更相减损术新解

更相减损术新解
“更相减损术”是《九章算术》中的一个内容，用来解决求两个大数的最大公因数问题，与西方欧几里得发明的“辗转相除法”齐名，共同为世界数学的发展做出了重要贡献。

课程标准指出：“数学文化作为教材的组成部分，应当渗透在整套中”。

为此，教材适时的安排有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料等。

一、创设情境，引发认知
1.课前复习：如何求两个数的最大公因数，用到哪些方法？
2.化简下面各分数（指定两列同学更相提问）
（练习之前请学生关注老师的提问方式，当回答到第5人时，解释说明“更相”，并板书）
当学生一下子回答不上最后一道的结果时，老师说明：这是老师备课时在网上看到一则信息，说是某知名中学初三学生的一次数学考试中，有一道题的答案
161/207不是最简分数必须化简，由于考试时间紧，全校学生没有一人会懂得把它化简。

3.看来同学们也同样是遇到了困难。

在两千年前，古人在求这样两个大数的最大公因数时，早已经帮我们想好了办法，同学们，你想知道吗？
【设计意图：通过对几道化简题目的练习，有效复习了约分的方法，也作为后面举例说明“更相减损术”的素材，同时用指定“更相”回答的方式，形象解释了“更相”的意义，起到分散读题难点的目的，可谓是一举三得。

】
二、学习新知，尝试解题
1.请同学们看屏幕：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。

以等数约之。

”这句话讲的是什么呢？
教师随后出示译文：“如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此
重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。

”带领学生逐句理解译文内容。

2.汇报分享。

教师举例说明，重点讲解“等数”和最后要把等数与用2约的次数相乘，求得最大公因数。

如：先把12/18约分成6/9；然后再把减数和差相减：9-6＝3，6-3＝3；最后把相等数连同约的2相乘：2×3＝6。

又如：45-30＝15，30-15＝15。

（留给学生独立完成）
师：这么好的方法我们是不是得给它取个名字呢？后人给这种方法起了个好听的名字，补完课题：更相减损术
3.师：对比这两组数，有时要先用2约，约完再更相减损，有的可以直接相减，也能求出两个数的最大公因数。

学到这，同学们可有新的想法？你的猜测是对的吗？
随后引导学生探究两个都是偶数时，也可以不用2先约，直接相减也能求出它们的最大公因数。

4.对比更相减损术与以前学过的方法，明白各种方法的优劣，并解决161/207的化简问题（7/9）。

使学生明白，在求两个较大数的公因数时用更相减损术能较快的找出来。

5.介绍简便记忆口诀。

为了便于记忆，有人把更相减损术编成了四句口诀，大家一起看屏幕：两数同偶二除之，否则相减求差值，小数与差大减小，直到减数等差时。

【设计意图：采用给学生设置障碍的形式引起学生解决问题的兴趣，通过猜想、阅读、尝试理解、自主举例验证等方式，使学生理解并掌握更相减损术，提高了学生自主解决问题的能力，体现学生的主体学习地位。

在这一教学过程中，还培养了学生记笔记的习惯、整理编口诀的能力以及对中华传统文化的传承与改进。

】
三、探究算理，深化理解
1.师：同学们，这真是太神奇了呀，我们今天用减法，减减减，竟然能减出了两个数的最大公因数。

此时的你，又有什么问题要问的吗？（引发学生对更相减损术算理的探究欲望）
师：同学们，请认真观察，在这一过程中可有什么发现？
【设计意图：根据几次的试教中发现，学生学完更相减损术的方法之后，都会对它的算理产生更加浓厚的兴趣。

为了达到说理的目的，本环节通过学具的演练与操作，在数形结合中使学生对算理有了更深入的理解，感知数学知识也是可以通过动手做出来的，这也是工作室课题“学具在思维可视化过程中的作用研究”中所倡导的研究方向。

】
四、感悟思想，感受文化
1.教师:更相减损术蕴含了什么数学思想呢?
引导学生回答:求207和161的最大公因数我们都有困难，通过更相减损，最后我们把它们转化成了求23和23的最大公因数，大家都会求得结果，在这个过程中，蕴含着什么数学思想呢同学们？（化繁为简、数形结合）这些数学思想在数学学习中应用非常广，同学们要学会善于归纳总结。

【设计意图：数学思想方法根植于平时的课堂教学中，教师不仅要教会学生掌握数学知识，更要适时引导学生归纳总结数学方法，教会学生学会思考、学会学习，实现学习的可持续性。

通过对更相减损术算理的教学，恰到好处的揭示化繁为简、数形结合的思想，使法有所依，知识与方法相辅相成，互相促进。

其次，适时渗透中华传统数学文化的魅力，进一步提高学生对中华传统文化的认识】
2.教师：今天我们学习的更相减损术收录于我国古代著名的数学专著《九章算术》中，老师也带来了一本。

现在，我们轻松一下，一起来看一段关于《九章算术》简介的视频。

（同学们可以利用课后时间查一下，在你学过的小学课本中还有哪些地方有提到《九章算术》？）
中华五千年留下了光辉灿烂的中华传统文化，我们要继承，更要发扬。

教材中还有许许多多这样的有关数学文化的介绍。

对于这些传统文化,不仅要了解,还要像今天这样亲自去做一做，体验实践一下，只有这样，才能真正感悟到数学文化的魅力。

【设计意图：本节课的其中一个目标就是要让学生体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，体验中华传统文化的魅力。

教学时，教师利用展示《九章算术》这本图书，激发学生渴望了解中华传统数学文化的欲望，起到了传播数学文化的目的。

】五、布置作业，拓展延伸
有兴趣的同学课后可以想想：能否用更相减损术求三个数的最大公因数。

【板书设计】
更相减损术
【设计思路】首先，利用复习题导入，给学生设置障碍引起学生探索新知的欲望，通过对提问方式的演示，分散理解课题的难点。

其次，在问题的驱动下，激发学生探究的兴趣，引导学生自主探索解决问题的方法，融数学方法和思想于教学过程中，培养学生记笔记、阅读、简便记忆等良好的学习习惯。

第三，深化理解知识背后的算理，做个明白人，感受学具在学生思维可视化过程中的作用。

第四，感悟化繁为简、数形结合的数学思想，感受中国传统数学文化对世界数学发展史的影响，推广中华传统数学文化，培养学生的民族自豪感，使学生更加喜欢数学，乐于钻研。