南京市秦淮中学0轮复习苏教版2019必修第二册第15章：概率 知识点扫描+典型例题+自我训练学生版

模块一：自主学习 回归教材
知识点一： 样本空间
样本点：随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示． 样本空间：所有样本点组成的集合，记为Ω. 知识点二： 随机事件
事件类型 定义
随机事件 样本空间的子集，简称事件
必然事件 Ω(全集) 不可能事件 ∅(空集)
基本事件
当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件
知识点三：事件的关系与运算
1．事件的包含关系：事件B 发生必导致事件A 发生，称事件A 包含事件B (或事件B 包含于事件A )，记作BA . 2．事件的运算
定义
符号
图示
并事件(或和事件) 一般地，事件A 与事件B 至少有一个发生，即为事件C 发生 C ＝A ＋B (或C ＝A ∪B )
交事件(或积事件)
一般地，事件A 与事件B 同时发生，即为事件C 发生
C ＝AB (或C ＝A ∩B )
知识点四： 古典概型
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)样本空间Ω只含有有限个样本点．(2)每个基本事件的发生都是等可能的． 那么我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． 知识点五： 古典概型的概率公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }(其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk }(k ＝1,2，…，n )发生的概率都是1
n .如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合
而成，即A 中包含m 个样本点，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m
n .
知识点六： 概率的基本性质 1．随机事件的概率范围为0≤P (A )≤1.
2．必然事件和不可能事件分别用Ω和∅表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0.
知识点七 频率的稳定性
一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在随机事件A 发生的概率P (A )的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．
知识点八 频率与概率的关系
若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则当试验次数n 很大时，可以用事件A 发生的频率m n 来估计事件A 的概率，即P (A )≈m n . 知识点九 概率的意义
对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性． 知识点十 互斥事件
不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 知识点十一： 互斥事件的加法公式
如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 随机事件的概率还具有以下常用性质：
①对立事件:如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ，对立事件概率公式P(A )＝1－P(A)． ②当A B ⊆时，()()P A P B ≤
③当,A B 不互斥时，()()()()P A B P A P B P AB +=+- 知识点十二：相互独立事件的概念
①概念：如果事件A 是否发生不影响事件B 发生的概率，那么称A ，B 为相互独立事件． ②结论：A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．
③独立事件的推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )． 知识点十三： 相互独立事件的性质
如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．
模块二：自我体验 前测训练
1．下列事件是必然事件的是( )
A ．从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B ．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数
C ．平行于同一条直线的两条直线平行
D ．随机选取一个实数x ，得2x <0
2．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,4}，从A ，B 中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为( )
A ．8
B ．9
C ．12
D ．11
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A ＝{出现的点数是1或2}，事件B ＝{出现的点数是2或3或4}，则事件“出现的点数是2”可以记为( )
A ．A ∪
B B ．A ∩B
C ．A ⊆B
D ．A ＝B
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M 为“甲被选中”，则事件M 含有的样本点个数为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 5．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为( )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25 6．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23 7．下列结论正确的是( )
A ．事件A 的概率P (A )的值满足0<P (A )<1
B ．若P (A )＝0.999，则A 为必然事件
C ．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性为99%
D ．若P (A )＝0.001，则A 为不可能事件
8．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A ．A ＋
B 与
C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与
D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件
9．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是( )
A ．至少有一个红球，至少有一个白球
B ．恰有一个红球，都是白球
C ．至少有一个红球，都是白球
D ．至多有一个红球，都是红球
10．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )
A ．1
B ．0.629
C ．0
D ．0.74或0.85
11．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为
0.5，则问题由乙答对的概率为( )
A ．0.2
B ．0.8
C ．0.4
D ．0.3
12．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________． 13．将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为________． 15．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________．
16．容量为200的样本的频率直方图如图所示．根据样本的频率直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为______．
17．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________． 模块三：要点导学 各个击破 典例评析
例1、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率
变式训练：已知关于x 的二次函数2()1f x mx nx =--，令集合{}1,2,3,4M =，
{}1,2,4,6,8N =-，
若分别从集合M 、N 中随机抽取一个数m 和n ，构成数对(),m n . （1）列举数对(),m n 的样本空间；
（2）记事件A 为“二次函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞”，求事件A 的概率； （3）记事件B 为“关于x 的一元二次方程()2f x =有4个零点”，求事件B 的概率.
例题2：如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）80~90这一组的频数､频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
变式训练：从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm
和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，
，
第八组[]190195,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．
模块四：课后练习 巩固提升
一、单选题
1.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率
为()
A.
9
10
B.
3
10
C.
1
8
D.
1
10
2.某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷.如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时
收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，那么下列说法中正确的是().
A. 一定不会淋雨
B. 淋雨机会为3
4
C. 淋雨机会为
1
2
D. 淋雨机会为
1
4
3.在一个试验中，若()()()1
P A B P A P B
=+=，事件A与事件B的关系是()
A. 互斥不对立
B. 对立不互斥
C. 互斥且对立
D. 以上答案都不对
4.某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件M为
“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是()
A. 恰有2名女生参加演讲
B. 至多有2名男生参加演讲
C. 恰有1名女生参加演讲
D. 至多有2名女生参加演讲
5.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题：“今有木，方三尺，高三尺，
欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要用它制作棱长为5寸的正方体枕头，可制作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为(注：1尺10
=寸)()
A. 125
216
B.
8
27
C.
4
9
D.
1
4
6.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有两道备选题目，若每位选手从中有放
回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()
A. 1
3
B.
2
3
C.
1
2
D.
3
4
7.如图，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一
格(若它在1，2，4，5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机
会进入1，2，4，5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是(
)
A.
316
B.
14
C.
16
D.
12
8. 从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：克)的频数分布表如下：
分组 [80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
频数
5
10
20
15
用分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为(
)
A.
14
B.
13
C.
12
D.
16
二：多选题
9. 下列说法错误的有()
A. 随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C. 任意事件A 发生的概率()P A 满足0()1
P A <<
D. 若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是不可能事件
10. 抛掷三枚硬币，设事件i A =“第i 枚硬币正面朝上”，1i =，2，3.则() A. 1A 与2A 互斥 B. 12A A 与3A 相互独立
C. 2
31()4
P A A =
D. 1
23()4
P A A =
11. 下列关于各事件发生的概率判断正确的是()
A. 若从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，则甲被选中的概率为1
3
B. 已知四条线段的长度分别是1，3，5，7，则“从这四条线段中任取三条线段能构成一个三
角形”的概率是
14
C. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，若蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，
则它能获得食物的概率为1 3
D. 已知集合{2,3,4,5,6,7}
A=，{2,3,6,9}
B=，若在A B中任取一个元素，则该元素是
A B中元素的概率为3 5
12.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿
者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．
若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是() A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B. 第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为8 15
C. 第5组志愿者被抽中的概率为1 3
D. 第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为2 3
三：填空题
13在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
________(结果用数值表示)．
14.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为9
20
，则参加联欢会的教师共有________人
15.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.
16.一次掷两枚骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程2)0(4x m n x +++=有实数根的概率是________． 四：解答题
17.某班有两个课外活动小组．其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1
张．
()Ⅰ两人都抽到足球票的概率是多少？()Ⅱ两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
18.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2019年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名
的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如下表所示．
组号分组频数
1[4,5)2
2[5,6)8
3[6,7)7
4[7,8]3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至
少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
19.甲、乙、丙三人在同一办公室工作.办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打
给甲、乙、丙的概率依次为1
6
、
1
3
、
1
.
2
若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独
立，求：()Ⅰ这三个电话是打给同一个人的概率；()Ⅱ这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．
20.有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm ），数据统计如下：
0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数； （2）有A ，B 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有1
3
的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池，求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.
21．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别
有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,
A B C D E F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A B C D E F
子女教育○○×○×○
继续教育××○×○○
大病医疗×××○××
住房贷款利息○○××○○
住房租金××○×××
赡养老人○○×××○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
22.乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对
的概率为3
4
，乙每轮猜对的概率为
2
3
·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果
也互不影响，求
（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;
（2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;（3）“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;。