4.6 实数(教师版) 2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)

术平方根；若 a = 0 ，则它有一个平方根，即 0 的平方根是 0，0 的算术平方根也是 0，负数没有平方根．①②③④ 分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【解答】解：根据平方根概念可知： ①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0 的算术平方根是 0，故错误； ③当 a < 0 时， a2 的算术平方根是 -a ，故错误； ④算术平方根不可能是负数，故正确． 所以不正确的有①②③共 3 个． 故选： C ． 3. （2024 春•禹城市月考）下列结论正确的是 ( )
3.1415926， 3.030030003¼， 5 ， (-7)2 ， 0.1 ； 3 512 ，0， (-7)2 ； 11
3. （2024 春•沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
① - p ，②0，③ -(-32 ) ，④ 0.1010010001¼（两个 1 之间的 0 逐渐增加），⑤ -3.2 ，⑥ 22 ，⑦ - | - 1 | ．
11 无理数有： p ， 3.030030003¼， - 3 9 ， 0.1 ； 正实数有： 3 512 ， p ，3.1415926， 3.030030003¼， 5 ， (-7)2 ， 0.1 ；
11 整数有： 3 512 ，0， (-7)2 ；
故答案为： 3 512 ，3.1415926， -0.456 ，0， 5 ， (-7)2 ； p ， 3.030030003¼， - 3 9 ， 0.1 ； 3 512 ， p ， 11
◆实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应．
◆实数比较大小：在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而 确定两个无理数的大小．
（4）比较被开方数：若 a>b>0，则 a > b ， 3 a > 3 b ．
8 是无限不循环小数，是无理数；
4 是整数，是有理数； p
是无限不循环小数，是无理数； 3 22 是分数，是有理数， 7 综上所述：无理数共有 4 个．
故选： C ．
2. （2024 春•乐陵市校级月考）将下列各数填在相应的集合里．
3 512 ， p ，3.1415926， -0.456 ， 3.030030003¼（每两个 3 之间依次多 1 个 0) ，0， 5 ， 3 9 ， (-7)2 ， 11
（5）倒数法：设 a>0，b>0，若 1 > 1 ，则 a<b． ab
（6）数轴法：如果两个数在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数． （7）放缩法：如果 a>c，c>b，那么 a>b．
知识点三 实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中． （2）有理数的运算律可以推广到实数中． ◆加法交换律：a+b=b+a ◆加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） ◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即 ab=ba ◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c=a （bc）． ◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相 加．即 a（b+c）=ab+ac． （3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序： ①先乘方、开方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
0.1 ．
有理数集合：{
¼} ；
无理数集合：{
¼} ；
正实数集合：{
¼} ；
整数集合：{
¼} ．
【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的
数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于 0 的所有实数，由此即可求解． 【解答】解：根据定义知：有理数有： 3 512 ，3.1415926， -0.456 ，0， 5 ， (-7)2 ；
A．同旁内角互补 B． 81 的平方根是 ±9 C．平方根等于它本身的数是 1 和 0
D． a2 + 1 一定是正数 【分析】根据同旁内角的性质，平方根的定义，算术平方根的意义逐一分析判断即可． 【解答】解： A 、两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意； B 、 81 = 9 ，9 的平方根是 ±3 ，即 81 的平方根是 ±3 ，故此选项不符合题意； C 、平方根等于它本身的数是 0，1 的平方根是 ±1 ，故此选项不符合题意； D 、Q a2 + 1 > 0 ，
的立方根是 ±5 ．④
5 是一个分数．⑤ 1 是一个无理数．其中正确的有 ( ) 个．
2
p
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据平方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案．
【解答】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意；
② 81 的平方根是 ±3 ，故②符合题意； ③ -125 的立方根是 -5 ，故③不符合题意； ④ 5 是一个无理数，故④不符合题意；
2 ⑤ 1 是一个无理数，故⑤符合题意；
p 故选： A ．
题型二 实数的分类
解题技巧提炼 按定义分为有理数和无理数，按正负性质分正实数、0、负实数
1. （2024 春•阳谷县期中）在实数：3.14， 3 2 ， 2.1231223¼(1和 3 之间的 2 逐次加 1 个）， 8 ，4，
p ， 22 中，无理数有 ( ) 37
【解答】解： 5 的相反数是 - 5 ． 故选： C ．
ห้องสมุดไป่ตู้
C． - 5
D．5
3. （2024 春•历城区期末）实数 2 的相反数是 ( )
A． 2
B．2
C． - 2
D． 2 2
【分析】在实数 2 的前边加上“ - ”，求出实数 2 的相反数即可．
【解答】解：实数 2 的相反数是 - 2 ． 故选： C ．
解题技巧提炼 两数相加为 0，两数互为相反数
1. （2024 春•曲阜市期末）下列各组数中，互为相反数的组是 ( )
A． -2 与 (-2)2
B． -2 和 3 -8
C． - 1 与 2 2
D． | -2 | 和 2
【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．
【解答】解： A 、 -2 与 (-2)2 = 2 ，符合相反数的定义，故选项正确；
A．4
B． -4
C．2
D． -2
【分析】先根据立方根的定义求出 64 的立方根，然后再求其相反数即可．
【解答】解： 3 64 = 4 ，4 的相反数是 -4 ，
\ 3 64 的相反数是 -4 ，
故选： B ．
6. （2022 秋•市北区校级月考）如图，将 1、 2 、 3 、 6 按下列方式排列，若规定 (m, n) 表示第 m 排
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可．
【解答】解：①负数没有平方根，故①正确；
②一个正数一定有两个平方根，故②正确；
③平方根等于它本身的数是 0，故③错误；
④0 的立方根是 0，故④错误；
故选： C ．
5. （2024 春•安丘市月考）下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．② 81 的平方根是 ±3 ．③ -125
故选： D ．
2. （2024 春•河东区校级月考）下列说法中，不正确的有 ( )
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数； ③ a2 的算术平方根一定是 a ； ④算术平方根不可能是负数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】如果 x2 = a(a…0) ，则 x 是 a 的平方根．若 a > 0 ，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫 a 的算
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形
式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可．
【解答】解：3.14 是有限小数，是有理数； 3 2 是无限不循环小数，是无理数； 2.1231223¼(1和 3 之间的 2 逐次加 1 个），是无限不循环小数，是无理数；
4. （2024•兰山区校级模拟）实数 2023 的相反数是 ( )
A． -2023
B． - 1 2023
C． 1 2023
【分析】根据相反数的意义即可解答．
【解答】解：实数 2023 的相反数是 -2023 ，
故选： A ．
D．2023
5. （2024•鄄城县一模） 3 64 的相反数是 ( )
从左向右数第 n 个数，则 (20,9) 表示的数的相反数是 ．
【分析】从题中数据的排列规律得到第 n 排有 n 个数，再计算出前面 19 排数据的个数，而数据的排列为 4 个一循环，从而确定 (20,9) 所表示的数为 3 ，即可求出答案． 【解答】解：从题中数据的排列规律得到第 n 排有 n 个数，数据的排列为 4 个一循环， Q19 排共有数字的个数为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ¼ + 19 = 19 ´ (1 + 19) = 190 ，
\ a2 +1 > 0 ，
即 a2 + 1 一定是正数，故此选项符合题意；
故选： D ．
4. （2024 春•宁津县校级期中）以下四个说法：①负数没有平方根；②一个正数一定有两个平方根；③平
方根等于它本身的数是 0 和 1；④一个数的立方根不是正数就是负数．其中正确的说法有 ( )
A．0 个
B 、 -2 与 3 -8 = -2 不互为相反数，故选项错误； C 、 - 1 与 2 不互为相反数，故选项错误；
2 D 、 | -2 |= 2 ，2 与 2 不互为相反数，故选项错误．
故选： A ．
2. （2024•岚山区一模） 5 的相反数是 ( )
A． 5
B． -5
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
3 ， 9 ， p ，3.14， - 3 27 ，0， -5.12345¼， - 3 ． 5
（1）有理数集合：{
¼} ；
（2）无理数集合：{
¼} ；
（3）正实数集合：{
¼} ．
【分析】（1）根据有理数的意义，即可解答；
（2）根据无理数的意义，即可解答；
（3）根据正实数的意义，即可解答． 【解答】解：（1）有理数集合：{3 ， 9 ，3.14， - 3 27 ， 0¼} ；
4.6 实数
知识点一 实数
◆概念：有理数与无理数统称为实数．
◆分类：
实数按定义分类：
ì
ì整数ü 有限小数或
实数
ï有理数 í
íî分数 ýþ 无限循环小数
ïî无理数 无限不循环小数
按正负分类：
ì
ì正有理数
ï正实数 ï
íî正无理数
实数 ïí0
ï ï负实数 ïî
ì负有理数 í î负无理数
知识点二 实数比较大小
【解答】解：若 a = 1， b = -1 ， a > b ，而 1 > 1 ，则 A 不符合题意； ab
64 = 8 ，其平方根为 ± 8 = ±2 2 ，则 B 不符合题意；
无限不循环小数是无理数，则 C 不符合题意；
若 a < 0 ， -1 < b < 0 ，那么 ab > 0 ， ab2 < 0 ，故 ab > ab2 ，则 D 符合题意；
5
（2）无理数集合：{p ， -5.12345¼， - 3¼} ；
（3）正实数集合：{3 ， 9 ， p ， 3.14¼} ； 5
故答案为：（1） 3 ， 9 ，3.14， - 3 27 ，0； 5
（2） p ， -5.12345¼， - 3 ； （3） 3 ， 9 ， p ，3.14．
5
题型三 实数的相反数
3
7
3
整数集合：{
¼} ；
负分数集合：{
¼} ；
正有理数集合：{ 无理数集合：{
¼} ； ¼} ．
【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可．
【解答】解：整数集合：②③．
负分数集合：⑤⑦．
正有理数集合：③⑥．
无理数集合：①④．
故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④．
4. （2024 春•沂水县校级月考）把下列各数分别填入相应的集合中．
题型一 辨析题
解题技巧提炼 要熟练掌握实数的定义
1. （2024 春•滨城区期末）下列说法正确的是 ( )
A．若 a > b ，则 1 < 1 ab
C．无限小数都是无理数
B． 64 的平方根是 ±8 D．若 a < 0 ， -1 < b < 0 ，则 ab > ab2
【分析】利用实数的相关概念及平方根的定义逐项判断即可．