北京第四十三中学高三数学(理科)期中试卷2012.11.7
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9．如图 为圆O的切线， 为切点， ，
圆O的面积为 ，则 ．
10.曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
11． 的二项展开式中， 的系数是（用数字作答）
12．已知命题 “ ”；命题 “ ”，若 且 为假， 或 为真，则实数 的取值范围是__________________.
5．在三棱锥 中， ，
平面 , .若其主视图，俯视图
如图所示，则其左视图的面积为( )
A. B. C. D.
6．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
A.36种B.42种C.48种D.54种
A. B. C. D.
3．已知两直线m、n，两平面α、β，且 ．下面有四个命题：
1）若 ；2） ；
3） ；4） ．
其中正确命题的个数是：（）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，圆 ： 内的正弦曲线 与 轴围成的
区域记为 （图中阴影部分），随机往圆 内投一个点 ，则点
落在区域 内的概率是（）
A. B. C. D.
椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求 的值.
19.（本小题满分14分）
设函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）求 与 满足的关系式；
（Ⅱ）若 ，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若 ，函数 ，若存在 ， ，使得
成立，求 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线P：x2=2py(p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ．
（ⅰ）求抛物线 的方程；
（ⅱ）设抛物线 的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线 的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
北京43中2012—2013学年度上学期期中考试试卷
高三数学(理科)1．复数 （）A.源自B.C.D.
（满分150分，时间120分钟）2012.11.7 13:30-15:30
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
2.若集合 ， ，则 =（）
13．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为___________.
14. 是抛物线 的焦点，过焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，设 ，则：
①若 且 ，则 的值为 ；
（用 和 表示）.
答题卡
一、选择题（40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（30分）
9．10．
7.双曲线 的渐近线与圆 相切，则 等于（）
A． B．2C．3D．6
8．点 到图形 上每一个点的距离的最小值称为点 到图形 的距离.已知点 ，圆 ： ，那么平面内到圆 的距离与到点 的距离之差为1的点的轨迹是（）
A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱 中， ⊥面 ， ， ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得 ？请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 在 上的最大值是 ，求 的值.
18.（本小题满分13分）
11．12．
13．14．，
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
盒中装有 个零件，其中 个是使用过的，另外 个未经使用.
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取 个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求 次抽取中恰有 次
抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取 个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为 ，求 的分布列和数学期望.
圆O的面积为 ，则 ．
10.曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
11． 的二项展开式中， 的系数是（用数字作答）
12．已知命题 “ ”；命题 “ ”，若 且 为假， 或 为真，则实数 的取值范围是__________________.
5．在三棱锥 中， ，
平面 , .若其主视图，俯视图
如图所示，则其左视图的面积为( )
A. B. C. D.
6．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
A.36种B.42种C.48种D.54种
A. B. C. D.
3．已知两直线m、n，两平面α、β，且 ．下面有四个命题：
1）若 ；2） ；
3） ；4） ．
其中正确命题的个数是：（）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，圆 ： 内的正弦曲线 与 轴围成的
区域记为 （图中阴影部分），随机往圆 内投一个点 ，则点
落在区域 内的概率是（）
A. B. C. D.
椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求 的值.
19.（本小题满分14分）
设函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）求 与 满足的关系式；
（Ⅱ）若 ，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若 ，函数 ，若存在 ， ，使得
成立，求 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线P：x2=2py(p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ．
（ⅰ）求抛物线 的方程；
（ⅱ）设抛物线 的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线 的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
北京43中2012—2013学年度上学期期中考试试卷
高三数学(理科)1．复数 （）A.源自B.C.D.
（满分150分，时间120分钟）2012.11.7 13:30-15:30
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
2.若集合 ， ，则 =（）
13．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为___________.
14. 是抛物线 的焦点，过焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，设 ，则：
①若 且 ，则 的值为 ；
（用 和 表示）.
答题卡
一、选择题（40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（30分）
9．10．
7.双曲线 的渐近线与圆 相切，则 等于（）
A． B．2C．3D．6
8．点 到图形 上每一个点的距离的最小值称为点 到图形 的距离.已知点 ，圆 ： ，那么平面内到圆 的距离与到点 的距离之差为1的点的轨迹是（）
A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱 中， ⊥面 ， ， ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得 ？请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 在 上的最大值是 ，求 的值.
18.（本小题满分13分）
11．12．
13．14．，
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
盒中装有 个零件，其中 个是使用过的，另外 个未经使用.
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取 个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求 次抽取中恰有 次
抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取 个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为 ，求 的分布列和数学期望.