高德纳：数学绝对有用！

高德纳：数学绝对有用！
致歉
今年三月，我出版了对一些杰出科学家的采访，咨询他们关于数学教育的经验和在他们的科学领域中是如何使用数学的。

那时，我收到了传奇的计算机科学家、数学家高德纳教授的邮件回复，这封邮件却被我忽视而没有打开。

今天我收到高德纳一封礼貌的邮件，他想知道他之前的回复出了什么问题，为什么我没有告知他参加“科学中的数学”项目。

当我检查我的收件箱时，发现那封邮件从三月以来一直在收件箱躺着（编者注：作者的这篇文章是同年的11月写的），而我没有打开和阅读它。

我感到深深地内疚，为自己的疏忽对高德纳教授致以公开的道歉。

我也回复了他的邮件并致以真诚的歉意.
请阅读以下高德纳教授对我所问的十个问题而提供的慷慨回复.高德纳教授是斯坦福大学名誉退休教授，“算法分析之父”，若干计算机程序系统的创造者，字型设计系统Metafont的创造者，也是《计算机程序设计艺术》一书的作者——此书是计算机程序员的圣经。

以下为高德纳教授今年三月回复我的邮件的注记，他热心的评论让我感到更加惭愧错过打开他的邮件。

布鲁斯，你好
十个问题的回答如下！
对于学习来说，一个最重要的方面是如何问好的问题。

你肯定把这一条学得很棒。

最美好的祝愿
高德纳
1、描述你念书的时候数学课是怎样的？
我们这代人（在美国威斯康辛州）在二年级学乘法表，五年级学分数，九年级学代数，十年级学平面几何，十一年级学复杂算术，十二年级学立体几何。

我提出的很多数学问题老师们都无法回答，所以
我的大部分时间只能用于思考其他学科（英文，拉丁文，物理，化学，生物，音乐）的问题。

但在我家，父亲有一台机械式加法乘法计算器，我很喜欢玩它。

我花了数百小时用于画形如sqrt(x+a) –sqrt(x+b) (sqrt表示开方运算，其中a,b可以取不同的值)的函数图像，由于使用了不同颜色的铅笔，所以我可以将不同的图像画在同一张纸上。

”）
2、你在学校学的数学对你以后的生活有用吗？
绝对有用。

我在数学课上学的东西没有一个不在反复使用的。

例如，几何课不仅教我如何严格的证明，也为我创造字型设计系统Metafont语言提供了想法。

很多字体是用这种语言设计的，这些字体正被全世界数以百万计的人使用。

3、你心算需要有多优异才能在头脑中做计算？
我很欣慰我能记住乘法表直到12×12。

不过我觉得记住更多（比如直到99×99）将浪费时间。

仅仅当问题相当容易或者问题中含有符号而不仅仅是数字的时候，心算是非常重要的。

当我做研究的时候，我通常开始时会使用很多草稿纸进行部分计算。

而我边游泳边思考这个问题时，最终获得了灵感，然后通常就解决了能解决它。

4、数学教导我们可以把两个事物放一起而创造一个新事物，这在你做的事情中重要吗？
复杂的结构是由简单的结构用简单的方式结合的。

我认为计算机科学家能比数学家更好的明白这点，因为我们学会了如何在一台机器中表示多种数据。

5 、数学是关于发现模式的。

你在研究中需要寻找模式或者模式的反例吗？
是的，我觉得数学事实上是模式的科学。

我日常处理的模式是一些事物之间的规律，而不是数字之间的规律。

不过数值模式也非常重要：例如
1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42 ,等等.
13=12,13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2,等等.
6、数学也教导我们平衡和相等，这种观念在你的研究中有用吗？
在前面提到的字型设计系统Metafont语言中，我们通过用某些关
键的点应满足的方程所画的直线来表示字母A的形状。

“左干从基线开始，距离边框左边沿半个单位，直到大写字高，左干的斜率等于右干斜率的相反数。

”
[参考: 《计算机现代字体》，第369页。

]
7、数学帮助我们表示数量和数值测量，你工作中做这些吗？
实际上我描绘希腊字母π的程序，有两个地方使用了数字3.14159. [《计算机现代字体》，第159页。

]
8、估测足够精细吗或者你需要精确测量事物吗？
计算机科学家必须特别仔细，因为小的错误很容易被放大，并导致灾难性后果。

9、你怎样使用统计来分析你的结果？
我工作很多都涉及比较不同的计算方法，以此确定哪一个最快。

基本的统计，比如关于运行时间的最大值，平均值，中位数，以及方差在分析中是关键的。

更大胆的说，在今天已知的大多数计算方法中，随机数和概率的概念是绝对本质性的因素。

10、你还有其他的关于在你的工作中如何使用数学的领悟吗？
例如，当我刷牙时，我需要覆盖八个区域，分别为左和右，上和下，内和外。

最有效的方式是沿着哈密顿路或者格雷码。

左上外侧
右上外侧
右上内侧
左上内侧
左下内侧
右下内侧
右下外侧
左下外侧
高德纳教授，非常感谢你回答这些问题，感谢你参与“科学中的数学”项目。

你带给我很多思考，也希望能带给其他许多人思考，甚至在牙齿健康方面你也给了很好的建议。

再次为我在三月份项目早期没有包含你的观点而致歉。