人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题(解析版)

人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值是（）
A．B．C．D．
2．比例尺为1：800的学校地图上，某条路的长度约为5cm，它的实际长度约为（）A．400 cm B．40m C．200 cm D．20 m
3．下列说法正确的是（）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC
D．以上说法都不对
4．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（）
A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC
5．下列图形中，形状一定相同的两个图形是（）
A．两个直角三角形B．两个正三角形
C．两个矩形D．两个梯形
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元
7．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝
9．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）
A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
二．填空题（共8小题）
11．已知＝，则的值为．
12．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线m、n，射线m与直线l3、l6分别相交于B、C，射线n与直线l3、l6分别相交于点D、E．若BD＝1，则CE的长为．
13．已知5a ＝2b ，则a ：b ＝ ．
14．如图，线段AE 、BD 交于点C ，如果AC ＝9，CE ＝4，BC ＝CD ＝6，DE ＝3，那么AB ＝ ．
15．如图，△ABC 中，EF ∥BC ，S △AEF ：S 四边形BEFC ＝1：2，则EF ：BC ＝ ．
16．如图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，在边AB 上取点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则满足条件的AP 长 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1.5，0），D （4.5，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若DE ＝7.5，则AB ＝ ．
18．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF 的斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．测得DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．
三．解答题（共8小题）
19．已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
20．如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC 和BD的比例中项，求线段CD的长．
21．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
22．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．
23．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，求CH的长．
24．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
（1）在图中画出△DEF；
（2）点E是否在直线OA上？为什么？
（3）△OAB与△DEF位似图形（填“是”或“不是”）
25．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是BC边上一动点（不与B，C重合），DE⊥AP 于E．
（1）试说明△ADE∽△PAB；
（2）若PA＝x，DE＝y，请写出y与x之间的函数关系式．
2019年春人教版九年级下册数学《第27章相似》单元
测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值是（）
A．B．C．D．
【分析】依据，可设a＝13k，b＝5k，代入分式计算化简即可．
【解答】解：∵，
∴可设a＝13k，b＝5k，
∴＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利用设k法．
2．比例尺为1：800的学校地图上，某条路的长度约为5cm，它的实际长度约为（）A．400 cm B．40m C．200 cm D．20 m
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设实际长度为xcm，则：
＝，
解得：x＝4000cm＝40m．
则它的实际长度为40m．
故选：B．
【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．
3．下列说法正确的是（）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC
D．以上说法都不对
【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．
【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；
B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC；
故选：B．
【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
4．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（）
A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
5．下列图形中，形状一定相同的两个图形是（）
A．两个直角三角形B．两个正三角形
C．两个矩形D．两个梯形
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个正三角形，对应角都是60°，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项
正确；
C、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选
项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了相似图形的定义，注意从对应角与对应边两方面考虑．
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【解答】解：3m×2m＝6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴S
△ABC ：S
△A'B'C
'＝22：32＝4：9．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．8．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）
A．1：2B．1：3C．2：1D．3：1
【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵点E是AB的中点，
∴
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于
基础题型．
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
∴由勾股定理求得DE＝40cm，
∴＝
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5米，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
二．填空题（共8小题）
11．已知＝，则的值为．
【分析】依据＝，即可得到﹣1＝，进而得出的值．
【解答】解：∵＝，
∴﹣1＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
12．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线m、n，射线m与直线l3、l6分别相交于B、C，射线n与直线l3、l6分别相交于点D、E．若BD＝1，则CE的长为．
【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABD∽△ACE，推出比例式求得结果．
【解答】解：∵l3∥l6，
∴BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝＝，
∵BD＝1，
∴CE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键．
13．已知5a＝2b，则a：b＝2：5．
【分析】依据比例的性质进行变形即可．
【解答】解：∵5a＝2b，
∴a：b＝2：5．
故答案为：2：5．
【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．如图，线段AE 、BD 交于点C ，如果AC ＝9，CE ＝4，BC ＝CD ＝6，DE ＝3，那么AB ＝ ．
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵AC ＝9，CE ＝4，BC ＝CD ＝6，
∴，
∵∠ACB ＝∠DCE ，
∴△ACB ∽△DCE ，
∴，
∴DE ＝，
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
15．如图，△ABC 中，EF ∥BC ，S △AEF ：S 四边形BEFC ＝1：2，则EF ：BC ＝ ．
【分析】由题意可得S △AEF ：S △ABC ＝1：3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求EF ：BC 的比值．
【解答】解：∵S △AEF ：S 四边形BEFC ＝1：2，
∴S △AEF ：S △ABC ＝1：3，
∵EF ∥CB
∴△AEF ∽△ABC
∴＝
∴
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的面积与边长之间的关系，能够掌握并求解一些简单的计算问题．
16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长 2.8或1或6．
【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长．
【解答】解：分两种情况：
①如果△PAD∽△PBC，
则PA：PB＝AD：BC＝2：3，
又PA+PB＝AB＝7，
∴AP＝7×2÷5＝2.8；
②如果△PAD∽△CBP，
则PA：BC＝AD：BP，
即PA•PB＝2×3＝6，
又∵PA+PB＝AB＝7，
∴PA、PB是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两根，
解得x1＝1，x2＝6，
∴AP＝1或6．
综上，可知AP＝2.8或1或6．
故答案为2.8或1或6．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝ 2.5．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k得到位似比为，然后根据相似的性质计算AB的长．
【解答】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），
∴＝＝，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴＝＝
∴AB＝DE＝×7.5＝2.5．
故答案为2.5．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为11.5米．
【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA，
则＝，即＝，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），
即旗杆的高度为11.5米；
故答案为：11.5．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．三．解答题（共8小题）
19．已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
【分析】设＝k，进而解答即可．
【解答】解：设＝k，
可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k，
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入2x+3y﹣z＝18中，
可得：4k+9k﹣4k＝18，
解得：k＝2，
所以x＝4，y＝6，z＝8，
把x＝4，y＝6，z＝8代入4x+y﹣3z＝16+6﹣24＝﹣2．
【点评】此题考查比例的性质，关键是设＝k得出k的值．
20．如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC 和BD的比例中项，求线段CD的长．
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝7，AC＝1，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣CD，
∵线段CD是线段AC和BD的比例中项，
∴CD2＝AC•BD，
即CD2＝1×（6﹣CD），
解得：CD＝2．
【点评】本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键．21．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
22．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．
【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．
【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴AB：CE＝BF：AC，
∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．
23．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，求CH的长．
【分析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可；
【解答】解：∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴＝，
∵BC＝3，AC＝3CD，
∴CH＝1．
【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能求出△ABC∽△DHC是解此题的关键．
24．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
（1）在图中画出△DEF；
（2）点E是否在直线OA上？为什么？
（3）△OAB与△DEF是位似图形（填“是”或“不是”）
【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；
（2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；
（3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．
【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；
（2）点E在直线OA上，
理由：设直线OA的解析式为：y＝kx，
将A（3，2）代入得：2＝3k，
解得：k＝，故直线OA的解析式为：y＝x，
当x＝6时，y＝×6＝4，
故点E在直线OA上；
（3））△OAB与△DEF是位似图形．
故答案为：是．
【点评】此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义是解题关键．
25．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是BC边上一动点（不与B，C重合），DE⊥AP 于E．
（1）试说明△ADE∽△PAB；
（2）若PA＝x，DE＝y，请写出y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）根据正方形的性质以及DE⊥AP即可判定△ADE∽△PAB．
（2）根据相似三角形的性质即可列出y与x之间的关系式，需要注意的是x的范围．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠EAD+∠BAP＝90°，
∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠EAD＝∠APB，
又∵DE⊥AP，∠AED＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△PAB．
（2）由（1）知△PAB∽△ADE，
∴，
∴
∴y＝（4＜x＜4）．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试题（含答案）
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
图1
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图2，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形BCED 的面积的比为( )
图2
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶1
3．如图3所示，P是△ABC的边AC上的一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )
图3
A.AB
AP
＝
AC
AB
B.
AC
AB
＝
BC
BP
C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
4．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图4所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )
图4
A.AD
DB
＝
DE
BC
B.
BF
BC
＝
EF
AD
C.AE
EC
＝
BF
FC
D.
EF
AB
＝
DE
BC
6．如图5所示，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有( )
图5
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图6，如果扇形OAB与扇形O1A1B1相似，且半径OA∶O1A1＝k(k为不等于0的常数)，连接AB，A1B1.那么
下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③AB
A1B1
＝k；④扇形OAB与扇形O1A1B1
的面积之比为k2.其中正确的有( )
图6
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
9．若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，则较大三角形的周长为________cm.
10．如图7，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则
AC∶BD＝________．
图7
11．如图8所示，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时点O与竹竿的距离DO＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________ m.
图8
12．将三角形纸片(△ABC)按图9所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF 的长是__________．
图9
三、解答题(本大题共4小题，共47分)
13．(11分)如图10，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
图10
14．(12分)如图11所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
图11
15．(12分)如图12所示，BE是锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径，CD是△ABC的高．
(1)求证：AC·BC＝BE·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O的直径BE.
图12
16．(12分)如图13所示，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从点A出发，沿AB边以每秒4 cm的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA边以每秒3 cm的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
图13
答案
1．C2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．[答案] 60 60 9．25
10．[答案] 4∶3 11．[答案] 9 12．[答案] 12
7
或2
13．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示．
(2)△A 2B 2C 2如图所示，点A 2的坐标为(－1，－4)．
14．解：(1)当CD 2
＝AC ·DB 时，△ACP ∽△PDB . ∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°， ∴∠ACP ＝∠PDB ＝120°.
若CD 2
＝AC ·DB ，则由PC ＝PD ＝CD 可得PC ·PD ＝AC ·DB ，即PC BD ＝AC PD
. 又∵∠ACP ＝∠PDB ， ∴△ACP ∽△PDB .
(2)当△ACP ∽△PDB 时，∠APC ＝∠PBD .由题意可知∠PDC ＝60°， ∴∠BPD ＋∠PBD ＝60°， ∴∠APC ＋∠BPD ＝60°，
∴∠APB ＝∠CPD ＋∠APC ＋∠BPD ＝120°，即∠APB 的度数为120°. 15．解：(1)证明：连接CE .
由BE 为⊙O 的直径知∠ECB ＝90°. ∵∠A ＝∠E ，∠ADC ＝∠ECB ＝90°， ∴△ADC ∽△ECB ， ∴AC BE ＝CD BC
， ∴AC ·BC ＝BE ·CD .
(2)由勾股定理，知AC ＝AD 2
＋CD 2
＝10，BC ＝BD 2
＋CD 2
＝3 5. 又∵AC ·BC ＝BE ·CD ，
∴3 5×10＝6BE ，解得BE ＝5 5. 16．解：(1)∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，
∴AP AB ＝AQ AC ，即4x 20＝30－3x 30
， 解得x ＝103
.
即当x ＝10
3
时，PQ ∥BC .
(2)能相似．∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ， ∴△APQ 和△CQB 相似可能有以下两种情况： ①若△APQ ∽△CQB ，则AP CQ ＝
AQ
CB
，
即4x 3x ＝30－3x 20，解得x ＝109
. 经检验，x ＝10
9是上述方程的解且符合题意．
∴当AP ＝40
9 cm 时，△APQ ∽△CQB ；
②若△APQ ∽△CBQ ，则AP CB ＝
AQ
CQ
，
即4x 20＝30－3x 3x
，解得x ＝5或x ＝－10. 经检验，x ＝5是上述方程的解且符合题意x ＝－10不合题意，舍去． ∴当AP ＝20 cm 时，△APQ ∽△CBQ .
综上所述，当AP 的长为40
9
cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．
人教版九年级下数学第二十七章《相似》单元练习题（含答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AD＝3ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）
A．B．C．D．
3．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）
A．60mm B．mm C．20mm D．mm
4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？
（）
A．12 B．11.52 C．13 D．8
5．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则PA的长为（）A．2﹣2 B．6﹣2√5 C．D．4﹣2
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（）
A．B．C．D．
7．如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为（）
A．6 B．C．D．
8．在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（）A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BC
B．如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC
9．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
10．如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（）
A．（3，﹣2）B．（6，﹣4）C．（4，﹣6）D．（6，4）
11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m
12．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，O C的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题
13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．
14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．
16．若＝，则＝．
17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S
，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF
1
＝，S1：S2：S3＝．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．
19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE ＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．
三．解答题
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE•CD＝AD•CE；
（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．
21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．
（1）求证：DE⊥EF；
（2）求证：BC2＝2DF•BF．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求
的值．
23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．
（1）求AD的长；
（2）求矩形EFGH的面积．
24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．
25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果＝，求证：AB＝BD．
参考答案一．选择题
1．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，
∴＝，
故A、B、D选项正确，C选项错误，
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AD＝3ED，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴＝＝，
故选：A．
3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故选：A．
4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠EDF＝∠BAC＝90°，
如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B＝∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠EMC，
∴∠B＝∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠EDF＝90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∴四边形AGDH为正方形，
当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
如图2，
点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图2，
点D在BC上，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠F＝∠C，
∵EF∥BC．
∴∠F＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝8﹣GA，
S
＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，
矩形AGDH
当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．
5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．
故选：A．
6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
设DE＝k，BC＝2k，
∴BF＝2k﹣k，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝（）2＝＝﹣1，
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，
∴△PBQ∽△COQ，
∴＝（）2＝，
∴OC＝3PB，
∵OC＝8，
∴PB＝，
∵＝＝，BO＝8，
∴OQ＝×8＝6，
故选：B．
8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；
B、∵AD2＝BD•CD，
∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2＝BD•BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符
合题意；
故选：D．
9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC＝x，
∴AB+AC＝8﹣x，
∴y＝8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），
故选：A．
10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点C的坐标为（6，﹣4），
故选：B．
11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1：8000＝25：x，
解得：x＝200000，
∵200000cm＝2000m，
∴该路段实际长度约为2000m．
故选：D．
12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴＝，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
13．【解答】解：∵∠A是公共角，
如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ABC；
如果＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，
故答案为：．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD＝2，CF＝DE，
∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CF＝1，
∴EC的长＝＝＝，故答案为：．
16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，
所以＝＝4．
故答案是：4．
17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，
∴DE：AD＝4：9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∴S1：S2：S3＝16：81：36，
故答案为：4：9，16：81：36．
18．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，
∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，
∵EM：BC＝2：5，
∴＝＝，
设AM＝2x，则AC＝5x，故MC＝3x，
∴＝＝，
故答案为：．
19．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，
∴AD＝3，
∵AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠EAF，
∵∠ADE＝∠C，
∴△ADF∽△ACG；
∴＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
20．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝90°．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCE．
又∵∠AED＝∠DEC＝90°，
∴△AED∽△DEC，。