复变函数第一章作业

8.将下列复数转化为三角表达式和指数表达式。
(1)i 解： π r=1,argz= 2 π π iπ ∴i=i=cos +isin =e 2 2 2 (3)1+i 3 解： π 3 π i π π ∴1+i 3=2(cos +isin )=2e 3 3 3 r= 1+3=2,argz=
(5)
2i -1+i 解：
x
(3)0<Re(z)<1 由直线x=0和x=1所构成的带形区域， 不包括两直线在内，是无界的单连通域。
y
(4)2≤|z|≤3 由圆x2+y2=4和x2+y2=9所围成 的圆环域 包括圆周在内，是有界的多 连通闭区域 y
r=2 o o r=3 x
o x=0 x=1
x
(5) |z-1|<|z+3| 直线x＝－1右边的平面区域，不包括直线在内， y 是无界的单连通域。
14.求下列各式的值。 14.求下列各式的值。 求下列各式的值
(1)( 3-i)5 解： π π Q 3-i=2cos -2sin 6 6 π π 5 ∴ ( 3-i) = 2cos -2isin 6 6 5π 5π =32cos -32isin 6 6 =-16 3-16i
复变函数作业 第一章
1.求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角。 (1) 1 3+2i 解：
(3-2i) 3-2i 3 2 = = i (3+2i)(3-2i) 13 13 13 3 2 Re(z)= ,Im(z)=13 13 3 2 z= + i 13 13 原式= |z|= 3 2 13 + = 13 13 13
o x=-1
x
(6)－1<argz<－1＋π （7）|z-1<4|z+1|| 由射线θ=-1和θ=－1＋π构成的角形域， 中心在z＝-17/15,半径为8/15的 圆周的外部区域。是无界的多连 不包括两条射线在内，即为一半平面， 通域。 是无界的单连通域。 y
y o x o -17/15 r=8/15 x
2 (-2,1) o
o
x
x
i,
16. 求方程Z 3 + 8 = 0的所有根. Q Z = 2 3 -1 4 π 4 + k π ) + i sin( + kπ )] 3 3 3 3 得Z = 1 − 3i, Z = 1 + 3i, Z = −2 = 2[cos(
π
21. 指出下列各题中点Z的轨迹或所在范围,并作图。 (1) z-5 =6 以5为圆心，以6为半径的圆
2 2
又∵tg(Argz)=
y 2 =x 3 2 ∴argz=arctg - 3
(3+4i)(2-5i) (3) 2i 解： (6+8i-15i+20)i 7+26i 7 原式= = =- -13i -2 -2 2 7 Re(z)=- ,Im(z)=-13 2 7 z=- +13i 2 |z|=
y r=6
(2)|z+2i|≥1
x
-1
o
以-2i为中心， 以1为半径的圆周及其外部区域
y o -2i r=1 x
(3) Re(z+2) =-1 直线x=-3
y
(4) Re(iz)=3 直线y=3
y 3
(5) z+i = z-i 实轴
y
-3
o
x
o
x
o
x
(6) z+3 + z+1 =4 以-3， 为焦点，长轴为4的椭圆 -1
2i(-1-i) 原式= =1-i (-1+i)(-1-i) π r= 2,argz= 4 π - i 2i π π ∴ = 2(cos -isin )= 2e 4 -1+i复数乘以－i，它的模和辐角有何改变？ 一个复数乘以 它的模和辐角有何改变？ 答：模不变 辐角减小
5
(3)
6
-1
解 ： - 1 = cos( 由
π
2 2 2 2 π π 得 6 -1 = cos + k π - i sin + k π 6 3 6 3
6
+ 2 k π ) - i sin(
π
+ 2kπ )
∴
-1的 值 为 3 1 3 1 3 1 3 1 + i, + i, - i, - i 2 2 2 2 2 2 2 2
2 7 5 29 + (13 ) = 2 2 2
又∵tg(Argz)=
y 26 = x 7 26 ∴argz=arctg 7
2.x,y等于什么实数，等式 解：
x+1+i(y-3) =1+i成立？ 5+3i
x+1+i(y-3) 5+3i [x+1+i(y-3)](5-3i) = 25-9i2 5x+3y-4+i(5y-3x-18) = =1+i 34 5x+3y-4=34 x=1 由 ⇒ 5y-3x-18=34 y=11
π
22.描出下列不等式所确定的区域或闭区 域，并指明是有界的还是无界的，是单 连通还是多连通的 。 (1) Im(z)>0 不含实轴的上半平面，是无界的单连通 区域。 y
o i
o
x
(2)|z-1|>4 2 2 圆(x-1) +y =16的外部区域（不包括圆周）, 是无界的多连通域。 y
-1 o r=4
y r=4
o
x
(7)Im(z) ≤ 2 直线y=2及其下部平面
y 2 o x
z-3 (8) ≥1 z-2 5 直线x= 及其左边平面 2 y
o
2.5
x
y
(9) 0<argz<π 不包含实轴的上半平面
o x
4 以i为起点的射线y=x+1（x>0）
y y=x+1 x
(10) arg( z − i ) =
y
(8)|z-2|+|z+2|≤6 x2 y 2 椭圆 + =及其围成的区域， 9 5 是有界的单连通闭区域
o 3 x
（10）zz-(2+i)z-(2-i)z≤4 (9)|z-2|-|z+2|>14 4 2 圆(x-2)2 +(y+1)2 =9及其内部区域， 2 双曲线4x y =1的左边分支内部区域， 15 是有界的单连通闭区域 是无界的单连通域 y y r=3