2015届高考数学(文)《2-11导数在函数研究中的应用》备选练习及答案

[B 组 因材施教·备选练习]
1．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是
( )
A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0
解析：若c ＝0则有f (0)＝0，所以A 正确；由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数y ＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确；由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0)单调递减是错误的；D 正确，选C.
答案：C
2．函数f (x )＝ln x －ax 2(a ∈R )．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a ＝18
时，证明：存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f (1)． 解析：(1)函数f (x )＝ln x －ax 2的定义域为(0，＋∞)，
∵f ′(x )＝1x －2ax ＝－2ax 2＋1x
， ∴①当a ≤0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝ln x －ax 2的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a >0时，若f ′(x )>0，有 0<x <2a 2a ，若f ′(x )<0，有x >2a 2a
， ∴函数f (x )＝ln x －ax 2的单调递减区间为⎝⎛
⎭⎫2a 2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，2a 2a . 综上，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2a 2a ，＋∞，单调递增区间为⎝
⎛⎭⎫0，2a 2a . (2)当a ＝18时，f ′(x )＝－x 2＋44x
， ∴当x ∈(0,2)时函数f (x )是增函数，当x ∈(2，＋∞)时函数f (x )是减函数，
∴函数f (x )的最大值为f (2)＝ln 2－12
.
∵f (1)＝－18
， 在(2，＋∞)上取x ＝e 4，计算得f (e 4
)＝4－e 88<4－288＝－28<f (1)， ∴f (e 4)<f (1)<f (2)．
∵x ∈(0,2)时函数f (x )是增函数，x ∈(2，＋∞)时函数f (x )是减函数，
∴存在x 0∈(2，e 4)，使f (x 0)＝f (1)，
∴存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f (1)．
中档大题规范练——数列
1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.
(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．
(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n
，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．
解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，
又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，
又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝5，
a 1＋3d ＝13，① 所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.
由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，
所以a 1a 21＝a 2i ，
即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.
(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2
×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1
)，② 所以b 1＋b 2＋…＋b n
＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1
， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12
，③ 所以存在m ＝12
使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立． 2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.
(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{na n }的前n 项和．
解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.
因为a 1≠0，所以a 1＝1.
令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.
当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，
两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.
于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．
因此，a n ＝2n －1.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.
(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.
记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是
B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.①
2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②
①－②，得
－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .
从而B n ＝1＋(n －1)·2n .
即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .
3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋
1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .
(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；
(2)若数列c n ＝6n －3b n
，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧
2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，
2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n
⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，
从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，
故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，
b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，
a n ＝3n －2n (n ≥2)，
因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .
(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13
－2n －13n ＝2－1
3n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n
， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12
(a 2n ＋n )．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，
求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21
＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12
(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1
＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12
(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0， a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，
又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，
所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .
(2)c n ＝⎩⎨⎧ 1a 2n ＋1－1，n 为奇数，
3×2a n －1＋1，n 为偶数，
当n 为偶数时，
T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )
＝(1
22－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4
＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1
)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)
. 当n 为奇数时，
T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)
＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12
＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12
＝2n
＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).
5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n
)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝1a n －1a n
(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .
解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n
＝2＋3a n 3＝a n ＋23
， ∴{a n }是以1为首项，23
为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13
. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1
(23n －13)(23n ＋13) ＝1
(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1
)， 又b 1＝3＝92(1－13
)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1
， ∵S n <m －2 0142
对一切n ∈N *恒成立，
即9n
2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n
2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.
∴最小正整数m 为2 023.
6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.
(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；
(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，
所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.
当n ≥8时，
数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，
公比为1＋25%＝54
的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋2，n ≤7，
16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，
当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2
×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，
则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54
＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为
S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ，n ≥8.
当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，
∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1
－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10
n (n ＋1)
>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n
. ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也为递增数列． 又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108
＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109
≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。