人教A数学必修1电子题库：第一章1.3.1第1课时知能演练轻松闯关 Word版含答案

1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，0]
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A ．y ＝|x |
B ．y ＝3－x
C ．y ＝1x
D ．y ＝－x 2＋4 解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x
在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．
答案：[－1.5,3]，[5,6]
4．证明：函数y ＝x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数． 证明：设x 1>x 2>－1，
则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)
， ∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，
∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)
>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
[A 级 基础达标]
1．下列说法中正确的有( )
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；
②函数y ＝x 2在R 上是增函数；
③函数y ＝－1x
在定义域上是增函数；
④y ＝1x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单
调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x
的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )
A ．[0，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．[1,2]
D ．(－∞，32
] 解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32
且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32
]，故选D. 3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(0，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.
4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3. 其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]．
答案：[3，＋∞) (－∞，3]
5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2
＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)
. ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，
∴f (x 1)－f (x 2)<0.
∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)
<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，
∴2a －1>0，∴a >12
. 答案：(12
，＋∞) 6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间．
解：
由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．
[B 级 能力提升]
7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )
A ．一定是增函数
B ．一定是减函数
C ．可能是常数函数
D ．单调性不能确定
解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A ．f (a )>f (2a )
B ．f (a 2)<f (a )
C ．f (a 2－1)<f (a )
D ．f (a 2＋1)<f (a )
解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34
>0， ∴a 2＋1>a .
∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.
9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12
)的实数x 的取值范围为________． 解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤1，x <12
，即－1≤x <12. 答案：－1≤x <12
10．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间．
解：
当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，
所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，
画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12
]． 11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.
(1)求b 与c 的值；
(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．
解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3，
∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)
＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)
＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，
∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2，
∴x 1＋x 2－4＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，
即f (x 1)＜f (x 2)．
∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．。