九年级数学上册专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 (1)
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 (2)
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 (2)
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 (2)
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 (3)
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 (4)
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (5)
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则α
β
+
β
α
的值是．
【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足√a−2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b
＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1
x1+
1
x2
的值是（）
A．−2
3B．
2
3
C．2D．
1
6
【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（）
A ．﹣9
B ．9
C ．﹣9或9
D ．﹣5或5
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（2022•乳山市模拟）若x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，则3x 12﹣3x 1+x 22＝（ ） A ．1
4
B ．5
4
C ．9
4
D ．3
4
【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12−2022
x 2
+1
的值为（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．﹣2022
D ．﹣2021
【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个实数根，则m 2﹣6m ﹣n +2022的值是（ ） A ．2016
B ．2018
C ．2020
D ．2022
【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，则2m 2+4n 2﹣4n +2022的值为 ．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22
的值是（ ） A ．4045
B ．4044
C ．2022
D ．1
【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，则代数式﹣a 3+5a −5
b 的值是（ ） A ．5
B ．﹣5
C ．1
D ．﹣1
【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则m 3﹣4n 2+17的值为（ ） A ．﹣2
B ．6
C ．﹣4
D ．4
【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，则代数式2m 3+5n 2−16
n +4的值是（ ） A ．57
B ．58
C ．59
D ．60
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等
的实数根，且满足1
x 1
+
1x 2
=1，则m 的值为（ ）
A ．﹣3或1
B ．﹣1或3
C ．﹣1
D ．3
【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．且x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，则a 的值为（ ） A ．﹣6
B ．﹣1
C ．1或﹣6
D ．6或﹣1
【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4kx +3k 2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2，满足x 1﹣x 2＝3，求k 的值．
【变式4-3】（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2
﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且x 2x 1
+
x 1x 2
=x 12+2x 2
﹣1，则k 的值为 ．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a ≠b ，且满足（a +1）2＝3﹣3（a +1），3（b +1）＝3﹣（b +1）2，则b √b
a +a√a
b 的值为（ ） A ．23
B ．﹣23
C ．﹣2
D ．﹣13
【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且
1β2
+αβ
−
52
α的值为（ ）
A ．
254
B ．−25
4
C ．−17
4
D ．
334
【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且（a +m ）（a +n ）＝2，（b +m ）（b +n ）＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ） A ．4
B ．1
C ．﹣2
D ．﹣1
【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy +x ≠1，且5x 2
+300x +9＝0，9y 2
+318y +314＝0，则
x
y+1
的值是 ．
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p +1）x 2+2qx +（p +1）＝0（其中p ，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论： ①1和一1都是方程x 2+qx +p ＝0的根 ②0可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ③﹣1可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ④1一定不是方程x 2+qx +p ＝0的根 其中正确的是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0，且ac ≠0，a ≠c ．下列说法正确的是（ ）
A ．若方程ax 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，则方程cx 2+bx +a ＝0没有实数根
B ．若方程ax 2+bx +c ＝0的两根符号相同，则方程cx 2+bx +a ＝0的两根符号也相同
C ．若5是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则5也是方程cx 2+bx +a ＝0的一个根
D ．若方程ax 2+bx +c ＝0和方程cx 2+bx +a ＝0有一个相同的根，则这个根必是x ＝1
【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M ：ax 2+bx +c ＝0，N ：cx 2+bx +a ＝0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误的是（ ）
A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根
B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根
C ．若5是方程M 的一个根，则1
5是方程N 的一个根
D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x ＝1
【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是正数，q 是负数 B ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＜8 C ．q 是正数，p 是负数
D ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】
【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+3
4
=0是关于2的等距方程．
【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k 均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝4，ax1+x1x2+ax2的最大值是．
【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是．（直接写出结果）
【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2√3x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0
（1）有两个负根？
（2）两根异号，且负根绝对值较大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．。