数字信号处理课件--第六章7常用模拟低通滤波器特性.

课件
28
4）滤波器的系统函数：
Ha(s) N K
(s sk )
k 1
K

c N
2N 1
其中：
sk

c
a
sin


2N
(2k
1)

jcb
cos


2N
(2k
1)
k 1,2,..., N
课件
29
5）滤波器的设计步骤:
确定技术指标： p 1 s 2
c ：截止频率，不一定为3dB带宽 N：滤波器的阶数 CN (x) ：N阶Chebyshev多项式
课件
23
cos(N cos1 x) x 1 等波纹幅度特性
CN (x)
ch( Nch 1x)
x 1
单调增加
课件
24
1）幅度函数特点：
Ha ( j)
1
1

2CN2

k2 (cb)2
1
课件
27
1
1
2
1
a

1 2


1 N

1 N

b

1 2


1 N

1 N

k

c
a
sin


2N
(2k
1)
k

cb
cos


2N
(2k
1)
sk k jk k 1, 2,..., 2N
1

c

0 Ha ( j) 2 1
c Ha ( j) 2 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
当



（阻带截止频率）时，衰减
st

2
为阻带
c：通带截止频率，给定 ：表征通带内波纹大小
1

20 lg
Ha ( j) max Ha ( j) min
20lg
1 2
2 100.11 1 由通带衰减决定
N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
N

ch1
1

100.12 1
ch1

s6

2.716s5

3.691s4

3.179s3
1.825s 2

0.121s

0.1209
课件
14
4）将 Ha (s)展成部分分式形式:
Ha (s)

N k 1
s
Ak sk
变换成Butterworth数字滤波器：
H (z)

N TAk k1 1 eskT z 1

率低于 0.2 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。 在频率 0.3 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。
分别用冲激响应不变法和双线性变换法。
1、用冲激响应不变法设计
1）由数字滤波器的技术指标：
p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB
2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s
N lg ksp / lg sp 5.884 取N 6
c p
100.11
1
1 2N
0.7032
rad / s
用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真
课件
13
b) 求出极点（左半平面）
s e j
1 2

22kN1
k
c
k 1,2,...,6
其中极点由下式求出：
1
1
2
1
k 1
a

1 2


1 N

1 N

b

1 2



1 N

1 N

sk

ca
sin


2N
(2k
1)

jcb
cos


2N
(2k
1)
或者由N和1 ，直接查表得 Han (s)
去归一化
课件
18
b) 求出极点（左半平面）
s e j
1 2

22kN1
k
c
k 1,2,...,6
c) 构造系统函数
Ha (s) 6 6c
(s sk )
k 1
课件
19
课件
20
4）将 Ha (s)变换成Butterworth数字滤波器：
H (z)

Ha (s)
s 2 T
令
sp
s p
ksp
100.11 1 100.12 1
课件
则：N lg ksp
lg sp 10
求出归一化系统函数： Han (s) N 1
其中极点：
(s sk )
k 1
s e j
1 2

22kN1
k
c
k 1,2,..., N
p p /T 0.2 rad / s 1 1dB
s s /T 0.3 rad / s 2 15dB
课件
12
3）设计Butterworth模拟低通滤波器
a）确定参数
sp s / p 1.5
100.11 1 ksp 100.12 1 0.092
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 将Ha (s)Ha (s) 因式分解，得到各零极点 对比Ha ( j)和 Ha (s)，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
课件
3
例：已知幅度平方函数：
Ha(
j)
2

16(25 (49 2 )(36
2 )2 2
由 1 20lg Ha ( jp )
得：1


p c
2N

100.11
2N
同理：1

s c

100.12
Ha(
j p )
2

1

1 p c
2N



p s
N

100.11 1 100.12 1
c

0 – N为奇数 Ha ( j0) 1
– N为偶数 Ha ( j0) 1/ 1 2
c Ha ( j) 1/ 1 2
c 通带内：在1和 1/ 1 2 间等波纹起伏
c 通带外：迅速单调下降趋向0
课件
25
2）Chebyshev滤波器的三个参量：
归一化：
p

p p
1
s

s p
根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：
N

ch 1 (k11 )
ch
1 s
其中：k11
100.12 1 100.11 1
2 100.11 1
课件
30
求出归一化系统函数： Han (s)
1
N
2N1 (s sk )
1
0.2871 0.4466z1 0.1297z1 0.6949z2

1
2.1428 1.0691z

1
1.1454 z 1 0.3699z
2

1

1.8558 0.9972
0.6304z1 z1 0.2570
z
2
课件
15
课件
16
2、用双线性变换法设计
1）由数字滤波器的技术指标：

1

1 c
2N
N为滤波器的阶数
c 为通带截止频率 当 Ha ( jc ) 2 1/ 2时
1 20lg
Ha ( j0) Ha ( jc )
3dB
称 c为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
课件
5
1）幅度函数特点：
Ha ( j) 2
1
2N
Ha (s)

H课a件n
s p

k 1,2,..., N
31
例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波
器，要求在频率低于 0.2 rad的通带内幅度特性 下降小于1dB。在频率 0.3 到 之间的阻带内，
或者由N，直接查表得 Han (s)
去归一化
Ha
(s)

H an

s c

其中技术指标 c 给出或由下式求出：
c
p
100.11
1
1 2N
阻带指标有富裕
或
c s
100.1 2
1
1 2N
课件
通带指标有富裕
11
例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频
1 1
z z
1 1

1 (11.268z1
0.7051z 2
)

1 (11.010z1
0.358 z 2
)

(1

0.9044
z
1
1

0.2155
z
2
)
课件
21
3、Chebyshev低通逼近
课件
22
幅度平方函数：
Ha(
j)
2

1

1 2CN2
( c
)
0 1 ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大
最小衰减
课件
6
2）幅度平方特性的极点分布：
H
a
(
j)
2 s
/
j

Ha(s)Ha(s)
1
1
s jc
2N
Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
sk
1
(1)2N
jc
ej

1 2

22kN1
c
k 1,2,...,2N
八、常用模拟低通滤波器特性
将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术 指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器
模拟滤波器
– 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 – 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 – 椭圆 Ellipse 滤波器 – 贝塞尔 Bessel 滤波器
课件
1
1、由幅度平方函数 Ha ( j) 2确定模拟滤波 器的系统函数 Ha (s)
p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB
2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：
选T 1s
p

2 tg p
T2
0.65
rad
/s
1 1dB
s

2 tg s
T2
1.019
rad / s
2 15dB
课件
17
3）设计Butterworth模拟低通滤波器
a）确定参数
sp s / p 1.568 ksp
100.11 100.1 2
1 1

0.092
N lg ksp / lg sp 5.306 取N 6
c
s
100.1 2
1
1 2N
0.7662
rad / s
用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题
Ha
(
j)
2

Ha(
j)H
* a
(
j)
h(t)是实函数
Ha ( j)Ha ( j)
Ha (s)Ha (s) s j
将左半平面的的极点归 Ha (s)
将以虚轴为对称轴的对称
零点的任一半作为Ha (s) 的零点，虚轴上的零点一
半归 Ha (s)
课件
2
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法

s c

课件
s 为阻带截止频率
阻带衰减越大 所需阶数越高
26
3）幅度平方特性的极点分布：
H
a
(
j)
2 s
/
j

Ha (s)H a (s)

1
1


2CN2


s jc

sk k jk k 1, 2,..., 2N

ห้องสมุดไป่ตู้2 k
(ca)2

课件
7
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点
• 极点间的角度间隔为 / N rad
• 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
课件
8
3）滤波器的系统函数：
Ha (s) N cN
(s sk )
k 1
s e j
)
，求系统函数H
a
(s)
解：Ha (s)Ha (s)

Ha
(
j)
2 2
s2

16(25 s2 )2 (49 s2 )(36 s2 )
极点：s 7, s 6 零点： s j5（二阶）
Ha (s) 的极点：s 7, s 6 零点： s j5
设增益常数为K0
1 2

22kN1
k
c
k 1,2,..., N
c cr 1 rad / s 为归一化系统的系统函数 Han (s)
去归一化，得
Ha (s) Han (s)
课件
s cr s c

H
an

cr s c

9
4）滤波器的设计步骤：
确定技术指标：p 1 s 2 根据技术指标求出滤波器阶数N：
c) 构造系统函数 或者
Ha (s) 6 6c
(s sk )
k 1
b’) 由N = 6，直接查表得
Han (s)

1
3.8637s

7.4641s2

1 9.1416s3

7.4641s4

3.8637s5

s6
c’) 去归一化
s
0.1209
Ha (s)

H an

c

Ha
(s)

K0(s2 (s 7)(s
25) 6)
由Ha (s) s0 Ha ( j) 0，得K0 4
4(s2 25)
4s2 100
Ha (s)

(s

7)(s

6课) 件
s2
13s

42
4
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数：
Ha(
j)
2