把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题

把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题
璞石
【期刊名称】《小学教学》
【年(卷),期】2012(000)020
【总页数】2页(P46-47)
【作者】璞石
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】教科文艺
把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题◇ 璞石如何把一个单位分
数裂分成两个单位分数的和，这是一个十分古老的问题。

从埃及出土的草纸
中知道，早在3000多年前就有这一问题，可至今并未得到彻底解决，甚至没有人能回答给定一个单位分数后，它究竟能裂分成多少组，比如，币磊未丽万能裂分成多少组单位分数的和呢？本文拟回答如下两个问题：
1 ．给定一个单位分数土（ n 是大于 l 的自然数）后，如何判断它可以裂分
成多少组单位分数的和？
2 ．如何求出这些单位分数的和？第一个问题比较简单，如前面提到的单位分数 l174636000 共能裂分成 5198 组单位分数的和。

一般地，当给定单位分数土时，先要把分母 n 写成质因数积的形式，如凡= 硝
‘ ． I17'22 ．IT23 ’… …戎‘ （这里 m ．、m ：、m ，… …m 。

均为质数）
时，则！能裂分成两分数和的组数为{[(2p．+1) (2p2+1)(2p3+1) … …
(2p‘ +1)+1].当 n 较小时，如 n=6 时，由 6=2x3 ，故有 pi=P2=1，算得其组数为{ ×[(2×1+1) ×(2 ×l+1)+1]-5 ；当 n= 174636000时，由
t7,=25x34x53x72xl1 ．得其裂分成的单位分数组数为{×[(2x5+1)
×(2ד1)×(2x3+1) ×(2x2+1) × (2xl+l)+l]=5198 。

下面我们着重探讨第二个
问题。

为此，我们先看看传统的方法——扩分法。

即先求出分母凡的约数，然后把单位分数上的分子、分母同时扩大两约数和的倍数，从而使其裂分成两个单位分数之和。

1lx(1+3)1+3_ 311I6 -6x(1+3 -24=24+24=8 +24; 1 lx(1+6) _1+6_6 III6-6x(1+6) 424242=7+42;1 lx(2+3)_2+3_3 2116-6x(2+3) 3030321015 。

当扩大 (2+6) 倍时，与扩大 (1+3) 倍求得的结果相同；
当扩大 (3+6) 倍时，与扩大 (1+2) 倍求得的结果相同。

如果再加上
1=lx(l+l)=1+1_ 去+ 去，这样，就得到 5 组解。

对只有 5 组解的单位分数，须将分子和分母扩大 7次，并要判断出其中有两组求得的分数为无效分数。

对稍复杂一些的，如磊石，要裂分时，由于 360 有约数 24个 [因
360=23x32x5 ，故约数有(3+1) ×(2+1) ×(1+1)=24（个） ]，所组成的约
数对数即为 C24=276 （对），如果再加上数对 (1， 1) ，就有 277 对，而
最后求得的有效数对为 53对，其中有 224 对均为无效数对。

试想，即使对
主石这样简单的单位分数，要求出它的 53 组解尚且如此困难，而要求出T 面未丽而的 5198 组解几乎是不可能的。

为此，我们需探讨出裂分的新途径。

设单位分数上裂分成的两个单位分数和为土+ 上，凡 nI ， l2即 1 ：—1+1 。

这里，n 、n ，、T 都是自然数，且n ≥ 2 ，并且凡nIn2 我们约定，lI ≤n2 。

当 ll'I=Il2 时，则有 nI 韧f2n; 当^ ≠tk时，必有 1>1 ， 1<1 ，因此，有
n<n ．≤2n ，所以可设 ni=n+a ，l ‘、 LlLlb2LlL由自然数Ⅱ 为l ≤口≤n ，当写成上：—l-+上时，则得：┏ ━ ━ ┳ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━
━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃识┃ ┃例如，把吉裂分成两个单位分数之和。

┃lllall┃ ┃ ┃ ┃ ┃rz,2Tl,n+a-n(n+a)-n2+r7a=n_2。

┃ ┃ ┃ ┃由于 6 的约数有 l 、2 、3 、6 共 4 个，所以： --+n aa┃ ┣ ━ ━ ╋ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃ ┃Ilx(1+2)1+2_ 211I这就是说，要使上为单位分数，n2应为自然数，因6-6x(1+2 181818918' n2┃ ┣ ━ ━ ┻ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃裔▲誓簟┃ ┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃ ┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛] ] 习把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题◇ 璞如何把一个单位分数裂分成两个单位分数的和，这是一个十分古老的问题。

从埃及出土的草纸中知道，早在决甚至没有人能回答给定一个单位分数后，它究竟能．给定一个单位分数土（ n 是大于 l 的自然数）后， 2如何求出这些单位分数的和？ l共能裂分成 5198 组单位分数的和。

一般地，式如凡=硝‘I17'22IT23’… …戎（这里 m ．、m ：、
m ，… …m 。

均为+1)当n较小时，如 n=6 时，由 6=2x3 ，故有 pi=P2=1，算得其组数为{×[(2×1+1) ×(2 ×l+1)+1]-5 ；当 n=时由
t7,=25x34x53x72xl1 ．得其裂分成的单位 (2xl+l)+l]=5198 。

下面我们着重探讨第二个问题。

为此，我们先看看传统的方法——扩分法。

即先求出分母凡的约数，然后把单位分数上的分子、分母同时扩大两约数和的倍数，
lx(1+3) 1+3_ 3 I 6 -6x(1+3 - 24 =24+24= 8 +24; lx(1+6) _1+6_6 6-6x(1+6) 42 42=7+42; lx(2+3)_2+3_3 6-6x(2+3) 30 32 10 15当扩大 (2+6) 倍时，与扩大 (1+3) 倍求得的结果相同；当扩大 (3+6) 倍时，与扩大 (1+2) 倍求得的结果相同。

如果再加上 1=lx(l+l)=1+1_ 去+去这样，就得到5组解。

对只有 5
组解的单位分数，须将分子和分母扩大 7次并要判断出其中有两组求得的分
数为无效分数。

对个[因360=23x32x5）]，所组成的约数对数即为
C24=276 （对），如果再加对其中有 224 对均为无效数对。

试想，即使对
主石的5198组解几乎是不可能的。

为此， nIl2即1：—1+1我们约定， lI
≤n2 。

当 ll'I=Il2 时，则有 nI 韧f2n; 当^ ≠tk时，必有1>11<1因此，有
n<n ．≤2n ，所以可设 ni=n+a ，‘、LlL lb2 LlL┏━┳┓rz,2 Tl, n+a-n(n+a)-
n2+r7a=n_2 -+n a┣╋┫I lx(1+2) 1+2_ 18 9 18'┻┗┛]习此口应能整除 n2 ，或说口应为 n2 的约数。

由此可知，要把土裂分成两个单位分数之和，只需要
求得 o 。

若再设 6：堡则只需求得口和 6 的值，就可写出裂分式。

这里，我
们把Ⅱ 的性质总结如下：(1)o 为自然数；(2)1≤a$n；(3) Ⅱ 为矛的约数。

由此可知，当几=mi’ ． lT7,22 ．JTI,31 … … 越时，n ：的约数有
(2p ． +1)(2p ：+1) （印，+1 ）… … (2p^+1)个，因此，不超过 n 的约
数有丢[ (2p1+1) (2p2+1) (2p3+1)… … (2p 。

+1)+1] 个，即 a 的值也有这么多个。

下面以萎万为例说明其裂分的具体求法。

因为 360=23x32x5 ，所以3602-26x34x52 有(6+1) ×(4+l)x(2+1)=105 （个）约数，不超过 360 的约
数即口的值有÷×(105+1)=53 （个）。

先求 34x52 的不超过 360 的约数求
法见下表，超过 360 的约数就画×或不写）： 30313233341 39278150
l5155225故在 34x52 的约数中有 l 、3 、5 、9 、 15 、25 、27 、45 、75 、81、 135 、225 共 l2 个为不超过 360 的约数。

接着求 3602 中的所有不超过360 的约数，即求出口的值。

1 35915252745758113522520 121222423824162s3226 64135915252 6101830504 122036601008 24407212020016 4880144240x32 96160288x64 192320x 2745758113522554 90150162270x108 180300334 x 216360x这样，就求得Ⅱ 的值为： al=l,a2=2,a3=3,a4=4,a4=5, ck=6,a7=8,aS=9,a~lO,a10-
12 ，……，a52=324,a53=360 。

根据 b=n2可求得对应的 6 值为：
b1=129600,b2= 64800,b3=43200, … … ,652=400,653=360.这样就可按
nl=n+ai,n2=n+bi(扛l ，2 ，3 … … 53) ，写出去的裂分式：-11ll 一1l ——
= —— + ———— + ——一十——360 361129960362 65160 363435601 111=… …= ——+ ——= ——+ —— 684760720720 。

应当指出的是：
l.ai.bi=3602 ，实际上，嘶与 6；合在一起就是 3602 的全体约数。

只是嘎是不大于 360 的约数，bi 是不小于 360 的约数。

2 ．当 n 是质数时，由于
t2 的约数只有 1 、n 、凡2 这 3个，所以其倒数的裂分式只有两组，即：11111-= ——+ ——= ——+- nn+l'n(n+ )=2rz+2rz对于质数的平方或立
方所组成的合数，如 4 、9 、25… … 或 8 、27 、125 … … 由于其平方所具有的因数分别有5个和 2 个，所以可求得的口的值分别有丢×( “1)_3（个）和÷ ×(7+1)=4 （个），所以其倒数的裂分式都只能有 3 111 1111111 个或 4 个，如{= ÷+ 嘉 = 吉 +12= 一· 2728+756=6 128'i ，万228756 ll111111 ——+——= ——+ ——= ——+ ——： 30+270=30 270=36+ 108:54+ 54.除
此之外的其他合数，如 6 、 10 、 12 、 14 、 15 、 16 、 18 、 20--- … 其倒数的裂分式至少有 5 组。

例求出两自然数，使其积为其和的 48 倍。

解：设
这两个自然数分别为 x 、y ，则： xy=48(x+y) 。

11 即48=xy=yy+x 。

) ，
菇由上式可知石、y 实为去的裂分式中的分母，而 48= 24x3，故口的值有{[(2×4+1)(2 ×1+1)+1]-14 （个）。

在 482=28x32 的约数中，o 的值有：
al=l,a2=2,a3=3，嘞=4 ，吗=6,%=8 ，嘶=9,as=12,a9=16, aio-18,ail-
24,al2=32,a13=36,a14=48. 1— 11111ll1 ：——+——= ——+ ——= ——+ ——= ——+ —— 4849235250120051816526241 1lll11l=——+ ——= ——+ ——= ——+ ——= ——+ —— 544325633657304602401 111ll11=——
+ ——= ——+ +——= ——+ —— 64192661767214480120l lll=——+ —
—= ——+ 84+'112 -961- 96 。

由此可知，所求的两数共有 14 组（请读者自行写出）。

回 [[ 匠 [此口应能整除 n2 ，或说口应为 n2 的约数。

；(3)Ⅱ矛的约数。

’lT7,22JTI,31 … … 越时，n ：的约数有 (2p ． +1)(2p ：+1) （印，
+1 ）… … (2p^+1)个，因此，不超过 n的约数有丢 [ (2p1+1) (2p2+1) (2p3+1)… … (2p 。

+1)+1]a的值也有这么多个。

因为 360=23x32x5 ，所以3602-26x34x52 有(6+1) ×(4+ l)x(2+1)=105 （个）约数，不超过 360 的约
数即口的值有 31 33 34 27 81 50 51 5 52 25故在 34x52 的约数中有 l 、3 、5 、9 、 15 、25 、27 、45 、75 、 81、 135 、225 共 l2 个为不超过 360 的
约数。

接着求 3602中的所有不超过 360 的约数，即求出口的值。

45 75
135 225 20 21 22 4 23 8 2416 2s32 26 64 6 12 36 60 100 40 72 120200 16 48 80 144 240 96 160 288 64 192320x 54 90 150 162 270 108 180300334 216 360 64800,b3=43200, … … ,652=400,653=360.这样就可按
nl=n+ai,n2=n+bi(扛l ，2 ，3 … … 53) ，写出去的裂分式：一—— = —— + ———— +——十 361 129960 362 363 43560 =……=——+ ——= ——+ —— 684 760 720 l.ai.bi=3602 ，实际上，嘶与 6；合在一起就是 3602 的全体约数。

只是嘎是不大于 360 的约数，bi 是不小于 360是质数时，由于 t2 的约数只有 1 、n 、凡2 这 3所以其倒数的裂分式只有两组，即： -= ——+ ——= ——+- n n+l 'n(n+对于质数的平方或立方所组成的合数，如 4 、9 、25… … 或 8 、27 、125 … … 由于其平方所具有的因数分别和
÷×(7+1)=4所以其倒数的裂分式都只能有 3个或 4 个，如{= ÷嘉=吉 12=一·27 28+ 756= 8'i万228 756解：设这两个自然数分别为 x 、y ，则：
xy=48(x+y) 。

48= xy=yy+x )菇 al=l,a2=2,a3=3，嘞=4 ，吗=6,%=8 ，嘶
=9,as=12,a9=16, 1— 49 2352 1200 816 624 =——+ ——= ——+ ——= —
—+ ——= ——+ —— 432 56 336 57 304 =——+ ——= ——+ 192 66 176 120 961- 96 [[匠[
【文献来源】https:///academic-journal-cn_primary-school-teaching_thesis/020*********.html
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