2022-2023学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中联考数学试题(解析版)

2022-2023学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．设集合{}{}|1,|12=≥=-<<A x x B x x ，则A B ⋃=（ ） A ．{|1}x x >- B ．{}|1x x ≥ C ．{}|11x x -<< D ．{}|12x x ≤<
【答案】A
【分析】根据并集的概念运算可得结果.
【详解】因为集合{}{}|1,|12=≥=-<<A x x B x x ， 所以A B ⋃={|1}x x >-. 故选：A
2．已知x ∈R ，则“0x =”是“2340x x --≤”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两个条件之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】当0x =时，23440x x --=-≤， 故“0x =”可以推出“2340x x --≤”，
当2340x x --≤时，14x -≤≤，此时推不出0x =， 故“2340x x --≤”推不出“0x =”，
故“0x =”是“2340x x --≤”的充分不必要条件， 故选：C.
3．命题2:0,10p x x ax ∀>-+>的否定是（ ） A ．20,10x x ax ∀>-+≤
B ．20,10x x ax ∀≤-+>
C ．2
0000,10x x ax ∃>-+≤
D ．2
0000,10x x ax ∃≤-+≤
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题2:0,10p x x ax ∀>-+>的否定为：2
0000,10x x ax ∃>-+≤，
故选：C.
4．已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．
c c a b
> B ．2ab b < C ．11a b <
D ．
1111
a b <-- 【答案】C
【分析】根据不等式的性质或反例可判断各项的正误. 【详解】对于A ，取2,1,1,0a b c a b ===>>，但
11121c c
a b
=<==，故A 错误； 对于B ，取2,1,0a b a b ==>>，但221ab b =>=，故B 错误； 对于C ，因为0a b >>，故
a b ab ab >即11a b
<，故C 正确；
对于D ，取2,0.5,0a b a b ==>>，但111211
a b =>-=--，故D 错误. 故选：C.
5．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过M cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a 、b 、c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A ．a + b + c ≤M B ．a +b +c >M
C ．a + b + c ≥M
D ．a + b + c <M
【答案】A
【分析】根据长、宽、高的和不超过M cm 可直接得到关系式. 【详解】长、宽、高之和不超过M cm ，
a b c M ∴++≤.
故选：A.
6．不等式()()2
242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．{}12a a -≤<
B ．{}12a a -<≤
C ．{}21a a -<<
D ．{}12a a -≤≤
【答案】B
【分析】由题意列不等式组求解
【详解】当20a -=即2a =时，120-<恒成立，满足题意，
当20a -≠时，由题意得2
20
Δ16(2)48(2)0a a a -<⎧⎨=-+-<⎩
，解得1a 2-<<， 综上，a 的取值范围是{}12a a -<≤， 故选：B 7．函数2
1
43y x x =
+-的单调增区间为（ ）
A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．31,2⎛
⎤- ⎥⎝⎦
C ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
和()4,+∞ D ．()3,11,2⎛
⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦
【答案】C
【分析】由2430x x +-≠可得1x ≠-且4x ≠，然后求出243y x x =+-的减区间即可. 【详解】由2430x x +-≠可得1x ≠-且4x ≠， 因为243y x x =+-开口向下，其对称轴为3
2
x =
， 所以243y x x =+-的减区间为3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
和()4,+∞
所以2143y x x =+-的单调增区间为3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
和()4,+∞ 故选：C
8．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，定义域均为[]1,1-，二者在[]0,1上的图象如图所示，则关于x 的不等式()()0f x g x <的解集为（ ）
A ．111,0,22⎛
⎫⎛⎫-- ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭ B ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．11,0,122⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．111,,122⎛
⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
【答案】A
【分析】先根据图象求出当[]0,1x ∈时，不等式()()0f x g x <的解集和()()0f x g x >的解集，再利用函数奇偶性质得到()()f x g x 是奇函数，求出[)1,0x ∈-时，不等式()()0f x g x <的解集，从而得到不等式在定义域为[]1,1-时，()()0f x g x <的解集. 【详解】有图可得，当1
02
x <<时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x <； 当
1
12
x <<时，()0f x <，()0g x <，故()()0f x g x >. 所以当[]0,1x ∈时，不等式()()0f x g x <的解集为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
又因为()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()()f x g x 是奇函数，
由奇偶性可知，当[)1,0x ∈-时，不等式()()0f x g x <的解集为11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，
所以不等式()()0f x g x <的解集是111,0,22⎛
⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ） A ．任何集合都是它自身的真子集 B ．集合{},a b 共有4个子集
C ．集合{31,Z}{32,Z}x
x n n x x n n =+∈==-∈∣∣ D ．集合{}{}
221,N 45,N x
x a a x x a a a **=+∈==-+∈∣∣ 【答案】BC
【分析】根据集合的性质依次判断即可.
【详解】对A ，空集不是它自身的真子集，故A 错误；
对B ，因为集合{},a b 中有2个元素，所以有224=个子集，故B 正确；
对C ，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C 正确；
对D ，因为2245(2)1x a a a =-+=-+，当2a =时，1x =，所以{}
2145,N x x a a a *∈=-+∈∣，但{}
211,N x x a a *∉=+∈∣，故两个集合不相等，故D 错误.
故选：BC.
10．已知命题2:,440p x R ax x ∃∈--=，若p 为真命题，则a 的值可以为（ ） A ．-2 B ．-1
C ．0
D ．3
【答案】BCD
【分析】根据给定条件求出p 为真命题的a 的取值范围即可判断作答， 【详解】当0a =时，=1x -，p 为真命题，则0a =，
当0a ≠时，若p 为真命题，则16160a ∆=+≥，解得1a ≥-且0a ≠， 综上，p 为真命题时，a 的取值范围为1a ≥-. 故选：BCD
11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0n m >>，则以下选项正确的有（ ） A ．a<0
B ．0b >
C ．20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ．20cx bx a ++>的解集为1
x x n ⎧<⎨⎩
或1x m ⎫>⎬⎭
【答案】ABC
【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.
【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，<0a ∴，故A 正确；
0n m >>，令()2
f x ax bx c =++，02b
a
∴-
>，即0b >，故B 正确； 由上所述，易知()00f <，0c <，
由题意可得,m n 为一元二次方程20ax bx c ++=，则b m n a
+=-
，c mn a =，
则11a n m c ⋅=，11m n b n m mn c ++=
=-，即11
,n m
为方程20cx bx a ++=的解， 则可知不等式20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭，故C 正确，D 错误.
故选：ABC.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数
()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦
C ．()f x 在()01，上单调递增
D ．()f x 有最大值无最小
值
【答案】BC
【分析】根据[]x 的定义，将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质.
【详解】由题意：[]2,21
1,10=0,011,12x x x x x ⎧
⎪--≤<-⎪
⎪--≤<-⎨≤<⎪⎪≤<⎪⎩，所以()f x 3,212,10=1,01,12x x x x x x x x ⎧⎪+-≤<-⎪⎪+-≤<-⎨
+≤<⎪⎪≤<⎪⎩ 所以()f x 的图象如下图，
由图象分析： (0)1f =，所以A 不正确；()1f x =⎡⎤⎣⎦，所以B 正确；
()f x 在()01，上单调递增，所以C 正确；()f x 有最小值无最大值，所以D 不正确. 故选：BC.
三、填空题
13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =___________. ①()f x 为幂函数；②()f x 为偶函数；③()f x 在(),0∞-上单调递减. 【答案】2x （或4x ，2
3x ，答案不唯一） 【分析】结合幂函数的图象与性质可得．
【详解】由幂函数a y x =，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此2()f x x =，或4()f x x =，2
3
()f x x =等等．
故答案为：2x （或4x ，2
3x ，答案不唯一）．
14．已知函数(
)()2234(0)021(0)x x f x x x x ⎧->⎪⎪==⎨
⎪-+<⎪⎩
，则()()31f f -+=___________. 【答案】18-
【分析】根据分段函数的形式可求()()3,1f f -的值，从而可求其和. 【详解】()()318117,1341f f -=-+=-=-=-，故()()3118f f -+=-， 故答案为：18-.
15．若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________． 【答案】9
【分析】
利用基本不等式得3a b ab +=-≥. 【详解】
因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），
所以230-≥，
所以1)0≥
3≥，所以9ab ≥， 所以ab 的最小值为9. 故答案为：9
16．若关于x 的不等式22(25)x kx -≥恰好有三个整数解，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】12181
(
,]94
【解析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．
【详解】由题22(25)x kx -≥恰好有三个整数解，
即()222
(25)0420250x kx k x x --⇔-+≥-≥恰好有三个整数解，
40k ∴-<，即4k >，
()2420250k x x --+=，0∆>恒成立，
由22
(25)025250x kx x x ⎡⎤⎡⎤--⇔--≥≥⎣⎦⎣⎦
(
(25250x x ⎡⎤⎡⎤⇔--≥⎣⎦⎣⎦
x ≤≤
5
0,
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
若不等式恰好有三个整数解，
当
21
5
1
4
⎧
-<≤-
⎪⎪
⎨
⎪≤<
⎪⎩
，即
12
5
1
4
⎧
≤<
⎪⎪
⎨
⎪≤<
⎪
⎩
25
5
2
2
25
≤
⇒>
⎪≤
⎩
，此时无解.
当
32
01
⎧
-<≤-
⎪⎪
⎨
⎪<<
⎪⎩
，即
23
01
⎧
≤<
⎪⎪
⎨
⎪<
⎪
⎩
5
2
2
5
2
3
25
≤
⇒>
⎪+
⎪⎩
，
此时解得
12181
94
k
<≤，所以实数k的取值范围是
12181
(,]
94
.
故答案为：
12181
(,]
94
【点睛】方法点睛：此题主要考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．
分类讨论思想的常见类型：
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
四、解答题
17．已知幂函数()
2
()33m
f x m m x
=-+的图象关于y轴对称，集合{}
131
A x a x a
=-<≤+.
(1)求m的值；
(2)
当2
x
⎤
∈⎥
⎣⎦
时，()
f x的值域为集合B，若x B
∈是x A
∈成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
m=
(2)1
a≥
【分析】（1）根据幂函数的定义可得2331
m m
-+=，求出m的值，再检验即可得出答案.
(2) 先求出函数()f x 的值域，即得出集合B ，然后由题意知B A ⊆，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.
【详解】（1）由幂函数定义，知2331m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称， 因此2m =.
（2）当[]1,2x ∈-时，()f x 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则集合1,42B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，
由题意知B A ，得131112314
a a a a -<+⎧⎪⎪
-<⎨⎪
+≥⎪⎩，解得1a ≥.
18．数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合S 为第一
象限连同边界上的格点集，即(){},N,N S x y x y =∈∈∣
，已知集合(){}(){}
2
,23,,3P x y y x Q x y y x ==-+=
=-+∣∣
.
(1)分别求P S ⋂和Q S ⋂； (2)求()()P S Q S ⋂⋃⋂.
【答案】(1)()(){}0,3,1,1P S =，()(){}0,3,1,2Q S = (2)()()()()(){}0,3,1,1,1,2P S Q
S =
【分析】（1）根据题意，分别求出23y x =-+和23y x =-+上位于第一象限连同边界上的点，得到
P S ⋂和Q S ⋂；
（2）在第一问的基础上求出并集.
【详解】（1）23y x =-+，令0x =，解得：3y =， 令1x =，解得：1y =， 故()(){}0,3,1,1P S =，
23y x =-+，令0x =，解得：3y =，
令1x =，解得：2y =， 故()(){}0,3,1,2Q S =，
（2）()()()()(){}0,3,1,1,1,2P S Q
S =.
19．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求
12
a b
+的最小值；
(2)
【答案】(1)3+ (2)证明见解析.
【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求12
a b
+的最小值，注意等号成立条件；
（2）法一：应用柯西不等式证明，注意等号成立条件；法二：应用分析法，将问题转化为证
3
2
≤
，再结合基本不等式求证，注意等号成立条件； 【详解】（1）a ，b 均为正数，且1a b +=，
()12122
333b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
当且仅当2b a
a b
=，即12a b ==，时等号成立，
故
12
a b
+的最小值为3+
（2）法一：由柯西不等式得，()
22211⎤+≥⎥⎦
，
即26≤，
≤1
2
a b ==等号成立．
只需证明
2
6≤
只需证明46a b --+≤
32
≤
223
22
a b -+-=，当且仅当22a b -=-，即0.5a b ==时等号成立.
20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状
态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始min x 时，学生注意力集中度的值()f x （()f x 的值越大，表示学生的注意力越集中）与x 的关系如下：
20.1 2.643,010,()59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩
(1)讲课开始5min 时和讲课开始20min 时比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13min ，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.
【答案】(1)讲课开始后5min 学生注意力更集中
(2)开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59)，能维持6分钟
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意得，(5)53.5,(20)47(5)f f f ==<，即可得到答案；
（2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；
（3）分别求解当010x <≤和1640x <≤时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论.
【详解】（1）由题意得，()()()553.5,20475f f f ==<，
所以讲课开始后5min 学生注意力更集中.
（2）当010x <时，22()0.1 2.6430.1(13)59.9f x x x x =-++=--+，
()f x 在010x <时单调递增，最大值为2(10)0.1(1013)59.959f =-⨯-+=．
当1016x <时，()59f x =；当16x >时，函数()f x 为减函数，且()59f x <．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59)，能维持6分钟．
（3）当010x <时，令()55f x =，解得6x =或20（舍去）；
当16x >时，令()55f x =，解得1173
x =， 可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间11176111333
=-=<，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
21．已知函数()2
21x f x x =+ (1)证明：()f x 为偶函数；
(2)判断()()g x f x x =+的单调性并用定义证明；
(3)解不等式()()222f x f x x --+>
【答案】(1)证明见解析
(2)()g x 为R 上的增函数，证明见解析
(3)()1,+∞
【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；
（2）首先得到()g x 的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】（1）证明：()f x 的定义域为R ，
又()()()()2
2
2211x x f x f x x x --===+-+，故()f x 为偶函数； （2）解：()()2
21
x g x f x x x x =+=++，所以()g x 为R 上的增函数， 证明： 任取1x ，2x ∈R ，且12x x >，
()()22221212121212222212121111x x x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫-=+-+=-+- ⎪++++⎝⎭
()(
)()()22221221122
2121111x x x x x x x x +-+=-+++
2212122212(1)(1)
x x x x x x -=-+++ 12122212()1(1)(1)x x x x x x ⎡⎤+=-+⎢⎥++⎣⎦ 22221212121222121()(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤+++++=-⎢⎥++⎣⎦ 22221212122212111()()222().(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎢⎥=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
∵12x x >，∴220x x ->，又()()
222212122212111222011x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>++， ∴22221212122212111()()222()0(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎢⎥->⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
，即()()12g x g x >， ∴()g x 为R 上的增函数；
（3）解：不等式()()222f x f x x --+>，
等价于()()()2222f x x f x x f x x +>-+-=-+-
即()()2g x g x >-，
∵()g x 为R 上的增函数，
∴2x x >-，解得1x >，故不等式的解集为()1,+∞.
22．定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．
（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由．
（2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．
【答案】（1）具有（2）2a ≥
【详解】试题分析：（1）先根据二次函数性质求最小值，再根据定义判断是否具有“DK ”性质，（2）先根据对称轴与定义区间位置关系求函数最小值，再根据定义列不等式，解不等式可得a 的取值范围．
试题解析：（1）∵()222f x x x =-+，[]1,2x ∈，
对称轴1x =，开口向上，
当1x =时，取得最小值为()11f =，
∴()()min 111f x f ==≤，
∴函数()f x 在[]1,2上具有“DK ”性质．
（2）()22g x x ax =-+，[],1x a a ∈+， 其图象的对称轴方程为2
a x =．
①当02
a ≥，即0a ≥时，()()22min 22g x g a a a ==-+=． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <
<+，即20a -<<时， ()2
min 224a a g x g ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2
24
a a -+≤总成立，解得a 无解． ③当12
a a ≥+，即2a ≤-时，()()min 13g x g a a =+=+， 若函数()g x 具有“DK ”性质，
则有3a a +≤，解得a 无解．
综上所述，若()22g x x ax =-+在[],1a a +上具有“DK ”性质，则2a ≥．。