北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案【精编】

北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数
学试卷
一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.
1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（ ）
A.
36
4 B. 222+ C. 62 D.132+
2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ ） A. 9 B. 3
C. －3
D. －6
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若bc ac <，则b a <
B. 若2
2
a b <，则b a < C. 若0,<>c b a ，则bc ac < D. 若b a <
，则b a >
4. 若不等式022
>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（ ） A. 3,1==b a B. 3,1=-=b a C. 3,1-=-=b a
D. 3,1-==b a
5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为 （ ）
A. 1
4
B. 34 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（ ） A. ),2(+∞- B. )2,(--∞
C. ),1(+∞
D. )1,(-∞
7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航
行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o
方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B
处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o
方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（ ）
A. 10海里
B. 20海里 海里 海里
8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.
给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .
10. 已知1x >，函数4
1
y x x =
+-的最小值是 . 11. 111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=
-+ .
12.变量,x y 满足约束条件1y x x y x a ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值
是 .
13. 把形如n
M m =*
(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成2
93135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成3
64413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3
M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________. 14.给出下列命题：
①b
a b a 11,0<<<则若； ②已知0,0a b >>
，则2a b ab
a b +≥≥+； ③2
2,0b ab a b a >><<则若； ④lg9lg111⋅<；
⑤11
,a b a b
>>若，则0,0a b ><；
⑥正数,x y 满足11
1x y
+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号
是 .
三、解答题：本大题共6小题，共50分.
15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S . 16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且
105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.
17. （本小题满分8分）已知函数21
()(1)(1)2
f x a x a x =-+--
（1）若5
4
a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；
（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目
的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？
19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为2
2,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，
且11,a b =()2211b a a b -=.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n
n
n b a c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *
∈在函数()22f x x =--的图象上，数
列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；
（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列
1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
是否为等差数列，并说明理由.
【试题答案】
1. A
2. D
3. C
4. B
5. B
6. A
7. C
8. D
9. 99 10. 5 11.
21n
n + 12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤
15. 4q =-，3(1(4))
10n
n S =--- 16. 2=b ，2
3
1+=S .
17.（1）{|21}x x -<<
（2）当1a =时，显然()0f x <成立，
当1a <时，由1
a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤
18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。

则由题意得下列不等式组
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+0
081.04.050y x y x y x 投资者获得的利润设为z ，则有y x z 4.08.0+= 当40,10==y x 时，获得最大利润，最大利润为24万元
19. （1）24-=n a n ，1
)
41(2-=n n b
（2）1
4)12(--=n n n c ，565499
n n n S -=+
. 20. 解：（1）依题意得22n a n =--，故14a =-.
又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，
所以，当2n ≥时，113()4n n n n n b T T S S --=-=-+3462n a n =+=--. 又111134348b T S a ==+=+=-，也适合上式， 故62n b n =--(*)n ∈N .
（2）因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+(*)n ∈N ，
1n n d d c +=21n d =+，因此112(1)n n d d ++=+(*)n ∈N . 由于113d c ==，
所以{1}n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列. 故1
1142
2n n n d -++=⨯=，所以121n n d +=-.
所以2
3
1
(222
)n n D n +=+++-24(21)2421
n n n n +-=-=---.
（3）方法1：111
(
)(2)2(2)2(2)2
n n n n d g g g g --+==+ 则11(
)(2)212n n n n d g g d ++=+＝1112(2)2(2)2n n n g g --++＝4a ＋1
(2)2n n
g -＝111
()241n n d g a d --+++
所以1(
)21n n d g d ++－111
()21n n d g d --++＝4
a
因为已知a 为常数，则数列1()21n n d g d +⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
是等差数列.
方法2：
因为121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =， 故
111
(
)(2)2(2)2(2)2
n n n n d g g g g --+==+
1222(2)2[2(2)2(2)]n n n g g g ---=++12222(2)2(2)n n g g --=⨯+ 123322(2)2[2(2)2(2)]n n n g g g ---=⨯++133
32(2)2(2)n n g g --=⨯+ 11(1)2(2)2(2)n n n g g --==-⨯+112(2)2n n n g an --=⋅=⋅， 所以
1()
21
n n d g d ++11224n n an a n -+⋅==. 因此，数列1()21n n d g d +⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
是等差数列.。