数学建模作业

题目
在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t β和生育模式),(t r h 是两种控制人口增长的手段。

试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

摘 要
针对中国人口的实际特点，建立人口分布函数。

收集数据得到中国人口随年份变化的增长率，解决中国人口中短期和长期的人口预测与控制问题。

首先，将人口的预测问题转化为对出生率的预测，通过对数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可归结为出生率及生育模式的变化，并依次建立不同参数随时间变化的递推数学模型从而讨论各个参数对人口增长的影响。

利用Gamma 函数拟合死亡率对年龄的分布，建立人口分布函数模型，由于概率分布是相对稳定的。

所以对人口预测而言其结果具有可控性，由此可以为我国的计划生育政策作出贡献。

关键词：人口控制；人口分布函数；生育模式
一、问题重述
在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t β和生育模式),(t r h 是两种控制人口增长的手段。

试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

二、问题分析
据了解，我国人口总数占世界人口总数的22%，居世界第一，虽然在二十世纪八十年代就已经开始控制人口，但人口增长的脚步依然没有停下，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡一对夫妻只能生一个孩子、晚婚晚育以及定下了一些关于第二胎的政策。

所以，考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。

三、模型假设
1.时刻t 年龄小于r 的人口
2.在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关
3.无重大天灾人祸，死亡率出生率大致与时间无关。

4.人口统计数据不存在大的误差。

四、符号说明
1.人口分布函数记作),(t r F ；
2.婴儿的出生率记为)(),0(t f t p =；
3.时刻t 、年龄r 的人的死亡率记为),(t r μ；
4.dr t r p t r ),(),(μ表示时刻t 年龄在[]dr r r +,内单位时间的死亡人数；
5.)(0r p 是人口调查得到的已知函数；
6.婴儿的出生率记为)(t f ；
五、模型建立
由问题假设我们可以得到各个年龄段的人口数，即人口分布函数为： ds t s p t r F r
⎰=0),(),(
由于在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设)(),(r t r μμ=
因为)(0r p 与)(r μ可由人口统计数据得到，所以),(t r μ可由)0,(r μ粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况，我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率)(t f ，因此我们主要通过讨论)(t f 来研究人口的研究与控制。

记女性的性别函数为),(t r k ，即时刻t 年龄在[]dr r r +,的女性人数为dr t r t r k ),(),(μ，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作),(t r b ，则育龄区间为[]21,r r ，则：
⎰
=2
1
),(),(),()(r r dr t r p t r k t r b t f
再将),(t r b 定义为
),()(),(t r h t t r b β= 其中),(t r h 满足
1),(2
1
=⎰
r r dr t r h
于是就有
dr t r b t r r ⎰=2
1
),()(β
dr t r p t r k t r b t t f r r ⎰
=2
1
),(),(),()
()(β
)(t β是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育率，如果所有的育龄女性在她的育
龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么)(t β即为生育总和。

六、模型求解
求解我们得到),(t r h 是年龄为r 女性的生育加权因子，即生育模式。

在稳定的环境下可近似地认为它与t 无关，即)(),(r h t r h =，)(r h 表示了那些年龄生育率高，哪些低。

所以r 取得一定值的时候，生育率达到最高。

由人口统计资料可以知道当前实际的),(t r h 。

作理论分析时常采用的)(r h 的一种形式是借用概率论中的Γ分布：
)()()(1
1
1αθα
θ
αΓ-=--r r e r r r h 1r r 〉 并取2=θ，2n
=α，这时有：
21-+=n r r e
即1r 意味着晚婚，而增加n 意味着晚育。

所以生育率)(t β和生育模式),(t r h 是可以控制人口发展过程的两种手段，
)(t β可以控制生育的多少而),(t r h 可以控制生育的早晚与疏密。

我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。

所以一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率为1，所以1)(=t β；晚婚晚育相当于生育模式)(t h 中使1r 和e r 增大；生育第二胎的一些规定可相当于总和生育率
略高于1，即)(t β略高于1,且)(r h 曲线扁平一些，因为规定了生二胎要间隔多少年。

七、模型检验及评价
在上面的模型中密度函数),(t r p 或分布函数),(t r F 固然是人口发展过程中
最完整的描述，但是使用起来很不方便，在人口统计学中最常用一些所谓人口指数來简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。

不过根据上面的生育率和生育模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。

使得人口能够更优更好的发展。

参考文献
[1] 姜启源 《 数学模型》。