2020高考数学专题突破练5立体几何的综合问题理含解析

专题突破练（5）立体几何的综合问题
、选择题
1 .已知直线a?平面a，直线b?平面则“ a // b”是“ a//B ”的（）
A.充分不必要条件B .必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分又不必要条件
答案D
解析“a// b”不能得出“ a//B”，反之由“ a / 3 ”也得不出“ a// b”.故选D.
2.如图，三棱柱ABC- ABC 中，AA丄平面ABC AA= AB= 2, BC= 1, AC=Q5，若规
定正视方向垂直平面ACGA i，则此三棱柱的侧视图的面积为（）
A.攀B . 2 5
C. 4 D . 2
答案A
解析在厶ABC中, AC= AB+ BC= 5 ,••• ABL BC
作BD L AC于D,则BD为侧视图的宽，且BD= 年=翠，•侧视图的面积为S= 2X ” =甘.故选A.
5
3.平行六面体ABC- ABCD中，既与AB共面也与CC共面的棱的条数为（）
A. 3 B . 4 C . 5 D . 6
答案C
解析如图，既与AB共面也与CC共面的棱有CD BC, BB, AA, CD，共5条.故选
6
4.在四边形ABCDh AB= AD= CD= 1, BD=Q2, BDL CD将四边形ABCD&对角线BD
折成四面体A' —BCD使平面A BDL平面BCD则下列结论正确的是（）
A. A C L BD
B. Z BA C= 90°
C. CA与平面A BD所成的角为30°
1
D. 四面体A' —BCD勺体积为3
3
答案B
解析•/ AB= AD= 1, BD= 2,二ABL AD
••• A B±A D.・.•平面A BDL平面BCD CD L BD
•••CDL平面A BD •- CD L A B,「. A B丄平面A CD
• A B±A' C,即/ BA C= 90° .故选B.
5.
（2018 •河南豫东、豫北十校测试）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，原
为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，
六根等长的正四棱柱体分成三组，经 的边长为1则该鲁班锁的表面积为
A. 48 B . 60 C . 72 D . 84 答案 B
解析复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得； 如图所示：
投影面积为4X 2+ 1 X 2= 10,共有6个投影面积，所以该几何体的表面积为 10X 6=
60.故选B.
6.如图所示，已知在多面体 ABG- DEFG 中，AB AC AD 两两垂直，平面ABQ 平面DEFG
平面BEF//平面 ADGG AB= AD = DG = 2, AG = EF = 1,则该多面体的体积为 （
）
A. 2 B . 4 G . 6 D . 8
答案 B
解析如图所示，将多面体补成棱长为 2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为
1 3
该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为
V = 2X2 = 4.故选B .
90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为 （ ）
4，底面正方形
7. （2018 •湖北黄冈中学二模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆（如图）.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周
回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为
（ ）
An B . 6+ 2
C. 'J 6 —电'2 D . n + 2 答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点 A, M 的
最短距离，即为线段AMI v PA= PB= 2，半圆锥的底面半圆的弧长为
n , •••展开图中的/ BPM
n n
PB = 7，
•••/ APB= n ，•/ APMh 牛，二在厶 APM 中，根据余弦定理有，
MA = 22 + 22 —
3
6
2X 2X 2cos 5n n = 8 + 4 3 = C.6+ 2）2,A MA= 6+. 2，即蚂蚁所经过路程的最小值为 6
+ ■. 2.故选 B.
&已知圆锥的底面半径为 R 高为3R 在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（ ）
侧觇图
B 兀
2R
兀
5 - 2
D
兀
8 - 3
C
B
解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO的长度为x,由相似三角形的比例关系，
PO x 2
得3R=R'则PO= 3x,圆柱的高为3R- 3x，所以圆柱的表面积为S= 2n x2+ 2n x • （3 R- 3x）
2 3 9 2
=—4 n x + 6 n Rx,则当x = -R时，S 取最大值，Si ax= n R .故选B.
4 4
9.如图，在四棱锥P-ABC［中, ABL AD BC// AD PA= AD= 4, AB= BC= 2, PA I平面ABCD点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF//平面PCD平面CEF与直线PD交于点H,若点A, B, C, H都在球O的表面上，则球O的半径为（）
H C
A. 1 B . 2 C . I D . 3
答案D
解析如图，取PD的中点H, PA的中点G则GH= BC GH/ BC所以四边形BCH（是平行四边形.因为EF//平面PCD设平面PAB与平面PCD相交于直线m则EF// m CH// BG/ m
所以EF// BG/ CH 所以点H 就是平面CEF 与直线PD 的交点.取AD 的中点M 则球O 就是直 三棱柱 ABG- MCH 的外接球，球心 0是两底面外接圆圆心连线的中点.直三棱柱
ABG- MCH
1 ________________________________
的高BC= 2,底面△ ABG 勺外接圆的半径为 尹*〔 2,所以球0的半径R = 12 + 2 2 =■ 3•故 选D.
10. （2018 •河北唐山第一次摸底 ）在长方体 ABC D ABC 1D 中，AB= BC= 2AA ,则异面 直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）
答案 B
解析 在长方体 ABC B ABCD 中，连接 AD,可得AD// BC,所以异面直线 AB 与BC 所成的角即为直线 AB 与直线AD 所成的角，即/ DAB 为异面直线 AB 与BC 所成的角，在 长方体 ABC B A B C D 中，设 AB= BC= 2AA = 2,贝U A B = A D = 5, BD= 2 2,在厶 A BD 中，
由余弦定理得
A B + A D — B D 5 + 5 — 8 1 ,、
cos / DAB =
= ----- ； --- =三•故选 B .
2AB - AD 护 5
1 1.在正方体 ABCD-A B CD 中，P 为正方形 A B CD 四边上的动点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，MN 分别为AB BC 边的中点，点Q 为平面ABC 呐一点，线段D Q 与OP 互相平分， 则满足MQ=入尬N 勺实数入的值有（
）
A. 0个B . 1个C . 2个D . 3个 答案 C
解析 本题可以转化为在 MN 上找点Q 使OQ 綊PD ,可知只有Q 点与M N 重合时满足条 件.故选
C.
12. （2019 •四川第一次诊断）如图，在 Rt △ ABC 中, / ACB= 90°, AC= 1, BC= x （x >0）,
D 是斜边AB 的中点，将厶BCD&直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置， 使得CBL AD
则x 的取值范围是（
）
A. 10
~5~
,15
-^5-
A ¥, 2
B . [ 3, 2 3]
C. (0, 2) D . (0 , 3] 答案 D
解析 由题意得，AD= CD= BD= xj 1, BO
x
,取
BC 中点
E,翻折前，在图1中，连
1 1
接 DE CD 贝y DE= 2AC= 2,
翻折后，在图2中，此时CBL AD •/ BCL DE BCL AD 二BCL 平面ADE 二BCL AE 又 E 为 BC 中点，••• AB= AC= 1 ,••• AE= , 1 — ：x 2, AD= X
?+ 1，在△ ADE 中:①，X
?+ 1 + 2> . 1 — ：x 2,②•
乂?* 1 <1 + 1 — ：x 2,③x >0;由①②③可得0v x v .3.如图3,翻折后，
当厶 BCD 与△ ACD 在一个平面上， AD 与 BC 交于 M 且 AM BC, AD= BD
= CD= BD / CBD= / BCD=Z BCD 又/ CBD-Z BCD-Z BCD= 90° ,
•••/ CBD=/ BCD=Z BCD= 30°,
A = 60° ,
BC= AC an60 ° ,此时x = 1X 3 =
3 ,综上，x 的取值范围为(0 ,
3].故选D.
二、填空题 13.如图，已知球
0的面上有四点 A, B , C, D, DAL 平面 ABC AB 丄BC D A= AB= BC
=J 2 ,则球0的体积等于 ___________ .
图3
解析 如图，以DA AB BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球
0的半径为R 则
正方体的体对角线长即为球 0的直径，所以
|CD =
—7 22 + ：22+一22= 2R 所以 R ^-26,故球 0 的体积 V =
6n .
14. （2018 •湖南湘潭四模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？ ”其意思为：“今有 一个长方体（记为ABCD- ABCD ）的粮仓，宽3丈（即AD= 3丈），长4丈5尺，可装粟一万 斛，问该粮仓的高是多少？ ”已知
1斛粟的体积为2. 7立方尺，一丈为10尺，则下列判断
正确的是 _______ .（填写所有正确结论的编号）
① 该粮仓的高是2丈；
② 异面直线AD 与 BC 所成角的正弦值为 二卜; 133 n
③ 长方体ABC - ABCD 的外接球的表面积为 一^平方丈. 答案①③
解析 由题意，因为10000X 2. 7 = 30X 45X AA ,解得AA = 20尺=2丈，故①正确； 异面直线
AD 与BC 所成角为/ CBC,则sin / CBG =色炉，故②错误；此长方体的长、宽、
13
I)
亠，，亠、J4.5 2+ 32+ 222 133 n 、
咼分别为4. 5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4n 2 = ~4 —平方丈，所以③正确.
2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成
一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为 ________________
1
形顶点到底面的距离为 2,如图中的BC.由图知球心与巢底面的距离
16. （2018 •珠海摸底）用一张16X 10的长方形纸片，在四个角剪去四个边长为 x 的正
方形（如图），然后沿虚线折起，得到一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是
答案 144
解析 沿虚线折出纸盒后，该纸盒的长为
16-2x ，宽为10— 2x ,高为X ,贝U 0v x v 5,
其容积为 V = x (16 — 2x ) • (10 — 2x ) = 4x 3— 52x 2 + 160x ，所以 V'= 12x 2— 104x + 160= 4( x —
15.如图，用一个边长为 解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为 1，如图中的DC 折起后原正方
2)(3 x—20)，令V = 0,得x= 2 或x=^>5(舍去)，当x € (0 , 2)时，V > 0,即在(0 ,
2)上，V：x)是增函数；当x € (2 , 5) , V'v 0，即在(2 , 5)上，V(x)是减函数，所以当x = 2 时，V(x)有最大值为144 .
三、解答题
17. (2018 •湖北八市联考)如图，在Rt△ ABC中，AB= BC= 3,点E, F分别在线段AB,
AC上，且EF// BC将△ AEF沿EF折起到△ PEF的位置，使得二面角P— EF—B的大小为60°.
(1) 求证：EF丄PB
⑵当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角0的正弦值.
解(1)证明：T AB= BC= 3, BCLAB EF/ BC,
••• EF±AB翻折后垂直关系没变，
有EFL PE EFL BE 且PEH BE= E ,
•EF丄平面PBE • EF L PB.
(2) T EF L PE EFl BE,
•••/ PEB是二面角P- EF- B的平面角，
•••/ PEB= 60° ,
又PE= 2 , BE= 1,由余弦定理得PB= .3 ,
•PB+ EB= PE , • PBL EB
•PB BC EB两两垂直.
以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BE 所在直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，
则 P (0, 0, 3)，Q3，0，0)，E (0，1, 0)，F (2，1，0), ••• PE= (0 , 1, -
3) , P F = (2 , 1,-
3),
设平面PEF 的法向量为n = (x , y , z ),
n • PE= 0 ,
由 T
I n • P F = 0 ,
£
7
令 y = 3,则 z = 1 , x = 0,可得 n = (0 , 3 , 1),
1
故直线PC 与平面PEF
所成角e 的正弦值为4.
18. （2019 •广东华南师大附中综合测试
）在五面体 ABCDE 中,AB// CD/ EF, ADLCD
/ DCF= 60° , CD= EF = CF = 2AB= 2AD= 2,平面 CDE L 平面 ABCD
（1）证明：直线CEL 平面ADF
⑵ 已知P 为棱BC 上的点，试确定 P 点位置，使二面角 P — DF- A 的大小为60°
解 （1）证明：T CD/ EF, CD= EF = CF = 2. •四边形CDEF 为菱形，••• CE! DF •••平面CDEI L 平面ABCD 平面CDE R 平面ABC = CD
ADL CD • AD 丄平面 CDE F
• CEL AD ,
又••• AD A DF = D •直线 CEL 平面 ADF ⑵•••/ DCF= 60°,四边形 CDEF 为菱形,
• △ DEF 为正三角形，
、2x + y —y 3z = 0 ,
又 PC= (3, 0 , — 3), • sin n • P C
0 = ------ ---
|n || P C
1 4
-
取EF 的中点G,连接GD 贝U GDL EF, ••• GDL CD •••平面CDE L 平面ABCD 平面CDE P 平面ABCD= CD
GD?平面 CDE F • GDL 平面 ABCD
•/ ADL CD • DA DC DG 两两垂直.
以D 为原点，DA DC DG 所在直线分别为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz,如
•/ CD= EF = CF = 2 , AB= AD= 1,
• E (0, — 1 , 3) , F (0, 1 , 3) , C (0, 2 , 0) , B (1 , 1, 0). • D F = (0,1,
3), S B= (1 , — 1 ,
0), D G= (0,
2 , 0),
由(1)知民(0 , — 3 , 3)是平面ADF 的一个法向量.
设民a(?B= (a , — a , 0)(0 < a w 1), 则 DR= DG F CP= (a , 2 — a , 0).
设平面PDF 的法向量为n = (x , y , z ),
y + V3z = 0 ,
、ax +(2 — ay = 0 ,
令 y = 3a ,则 x = ,3( a — 2) , z =— a , • n =(寸3( a — 2), \j 3a , — a ).
面角 P — DF — A 为 60° , |cos 〈 n ,站=g
| n || C
E
n • DP=
0 ,
_________ 4萌a ________ 1
12 x .J 3 a —2 + 3a + a 2 解得a= |（另
一值舍去）.
••• P点在靠近B点的CB的三等分点处.
19. （2018 •河南高考适应训练）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC［为直角梯形，AB// CD / BAD= 90°, DC= DA= 2AB= 2寸5，点E为AD的中点，BOH CE= H, PHL平面ABCD
且PH= 4.
(1) 求证：PC! BD
(2) 线段PC上是否存在一点F,使二面角B—DF—C的余弦值是器？若存在，请找出点F的
位置；若不存在，请说明理由.
解⑴证明：T AB// CD / BAD= 90°,
•••/ EDC=/ BAD= 90°.
•/ DC= DA= 2AB E为AD的中点，••• AB= ED
•••△BAD^ EDC： / DBA=Z DEH
•••/ DBA- / ADB= 90°, •/ DEHF / ADB= 90°,
• BDLEC
又••• PHL平面ABCD BD?平面ABCD
•BDLPH
又••• PHn EC= H 且PH EQ 平面PEC
• BDL平面PEC
又••• PC?平面PEC：PCL BD
••• BD= E C T . 2 ,5 2+ .5 2 = 5, AB= DE= . 5,
• EH= 1, HC T 4, DH= 2, HB= 3.
⑵由⑴可知，△ DH 0A DAB
DH_EH_ DE DA T BA T DB
•/ PH EC BD 两两垂直，
建立以H 为坐标原点，HB HC HP 所在直线分别为 x , y , z 轴的空间直角坐标系,
如图所示，
则 H （0，0，0），B （3，0，0），qo , 4, 0），口 一 2, 0, 0） , RO , 0, 4）. 假设线段PC 上存在一点F 满足题意.
••• CF 与 CP 共线，
•••存在唯一实数 入（0 <入w 1），满足CF =入6P , 可得F （0 , 4 — 4入，4入）.
设向量n = （x i , y i , z i ）为平面CPD 勺法向量， 且C P= （0，— 4, 4） , C D= （ — 2,— 4, 0）,
n •
CP= 0, —4y i + 4z i = 0,
| — y i + Z i =
0, 5
?
?
n •
C D= 0 —2x i — 4y i = 0 X i + 2y i = 0.
取 X i = 2, y i = Z i = — 1, 则平面CPD 的一个法向量为 n = （2 , — i ,— i ）.
同理可得平面 BFD 的一个法向量为 m = （0 ,入，入一i ）. 设二面角B — DF — C 的平面角为 B ,且0w 入w i ,由图可知 cos 0
| 一 入一入 + il
,22+ — i 2 + — i 2x
02+ 入 2+ 入—i 2
2入一i
6 2 入 2 — 2 入 + i .
I n • m
I n il m 2入一i
击（2入2 — 2入+ i = ，其中2入一i>0,
1
即2＜入w 1,
入=~，即卩CF= ；CP
4 4
T CP= 4 + 4 = 4】2,
•••线段PC上存在一点F,当点F满足CF= 3 ,2时，二面角B—DI C的余弦值是晋.
20.
(2018 •湖北黄冈模拟)如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC- ABC中，侧面AAC竝底面ABC / AAC= 60°.
(1) 求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；
(2) 已知点D满足B D = B A + B C ,在直线AA上是否存在点P,使DP//平面ABC?若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
解(1)因为侧面AACC丄底面ABC作AQ丄AC于点O,所以AQ丄平面ABC
又/ ABC=Z AAC= 60°,且各棱长均为2,
所以AO= 1, OA= OB= 3, BC丄AC
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则A(0，—1, 0), B(@, 0, 0) , A(0 , 0, V3) , C(0 , 1, 0), B(^3, 1 , ^3), 所以AA= (0,
1 , 腑,AB=(V3 ,
2 ,芒),AC= (0, 2 , 0).
设平面ABC的一个法向量为n= (x , y , 1),贝U
n・AB= 3x + 2y+ 3 = 0 ,
n • A~C = 2y = 0 ,
解得n= ( —1 , 0 , 1).
由cos〈AA , n〉= AA. n =芈=远.
| AA|| n| 2y2 4
而侧棱AA 与平面ABC 所成角，即是向量 AA 与平面ABC 的法向量所成锐角的余角，所 以侧棱
A 与平面ABC 所成角的正弦值的大小为普-
(2)因为 BD = BA + BC ,而 BA = ( 一“J 3, — 1 , 0) , BC = ( — 3, 1 , 0)，所以 BD = (—2 3 , 0, 0).
又因为B ( 3 , 0, 0)，所以点D 的坐标为(一3, 0, 0). 假设存在点P 符合题意，则其坐标可设为
R0, y , z )，所以D — = ( 3, y , z ).
因为DP//平面ABC, n = ( — 1, 0, 1)为平面ABC 的一个法向量，所以 D —
• n = 0，即z
='.3
-
所以y = 0.
又DF ?平面ABC,故存在点 P,使DP//平面ABC,其坐标为(0 , 0，轴，即恰好为点
A .
因为 A — =(0 , y + 1, z )，则由 A P =入 AA 得
y + 1 =入，
3=入 3,。