2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征学案北师大版选修

4.2 圆锥曲线的共同特征
学习目标 1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.
知识点一 椭圆的第二定义
思考 椭圆是如何定义的？(第一定义)
梳理 (1)定义：平面内到一个定点F (c,0)的距离与到一条定直线l ：x ＝a 2
c (a ＞c ＞0)的距离
之比为常数________的点的轨迹为椭圆(点F 不在直线l 上)，其标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b
＞0).其中，定点F (c,0)为椭圆的右焦点，定直线x ＝a 2c 为椭圆的________，常数c
a
就是椭圆
的______. (2)两点说明
①在上述定义中，只有当0＜e ＜1时才表示椭圆.
②焦点与准线的对应关系：对于椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1(－c,0)对应的准线为直
线x ＝－a 2c ，右焦点F 2(c,0)对应的准线为直线x ＝a 2c ；对于椭圆y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，上焦点
F 2(0，c )对应的准线为直线y ＝a 2c ，下焦点F 1(0，－c )对应的准线为直线y ＝－a 2
c
.
知识点二 双曲线的第二定义 思考 双曲线的第一定义是什么？
梳理 (1)双曲线的第二定义内容
平面内到一个定点F (c,0)的距离与到一条定直线l ：x ＝a 2c (c ＞a ＞0)的距离之比为常数c
a 的点
的轨迹为双曲线(点F 不在直线l 上)，其标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0).其中，定点F (c,0)
是右焦点，定直线l ：x ＝a 2c 是右准线，常数c
a
就是双曲线的离心率e .
(2)两点说明
①在上述定义中，只有当e ＞1时才表示双曲线.
②左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，对应焦点F 1(－
c,0)的准线方程为x ＝－a 2c ，对应焦点F 2(c,0)的准线方程为x ＝a 2
c
.
知识点三 圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点M 到一个定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比为定值e .当0＜e ＜1时，圆锥曲线是__________；当e ＝1时，圆锥曲线是________；当e ＞1时，圆锥曲线是________.此即为圆锥曲线的统一定义.
类型一 由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程 例1 方程2·x ＋
2
＋y ＋
2
＝|x ＋y －2|表示的曲线是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线
D.不能确定
反思与感悟 在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.
跟踪训练1 已知动点M (x ，y )到点F (－22，0)与到定直线x ＝－62的距离之比为33
，求点M 的轨迹方程.
类型二 依据圆锥曲线的性质求其方程 例2 根据下列条件分别求椭圆的标准方程. (1)经过点(－1，45
5)，且一条准线为直线x ＝5；
(2)两准线间的距离为185
5，焦距为2 5.
反思与感悟 圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a ，c 之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.
跟踪训练2 已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线的方程为5y ＋33＝0，求此双曲线的方程.
类型三 椭圆、双曲线的第二定义及应用
例3 椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点
P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0，
22
] B.(0，12]
C.[2－1,1)
D.[1
2
，1) 反思与感悟 椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. (1)椭圆的焦半径公式
当椭圆的焦点在x 轴上时，设F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P (x 0，y 0)是椭圆上任一点，则|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.
推导如下：由统一定义，得|PF 1|d 1＝e (d 1为点P 到左准线的距离)，则|PF 1|＝ed 1＝e (x 0＋a
2
c
)＝
a ＋ex 0.
同理，得|PF 2|＝a －ex 0. 简记为：左“＋”右“－”.
同理可知，当椭圆的焦点在y 轴上时，焦半径公式为|PF 1|＝a ＋ey 0，|PF 2|＝a －ey 0(F 1为下焦点，F 2为上焦点).
综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关. (2)双曲线的焦半径公式
对于双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)(F 1为左焦点，F 2为右焦点)：
若点P (x 1，y 1)在左支上，则|PF 1|＝－a －ex 1，|PF 2|＝a －ex 1； 若点P (x 1，y 1)在右支上，则|PF 1|＝a ＋ex 1，|PF 2|＝－a ＋ex 1.
对于双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)(F 1为下焦点，F 2为上焦点)：
若点P (x 1，y 1)在下支上，则|PF 1|＝－a －ey 1，|PF 2|＝a －ey 1；
若点P (x 1，y 1)在上支上，则|PF 1|＝a ＋ey 1，|PF 2|＝－a ＋ey 1.
跟踪训练3 已知双曲线x 2
－3y 2
＝3上一点P 到左，右焦点的距离之比为1∶2，求点P 到右准线的距离.
1.椭圆x 2
4＋y 2
＝1的准线方程为( )
A.x ＝±1
2
B.x ＝±43
3
C.y ＝±43
3
D.y ＝±1
2
2.若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离
心率是( )
A.3
B.5
C. 3
D. 5
3.如果双曲线x 213－y 2
12＝1上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是
________.
4.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点重合，
A ，
B 是
C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.
5.已知椭圆x 2100＋y 2
36＝1上一点P 到直线x ＝25
2的距离等于10，求它到点(8,0)的距离.
应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e (0＜e ＜1或e ＞1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.
椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用. 一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如
果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义. 椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离.
提醒：完成作业第三章§4 4.2
答案精析
问题导学 知识点一
思考 我们把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距. 梳理 (1)c
a
右准线 离心率e 知识点二
思考 我们把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线.定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a (a ＞0)表示，焦距常用2c (c ＞0)表示. 知识点三
椭圆 抛物线 双曲线 题型探究 例1 C
跟踪训练1 解 由题意得
x ＋22
2
＋y
2
|x －－62
＝
33
， 整理，得x 2
24＋y 2
16＝1，即为点M 的轨迹方程.
例2 解 (1)因为椭圆的一条准线为直线x ＝5， 所以椭圆的焦点在x 轴上.
设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0).
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＋165b 2＝1，
a
2a 2
－b 2
＝5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝5，
b 2
＝4或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝21，b 2＝84
25.
故所求椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋y 2
84
25
＝1.
(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2·a 2c ＝1855
，
2c ＝25，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧
a ＝3，
b
＝2，
c ＝ 5.
故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 2
9
＝1.
跟踪训练2 解 由题意得双曲线的准线方程为y ＝－33
5
，渐近线方程为3x ±4y ＝0.
设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2c ＝33
5
， ①a b ＝3
4， ②a 2
＋b 2
＝c 2
. ③
设a ＝3k ，b ＝4k (k ＞0)，则c ＝5k ，代入①，得a ＝3，b ＝43
3.
故所求双曲线的方程为y 23－3x 2
16＝1.
例3 D
跟踪训练3 解 设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点， 则⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＝12|PF 2|，
|PF 2|－|PF 1|＝23，
解得⎩⎨
⎧
|PF 1|＝23，|PF 2|＝4 3.
设点P 到右准线的距离为d ， 则
|PF 2|d ＝c a ＝23
3
，∴d ＝6， 即点P 到右准线的距离为6. 当堂训练
1.B
2.D
3.13
5
4.6
5.解 由椭圆的方程x 2100＋y 2
36＝1，知a 2＝100，b 2＝36，则a ＝10，c 2＝a 2－b 2
＝64，解得c ＝
8，故点(8,0)是椭圆的右焦点，直线x ＝252是椭圆的右准线，且离心率e ＝c a ＝4
5
.
设点P 到点(8,0)的距离为d ，则由椭圆的第二定义，得d 10＝4
5
，解得d ＝8.故点P 到点(8,0)
的距离为8.。