2019年高考数学北师大版文科单元评估检测7立体几何初步文

单元评估检测(七) 立体几何初步
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )
图1
A
2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )
图2
A．2 3 cm2B．4 3 cm2
C．8 cm2D．14 cm2
C
3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )
图3
A．80 B．40
C ．80
3
D ．403
D
4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )
A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β
B ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β
C ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β
D ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β
D
5．正四面体P ­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A ．BC ∥平面PDF
B ．平面PDF ⊥平面AB
C C ．DF ⊥平面PAE
D ．平面PA
E ⊥平面ABC B
6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )
【导学号：00090399】
A ．
3
4
B ．
32
C ．334
D ． 3
B
7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A ­BD ­C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )
图4
A ．13
B ．
33
C ．63
D ．223
B
8．如图5，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )
图5
A ．直线BD 1与直线
B 1
C 所成的角为π
2
B ．直线B 1
C 与直线A 1C 1所成的角为π
3
C ．线段B
D 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D
9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )
图6
A ．
32
B ．233
C ．π2
D ．π3
D
10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )
【导学号：00090400】
A ． 2
B ．
22 C ．2
4
D ．
26
B
11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
图7
A ．6＋2π3
B ．8＋π3
C ．4＋2π3
D ．4＋π3
C
12．下列命题中错误的是( )
A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面β
B ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．半径为336
π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表
面积为________． 88
14．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A ­BCC 1B 1的体积为
V 2，则V 1
V 2
＝________.
图8
32
15．如图9，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，
BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
图9
a或2a
16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论：
图10
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为60°.
错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)
④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？
图11
制造这个塔顶需要8 2 m2的铁板．
18．(12分)如图12，已知四棱锥P­ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为PB，PC的中点．
图12
(1)证明：MN ∥平面PAD ．
(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ­ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．
⎭
⎪⎬⎪
⎫MN ∥AD
AD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°， 在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83
.
19．(12分)如图13，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .
图13
(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略
20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝
AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
图14
(1)证明MN ∥平面PAB ；
(2)求四面体N ­BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45
3
21．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ­ABCD ，且PC PF ＝CD CE
＝2，如图15②.
(1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．
(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.
图15
[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°， 因为AB ∥CD ，且PC PF ＝
CD
CE
＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ， 因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，
因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ， 于是CD ⊥BE ，
因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．
(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝1
2
CD ，又AB ∥CD ，
AB ＝1
2
CD ，所以FG ∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，
所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.
22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝1
2CD ＝
2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．
图16
(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为6
6
时，求三棱锥M ­BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，
又因为点M 是EC 的中点， 所以MN ∥DC ，MN ＝1
2DC ，
而AB ∥DC ，AB ＝1
2DC ，
所以MN 綊AB ，
所以四边形ABMN 是平行四边形， 所以BM ∥AN ，
而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .
(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ， 因为AB ∥CD ，AB ＝1
2CD ＝2，
所以四边形ABOD 是平行四边形， 因为AD ⊥DC ，
所以四边形ABOD 是矩形， 所以BO ⊥CD ，
因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ， 所以ED ⊥平面ADCB ， 所以平面CDE ⊥平面ADCB ， 所以BO ⊥平面CDE ， 所以BP ⊥DM ，
所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角， 因为cos ∠OPB ＝66， 所以sin ∠OPB ＝306
， 所以OB BP ＝
306，解得BP ＝2305
. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝25
5，
所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝
55
， 而sin ∠ECD ＝225＝5
5，
所以∠MDC ＝∠ECD ，
所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点， 所以S △DEM ＝1
2S △CDE ＝2，
因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ， 且DE 与CD 相交于点D ， 所以AD ⊥平面CDE ， 因为AB ∥CD ，
所以三棱锥B ­DME 的高＝AD ＝2， 所以V M ­BDE ＝V B ­DEM ＝13S △DEM ·AD ＝4
3
.。