2019年上海市春季高考数学试卷-含答案详解

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绝密★启用前
2019年上海市春季高考数学试卷
副标题
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列函数中，值域为[0,+∞)的是( ) A. y =2x
B. y =x 1
2
C. y =tanx
D. y =cosx
2. 已知a 、b ∈R ，则“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
3. 已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直
线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )
A. 两两垂直
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
4. 以(a 1,0)，
(a 2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于(0,y 1)，(0,y 2)，且满足lny 1+lny 2=0，则动点(1
a 1,1
a 2
)的轨迹是( )
A. 直线的一部分
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
5. 已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={3,5,6}，则A ∩B = ．
6. 计算lim
n→∞2n 2−3n+1
n 2−4n+1
=______．
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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7. 不等式|x +1|<5的解集为 ． 8. 函数f(x)=x 2(x >0)的反函数为______．
9. 设i 为虚数单位，3z −
−i =6+5i ，则|z|的值为 ． 10. 已知{
2x +2y =−1
4x +a 2y =a
，当方程有无穷多解时，a 的值为______．
11. 在(x +1
√x )6的展开式中，常数项等于 ．
12. 在△ABC 中，AC =3，3sinA =2sinB ，且cosC =1
4，则AB = ． 13. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者
活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种(结果用数值表示)
14. 如图，已知正方形OABC ，其中OA =a(a >1)，函数y =3x 2交BC 于点P ，函
数y =x −1
2交AB 于点Q ，当|AQ|+|CP|最小时，则a 的值为 ．
15. 在椭圆x 24+y 2
2=1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则F 1P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为______．
16. 已知集合A =[t,t +1]∪[t +4,t +9]，0∉A ，存在正数λ，使得对任意a ∈A ，都有λ
a
∈A ，则t 的值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图，在正三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =2,AB =BC =AC =√3． (1)若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角的余弦； (2)求P −ABC 的体积．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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18. (本小题12.0分)
已知数列{a n }，a 1=3，前n 项和为S n ． (1)若{a n }为等差数列，且a 4=15，求S n ；
(2)若{a n }为等比数列，且lim n→+∞
S n <12，求公比q 的取值范围． 19. (本小题12.0分)
改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，如表为2012年−2015年我国卫生总费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比．
年份
卫生总费用(亿元)
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
绝对数(亿元)
占卫生总费用比重(%) 绝对数(亿
元) 占卫生总
费用比重(%) 绝对数(亿元) 占卫生总
费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
(数据来源于国家统计年鉴)
(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
(2)设t =1表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数f(t)=
357876.6053
1+e 6.4420−0.1136t
研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年
份．
20. (本小题12.0分)
已知抛物线方程y 2=4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线
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的交点，定义：d(P)=|PF|
|FQ|． (1)当P(−1,−8
3
)时，求d(P)；
(2)证明：存在常数a ，使得2d(P)=|PF|+a ；
(3)P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|=|P 2P 3|，判断d(P 1)+d(P 3)与2d(P 2)的关系．
21. (本小题12.0分)
已知等差数列{a n }的公差d ∈(0,π]，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}．
(1)若a 1=0,d =2π
3
，求集合S ；
(2)若a 1=π
2，求d 使得集合S 恰好有两个元素；
(3)若集合S 恰好有三个元素：b n+T =b n ，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查函数的值域，属于基础题． 分别求出各选项的值域，即可求解． 【解答】
解：A ，y =2x 的值域为(0,+∞)，故A 错；
B ，y =√x 的定义域为[0,+∞)，值域也是[0,+∞)，故B 正确；
C ，y =tanx 的值域为(−∞,+∞)，故C 错；
D ，y =cosx 的值域为[−1,1]，故D 错． 故选：B ．
2.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】
解：∵a 2>b 2等价于|a|2>|b|2，得“|a|>|b|”，反之也成立， ∴“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的充要条件， 故选：C ．
3.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查空间中直线与直线、平面与平面的关系，属于基础题． 利用直线与直线、平面与平面的关系，画图判定即可． 【解答】
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；
故选B ．
4.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题．
根据圆上的点到圆心的距离公式可y 12=1−2a 1，y 22
=1−2a 2，根据对数的运算性质
即可得到y 1y 2=1，可得1a 1+1a 2
=2，设{x =1
a
1
y =
1a 2
，则x +y =2，即可求出点的轨迹． 【解答】
解：设圆心为(a 1,0)，(a 2,0)的半径分别为r 1，r 2，
因为r 1=|1−a 1|=√a 12+y 12，则y 12=1−2a 1>0，a 1<1
2， 同理可得y 22
=1−2a 2>0，a 2<1
2，
又因为lny 1+lny 2=0， 所以y 1y 2=1，
则(1−2a 1)(1−2a 2)=1， 即2a 1a 2=a 1+a 2，
则1a 1+1a 2=2，1a 1>2或1
a 1<0， 设{x =1
a
1
y =1a
2
，则
x +y =2， 故点(1a 1,1
a 2)的轨迹是y =2−x(x <0或x >2)为直线的一部分，
故选：A ．
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5.【答案】{3,5}
【解析】 【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题． 利用交集定义直接求解． 【解答】
解：∵集合A ={1,2,3,4,5}， B ={3,5,6}， ∴A ∩B ={3,5}． 故答案为：{3,5}．
6.【答案】2
【解析】解：lim n→∞
2n 2−3n+1
n 2−4n+1
=lim
n→∞2−3n +1
n
2
1−4n +1
n 2
=2．
故答案为：2． 对
2n 2−3n+1
n 2−4n+1
的分子、分母同除以n 2，再求极限即可．
本题考查极限的求法，属于基础题．
7.【答案】(−6,4)
【解析】 【分析】
本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题． 根据绝对值不等式的解法可解得答案． 【解答】
解：由|x +1|<5得−5<x +1<5，即−6<x <4， 故答案为：{x|−6<x <4}．
8.【答案】f −1(x)=√x(x >0)
【解析】解：由f(x)=y =x 2(x >0)解得x =√y ，
∴f −1(x)=√x(x >0)
故答案为f −1 (x)=√x(x >0)
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由y =x 2(x >0)解得x =√y(y >0)，再交换x 与y 的位置即得反函数． 本题考查了反函数，属基础题．
9.【答案】2√2
【解析】 【分析】
本题考查复数的运算，考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形求得z −
再由|z|=|z −
|，结合复数模的计算公式求解． 【解答】
解：由3z −
−i =6+5i ， 得3z −
=6+6i ，即z −
=2+2i ， ∴|z|=|z −|=√22+22=2√2． 故答案为：2√2．
10.【答案】−2
【解析】解：由题意，{2x +2y =−1,①
4x +a 2y =a,②
∵方程有无穷多解，
∴可对①×2，得：4x +4y =−2． 再与②式比较，可得：a =−2． 故答案为：−2．
本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属于基础题．
11.【答案】15
【解析】 【分析】
本题考查二项展开式的通项，二项式展开式的特定项问题，属于基础题． 利用二项展开式的通项求出第r +1项，令x 的指数为0可得常数项． 【解答】
解：(x √
x )6展开式的通项为T r+1=C 6r x 6−r x −r 2=C 6r x 6−3r
2， 令6−3r
2
=0得r =4，
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故展开式的常数项为第5项：C 64
=15．
故答案为：15．
12.【答案】√10
【解析】 【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的转化和计算能力，属于基础题． 利用正弦定理可得BC =2，利用余弦定理即可得出结论． 【解答】
解：∵3sinA =2sinB ，
∴由正弦定理可得：3BC =2AC ， ∴由AC =3，可得：BC =2， ∵cosC =14
， ∴由余弦定理可得：1
4
=
32+22−AB 2
2×3×2
，
∴解得：AB =√10． 故答案为：√10．
13.【答案】24
【解析】 【分析】
根据分步计数原理即可求出．
本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题． 【解答】
解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有4×3×2×1=24种， 故答案为24．
14.【答案】√3
【解析】 【分析】
本题考查幂函数的性质，基本不等式的应用．
由已知可得P ，Q 坐标，进而可得|AQ|+|CP|=√a
3+√1
a
，由基本不等式可得答案．
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【解答】
解：由题意得：P 点坐标为(√a 3
,a)，Q 点坐标为(a,√1a
)，
|AQ|+|CP|=√a 3+√1a ≥2√√3
， 当且仅当a =√3时，取最小值， 故答案为：√3．
15.【答案】[π−arccos 13,π]或[arccos (−1
3),π]
【解析】 【分析】
本题考查椭圆的标准方程，平面向量的夹角与数量积，属于中档题．
设P(x,y)，则Q(x,−y)，结合F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，x 2
4+y 2
2
=1可得：y 2∈[1,2]，进而可得F 1P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ满足：cosθ=F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2Q
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|F 1
P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2
Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
的范围，最后得到答案． 【解答】
解：设P(x,y)，则Q(x,−y)，
椭圆x 2
4
+y 2
2
=1的焦点坐标为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，
∵F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1， ∴x 2−2+y 2≤1， 结合x 2
4
+y 2
2
=1
可得：y 2∈[1,2]
故F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ满足：
cosθ=F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2Q
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=22
√(x 2+2+y 2)−8x 2
=2−3y 2y 2+2=−3+8
y 2
+2∈[−1,−1
3
]
故θ∈[π−arccos 1
3,π]或[arccos (−1
3),π] 故答案为：[π−arccos 1
3
,π]或[arccos (−1
3),π] 16.【答案】1或−3
【解析】 【分析】
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力．
由题意，可分t >0，t +1<0<t +4，t +9<0进行分类讨论即可． 【解答】
解：当t >0时，当a ∈[t,t +1]时，则λa
∈[t +4,t +9]， 当a ∈[t +4,t +9]时，则λ
a
∈[t,t +1]，
即当a =t 时，λa
≤t +9；当a =t +9时，λa
≥t ，即λ=t(t +9)；
当a =t +1时，λ
a ≥t +4，当a =t +4时，λ
a ≤t +1，即λ=(t +1)(t +4)，
∴t(t +9)=(t +1)(t +4)，解得t =1．
当t +1<0<t +4时，当a ∈[t,t +1]时，则λ
a
∈[t,t +1]． 当a ∈[t +4,t +9]，则λ
a
∈[t +4,t +9]，
即当a =t 时，λ
a ≤t +1，当a =t +1时，λ
a
≥t ，即λ=t(t +1)，
即当a =t +4时，λ
a ≤t +9，当a =t +9时，λ
a ≥t +4，即λ=(t +4)(t +9)，
∴t(t +1)=(t +4)(t +9)，解得t =−3． 当t +9<0时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或−3． 故答案为：1或−3．
17.
【答案】解：(1)∵M ，N 分别为PB ，BC 的中点，∴MN//PC ， 则∠PCA 为AC 与MN 所成角，
在△PAC 中，由PA =PC =2，AC =√3，
可得cos∠PCA =PC 2+AC 2−PA 2
2PC⋅AC
=
32×2×√3
=
√3
4
，
∴AC 与MN 的夹角的余弦为√34
；
(2)过P 作底面垂线，垂足为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则AN =3
2，AO =2
3AN =1，
∴PO =√22−12=√3，
∴V P−ABC =1
3×1
2×√3×3
2×√3=3
4．
【解析】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法．
(1)由已知可得MN//PC ，则∠PCA 为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案； (2)求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．
18.【答案】解：(1)设公差为d
∵a 4=a 1+3d =3+3d =15，∴d =4， ∴S n =3n +
n(n−1)
2
×4=2n 2+n ；
(2)设公比为q ，
当q =1时，S n =3n ，显然不满足lim n→∞S n <12，故q ≠1， ∴S n =
3(1−q n )
1−q
，∵lim n→+∞
S n 存在，∴−1<q <1，且q ≠0，
∴lim n→+∞S n =lim
n→+∞3(1−q n )1−q
=3
1−q ，
∴
31−q
<12，∴q <3
4，∴−1<q <0或0<q <3
4
，
∴公比q 的取值范围为(−1,0)∪(0,3
4
).
【解析】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)求出公差即可求S n ；
(2)当q =1时，显然不合题意，由lim n→+∞
S n 存在得−1<q <1且q ≠0，由lim n→+∞S n <12得q <34
，取交集可得公比q 的取值范围．
19.【答案】解：(1)由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增
多．
(2)∵y =e 6.4420−0.1136t 是减函数，且y =e 6.4420−0.1136t >0， ∴f(t)=357876.6053
1+e 6.4420−0.1136t 在N 上单调递增， 令
357876.60531+e 6.4420−0.1136t
=120000，解得t ≈50.68，
∴当t ≥51时，我国卫生总费用超过12万亿，
∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿． 【解析】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂． (1)根据表格数据得出结论；
(2)根据函数性质得出单调性，继而求出t 的范围，从而得出答案．
20.【答案】解：(1)抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，P(−1,−8
3)，
k PF =
83
2
=4
3
，直线PF 的方程为y =4
3(x −1)，代入抛物线的方程， {y =43(x −1)y 2=4x
，解得x Q =14
，
抛物线的准线方程为x =−1，可得|PF|=√22+649
=103
，
|QF|=14+1=54，d(P)=|PF||QF|=8
3；
(2)证明：当P(−1,0)时，a =2d(P)−|PF|=2×2−2=2，
设P(−1,y P )，根据对称性，取y P >0，直线PF 的方程：x =my +1，则my P =−2， 联立x =my +1和y 2=4x ，可得y 2−4my −4=0， y Q =
4m+√16m 2+16
2
=2m +2√1+m 2，
2d(P)−|PF|=2y P
y Q −√1+m 2y P
=2m(2m +2√1+m 2)
2√1+m 2
m
=−2⋅
√1+m 2−m
m
+
2√1+m 2
m
=2，
则存在常数a =2，使得2d(P)=|PF|+a ， 由对称性知，y P <0时也成立；
(3)|P 1P 2|=|P 2P 3|，可知P 2为P 1,P 3中点， 设P 1(−1,y 1)，P 2(−1,y 2)，P 3(−1,y 3)，则
2[d(P 1)+d(P 3)]−4d(P 2) =|P 1F|+|P 3F|−2|P 2F|
=√4+y 12+√4+y 32−2√4+y 2
2 =√4+
y 1
2+√4+
y 3
2−2√(y 1+y 32
)2+4
=√4+y 12+√4+y 32
−√(y 1+y 3)2+16， 由(√4+y 12+√4+y 32)2−[(y 1+y 3)2+16] =2√4+y 12√4+y 32−2(y 1y 3+4)， 又(4+y 12)(4+y 32)−(y 1y 3+4)2
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
=4(y 12+y 32
)−8y 1y 3
=4(y 1−y 3)2>0， 则d(P 1)+d(P 3)>2d(P 2).
【解析】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查化简运算能力，属于难题．
(1)求得抛物线的焦点，求得直线PF 的斜率和方程，解得Q 的横坐标，可得所求值； (2)当P(−1,0)，可得a =2，设P(−1,y P )，根据对称性设y P >0，直线PF 的方程：x =my +1，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2d(P)−|PF|，化简整理即可得证； (3)设P 1(−1,y 1)，P 2(−1,y 2)，P 3(−1,y 3)，计算2[d(P 1)+d(P 3)]−4d(P 2)，结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．
21.【答案】解：(1)∵等差数列{a n }的公差d ∈(0,π]，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合
S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}． ∴当a 1=0,d =2π
3，
集合S ={−
√3
2
,0,
√3
2
}.
(2)∵a 1=π
2，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列{a n }的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d =π，
②a 1终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使a 2，a 3的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时d =2π
3，
综上，d =2
3
π或者d =π．
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
(3)①当T =1时，b n+1=b n ，数列{b n }为常数列，S 仅有1个元素，显然不符合条件； ②当T =2时，b n+2=b n ，，数列{b n }的周期为2，S 中有2个元素，显然不符合条件； ③当T =3时，b n+3=b n ，集合S ={b 1,b 2,b 3}，(1)情况满足，符合题意． ④当T =4时，b n+4=b n ，sin(a n +4d)=sina n ，a n +4d =a n +2kπ，k ∈Z ， 或者a n +4d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ，
当a 1=−π
2,d =π
2时，集合S ={−1,0,1}，符合条件．
⑤当T =5时，b n+5=b n ，sin(a n +5d)=sina n ，a n +5d =a n +2kπ，k ∈Z ，或者a n +5d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ，因为d ∈(0,π]， 取a 1=π
10，d =2π
5，集合S ={sin π
10,1,−sin 3π
10
}满足题意．
⑥当T =6时，b n+6=b n ，sin(a n +6d)=sina n ，
所以a n +6d =a n +2kπ，k ∈Z ，或者a n +6d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ，d ∈(0,π]，取a 1=0，d =π
3，S ={−√32,0,√32
}，满足题意．
⑦当T =7时，b n+7=b n ，sin(a n +7d)=sina n ，所以a n +7d =a n +2kπ，k ∈Z ，或者a n +7d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ， d ∈(0,π]，
故取d =2kπ
7
，k =1，2，3，
当k =1时，如果b 1～b 7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在1≤n <m ≤7，有a m −a n =2π，(m −n)d =2π， d =2π
m−n =2π7，m −n =7，m >7，不符合条件．
当k=2时，如果b1～b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在
1≤n<m≤7，有a m−a n=2π，d=2π
m−n =4π
7
，m−n不是整数，不符合条件．
当k=3时，如果b1～b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在
1≤n<m≤7，有a m−a n=2π或者4π，d=2π
m−n =6π
7
，或者d=4π
m−n
=6π
7
，此时，m−n
均不是整数，不符合题意．
综上，T=3，4，5，6．
【解析】本题考查等差数列的相关知识、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．
(1)根据等差数列及三角函数周期性求解；
(2)由集合S的元素个数，结合题意进而可求得答案；
(3)分别令T=1，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T的可能取值．。