正六边形在向量中的应用

正六边形在向量中的应用
315504 浙江奉化江口中学 毛显勇
内容摘要：以正六边形为载体，理解向量的概念、运算等，以及在教科书与高考中的应用。

关键词：正六边形 向量
正六边形是各内角都相等（都为1200
），且六边都相等、对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

可分解成六个等边三角形，有共同的顶点，即正六边形的中心，且过中心的对角线是它外接圆的直径，长度是边长的2倍。

等边三角形的高是正六边形内接圆的半径。

由于正六边形有这些特点与性质，于是在生活、学习中被大量用到，如蜜蜂营造的蜂房是正六边形的、正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形等等。

下面举例在向量中的应用。

1书上的应用
例1（普通高中课程标准实验教科书 数学 必修4 P 76例2） 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中点，
分别写出图中与O A 、OB 、O C
相等的向量。

解：O A =C B =DO ； OB =DC =EO ；
O C =A B =E D =FO 。

并提出思考：向量O A 与E F
相等吗？向量OB 与A F 相等吗？ 答：向量O A 与E F
相等；向量OB 与A F 不相等，虽然长度相等，
但方向相反。

教师还可以引申：（1）与A B 相等的向量；（2）与A B 模相等的向量；（3）与A B
平行的向量。

点评 本例题通过正六边形增加向量的直观感受，理解、巩固相等向量、平行（或共线）向量和模的概念。

例2（P 118复习参考题A 组4） 已知六边形ABCDEF 为正六边形，且A C =a ，B D =b
，分别用a ，b 表示D E 、A D 、BC 、E F 、F A 、CD 、A B
、C E 。

解析：如图，∵A C =A B +BC =BC B A - =a
，
B D =B A +A D =2B
C +B A =b
，
∴ BC =1133a b + ，B A =2133
a b -+。

则D E =B A =2133a b -+ ；A D =2BC
=2233
a b + ；
E
C
F
C
E F =BC - =1133a b -- ；F A
=FO +O A =B A - BC - =1233
a b - ；
CD =F A - =1233a b -+ ；A B
=B A - =2133
a b - ；C E =CD +D E =a b -+ 。

说明：本解法用到了方程的思想，先解出向量BC 、B A
，再来求其它；其实本题还可以利用平几知识：设BD 交AC 于点M ，因为1//2
B C A D ，可
得BD=3BM ，AC=
3
2
AM ，
所以D E =B A =M A M B - =2133A C B D -+ =2133
a b -+
，从而
也可以得到其它的向量。

点评 本练习利用正六边形的性质，理解、巩固和掌握相等向量、平行向量和相反向量的概念与向量的加减和数乘运算。

练习 已知正六边形ABCDEF ，给出下列表达式：①BC +CD +EC ；②2BC +DC
；③
F E +E D ；④2E D F A -。

其中与A C 等价的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 选D 。

2在高考中的应用
例3（08江西文16） 如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
A ．2AC AF BC +=
B ．22AD AB AF =+
C ．AC A
D AD AB ⋅=⋅
D ．
()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
解析：2AC AF AC CD AD BC +=+==
, ∴A 对 取A D 的中点O ,则222AD AO AB AF ==+
, ∴B 对
设1AB =
,
则2cos 36A C A D π
⋅=
⨯= ,而21cos 13
A D A
B π
⋅=⨯⨯= ,∴C 错
又()(2)2()()AD AF EF EF AF EF EF AF EF AD AF EF ⋅=-⋅=-⋅=⋅
,∴D 对
∴真命题的代号是,,A B D
点评 本题利用正六边形为载体，考查了相等向量、平行向量的概念，向量的加法、数乘和数量积运算，考察了学生对向量概念、运算是否理解透彻、准确，特别对数量积运算能否灵活应用，而不是拘泥于形式。

F
F
C
例4（06四川理7文4） 如图，已知正六边形
123456P P P P P P ，下列向量的数量积中最大的是( )
（A ）1213P P P P ⋅ （B ）1214P P P P ⋅ （C ）1215P P P P ⋅ （D ）1216P P P P ⋅
解：如图，已知正六边形123456P P P P P P ，设边长12||P P a =，则∠213P P P =
6
π.
13||P P =
,1213P P P P ⋅
=2
32
2
a a ⋅⋅
=
，∠214P P P =
3
π，14||2P P a =，
1214P P P P ⋅ =2
122
a a a ⋅⋅=，1215P P P P ⋅ =0，1216P P P P ⋅ <0，∴ 数量积中最大的是1213,P P P P ，
选A.
点评 本题利用正六边形中的边长、角度间的关系，考查对数量积的理解与运用。

参考文献：
《普通高中课程标准实验教科书 数学必修4》 人民教育出版社 2007.6。