∵OP ∥AB ，PF ∥OB ，∴△OPF ∽△ABO .
∴PF BO ＝FO OA ，即b 2
a b ＝c a
.∴b ＝c ，∴a ＝2c .∴e ＝c a ＝c 2c ＝22.
4．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－7
18
，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________．答案3
8
解析
设|AB |＝|BC |＝m >0，则由cos B ＝－718，得cos B ＝m 2＋m 2－|AC |22m
2＝－7
18，得|AC |2＝25m 29，|AC |＝5m 3，因此该椭圆的离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝m 5m 3
＋m ＝3
8
.
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点．若该
椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →
的取值范围是________．
答案[0，12]
解析
因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2.
因为离心率e ＝1
2，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，
则椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1，
所以点A 的坐标为(－2，0)，点F 的坐标为(－1，0)．
设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则AP →·FP →
＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2.由椭圆的方程得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝1
4(x ＋6)2－4.
因为x ∈[－2，2]，所以AP →·FP →
∈[0，12]．
6．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→
＋PF 2→
|的最小值是________．答案2
解析
设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→
＝(－2x 0，
－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→
|＝4x 02＋4y 02＝22－2y 02＋y 02＝2－y 02＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 02≤1，所以当y 02＝1时，|PF 1→＋PF 2→
|取得最小值2.
7．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记
线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，
求该椭圆的离心率．
解析由题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积
之比为1∶2，所以S △F 1OQ S △F 1F 2P ＝13，所以|OF 1||F 1P |＝1
3.设椭圆的焦距为2c ，
则|F 1P |＝3c ，|F 2P |＝|F 1F 2|2－|F 1P |2＝c ，由椭圆的定义可得3c ＋c ＝2a ，所以e ＝c
a ＝
23＋1＝3－1.。