第一章梅涅劳斯定理及应有答

第一章梅涅劳斯定理及应有习题A
1．延长CB，FE交于H，ADB
△与截线GEH，有
13
1
22
AG DH BE DH
GD HB EA HB
⋅⋅=⋅⋅=，有
4
3
DH
HB
=，
即
7
4
CH
HD
=．对ACD
△及截线FGH，
72
1
41
AF CH DG AF
FC HD GA FC
⋅⋅=⋅⋅=，求得
2
7
AF
FC
=．
2．设CB，DE的延长线交于P，又BP BC
=，
3
2
FP
PB
=，对AFB
△与截线HEP，CGE，
有
31
1
21
AH FP BE AH
GF PB EA HF
⋅⋅=⋅⋅=，即
2
3
AH
HF
=；
11
1
21
AG FC BE AG
GF CB EA GF
⋅⋅=⋅⋅=，即
2
1
AG
GF
=．由
此求得645
AH HG GF=
∶∶∶∶．
3．对BDP
△于截线CEA，有
123
1
612
BC DA PE BC
CD AP EA CD
⋅⋅=⋅⋅=，知BD DC
=．对CDP
△与截
线BFA，有
22
1
11
CB DA PF PF
BD AP FC FC
⋅⋅=⋅⋅=，知
1
4
PF
FC
=．而20
CF=，故15
CP=．
在PBC
△中，由中线长公
式2
PD=，
得7
BC=，
即BD．
又222222
697)
B P P D B D
+=+=，即90
BPD
∠=︒，27
PBD
S=
△
，
4108
ABC PBD
S S
==
△△
．
4．直线OCB分别与DMF
△和AEM
△的三边延长线都相交，有1
DB MO FC
MB FO DC
⋅⋅=，1
AB EO MC
EB MO AC
⋅⋅=，即
O F O E D B F C E B A C
O M O M M B D C A B M C
⋅⋅
⋅=⋅
⋅⋅
．由E F A D
∥，有
D B A B
M B E B
=，FC MC
DC AC
=，从而
2
1
O F O E
OM
⋅
=，即22
OF OE OM OP
⋅==，有O F P O P E
△∽△，故O P F O E P
∠=∠．
5．直线截ABC
△，有
22
1
33
CF AD BE BE
FA DB EC EC
⋅⋅=⋅⋅=，即
9
4
BE
EC
=，故
5
4
BC
CE
=．直线截DBE
△，有
25
1
54
EF AD BC EF
FD AB CE ED
⋅⋅=⋅⋅=，所以21
EF FD=
∶∶．
6．设AC BC x
==
，则AB=，。

A E=，由AEC
△
求得CE=．直线AKD截CEB
△，有1
CK EA BD
KE AB DC
⋅⋅=，即
3
2
CK
KE
=
，CK．直线EKC截ABD
△，有
1
AE BC DK
EB
KA
⋅⋅=，可得
4
5
AK AD
=，
1
5
KD AD
=．又AD==，AK=，KD=，即22
1
5
AK KD x CK
⋅==，而90
ACD
∠=︒，故CE AD
⊥．
7．直线ASY截BMC
△，有
11
1
32
BS MA CY BS
SM AC YB SM
⋅⋅=⋅⋅=，即6
BS
SM
=，亦即
6
7
BS
BM
=．直线ARY截BNC
△，有
21
1
32
BR NA CY BR
RN AC YB RN
⋅⋅=⋅⋅=，即3
BR
RN
=，亦即
3
4
BR
BN
=．
又
9
14
BSR
BMN
S BS BR
S BM BN
⋅
==
⋅
△
△
，故
5
14
SRNM
BMN
S
S
=
△
．而
1
3
BMN
ABC
S MN
S AB
==
△
△
，故
5
42
SRNM
ABC
S
S
=
△
．
8．显然，若EF AC
∥时，有GH AC
∥．设EH，BD，FG三直线共点于P，设EF，AC 相交于Q．由直线EHP截ABC
△，直线P G F截DBC
△，直线FQE截CBA
△，有1
AE BP DH
EB PD HA
⋅⋅=，1
DP BF CG
PB FC GD
⋅⋅=，1
CF BE AQ
FB EA QC
⋅⋅=．三式相乘，得1
AQ CG DH
QC GD HA
⋅⋅=．对
ACD △应用梅涅劳斯定理只逆，知Q ，G ，H 共线，由此知EF ，AC ，HG 共点于Q ．
9．由XAB XCA ∠=∠，X ∠公用，知AXB CXA △∽△，有
2
()AXB CXA S BX AB XC S AC
==△△．同理，2()CY BC YA BA =，2()AZ CA ZB CB =．故222
()()()1BX CY AZ AB BC CA XC YA ZB AC BA CB ⋅⋅=⋅⋅=．由梅涅劳斯定理之逆，知X ，Y ，Z 三点共线．
10．设D ，E ，F 分别是ABC △的A ∠，B ∠的内角平分线和C ∠的外角平分线与边BC ，
CA ，AB 或延长线的交点，则由内分和外分性质有1BD CE AF AB BC CA
DC EA FB CA AB BC
⋅⋅=⋅⋅=．由梅
涅劳斯定理之逆，知D ，E ，F 共线．
11．设X t 与A t ，B t ，AB 分别交于U ，V ，W ，由切线长定理知AU UX =，BV VX =．由
题设A Y B Z ∥，有
A Z Y
B Z X B X =，BW BV VX BX
WA AU XU XY
===，从而对AXB △又1AZ XY BW YB XY BX ZX YB WA BX YB XY ⋅⋅=⋅⋅=．由梅涅劳斯定理之逆，知X ，Y ，W 共线，即YX ，X t ，AB 共点．
12．设AH 与CE 交于Q ，CE 与GH 交于K ，AQ AE GP QH KH KH ==，且GD HC HK
AG EP KP
==，即GD HK
AD HP
=
．在AHG △中，1AQ HP GD GP HP HK QH PG DA KH PG HP ⋅⋅⋅⋅⋅=．由梅涅劳斯定理之逆，知Q ，P ，D 共线，即AH ，CE ，DP 三线共点．
13．延长CK 交AB 于d ，只需证AD AC =．对1ABB △及支线CD ，应用梅涅劳斯定理，有111A K
AD BC BD A C AK
⋅⋅=． 又由2KA AC ∥，有1122A K A A AK CA =，而1
2BC AC =，故12
2
2A A BD AD CA =， 即1221211212222A A CA A A A C A A A B AD BD AD CA CA CA ++++===，也就是2
2
BA AB AD CA =．（*）由2AA 平分BAC ∠，有2
2
AB BA AC CA
=，由此式及*式，知AC AD =，故2AA KC ⊥． 14．由梅涅劳斯定理，有1AC BL OK CB LO KA ⋅⋅=，①1AE BL OM EB LO MA ⋅⋅=，②1AD BN OM
DB NO M A
⋅⋅=，③
1AF BN OK FB NO KA ⋅⋅=．④由①÷②，③÷④，得1AC OK EB MA
CB KA AE OM ⋅⋅⋅=， 1AD OM FB DA DB MA AF OK ⋅⋅⋅=．此两式相乘，并注意由AC DB =，有AD CB =，即有1EB FB
AE AF
⋅=，亦即EB AF AE FB =，亦即AE AB AB BF AB AB AE BF AE BF
++=⇒=
，故AE BF =． 15．直线HEM 截ABD △，应用梅涅劳斯定理，有1AE BM DH
EB MD HA
⋅⋅=．由切线长相等，有
AE HA =，EB BF =，CF CG =，DH DG =．
于是，1BM DG CF BM DH CF BM DH AE BM DH
MD GC FB MD CF BE MD EB EB MD HA
⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=．由梅涅劳斯定理之
逆，知M ，F ，G 三点共线．
16．由
sin sin sin sin sin sin AS BQ CR PS AP APS PQ BP QPB CP PR CPR SB QC RA PB PS BPS PQ PC QPC AP PR APR
⋅⋅∠⋅⋅∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∠⋅⋅∠⋅⋅∠ sin sin sin sin(90)sin sin(180)
sin sin sin sin sin(90)sin APS QBP CPR QPS QPB BPS BPS QPC APR BPS QPS APR
∠∠∠︒+∠∠︒-∠⋅⋅=⋅⋅=∠∠∠∠︒+∠∠
sin sin(90)
1sin sin(90)
QPB RPQ APB RPQ ∠︒-∠==∠︒-∠，应用梅内劳斯定理之逆，知Q ，R ，S 三点共线．
17．设AO 交BC 于点G ，设AB c =，BC a =，CA b =．不妨设b c <，由AO 平分A ∠，有BG AB GC AC =，即BG AB BC AB AC =
+，即ac BG b c =+．由切线长定理有2
a c b
BF +-=， 222
a c
b a
c b
FM BF BM +--=-===
，()22()ac a a c b MG BG BM b c b c -=-=-=++．注意到GO BG
OA AB
=
，则21()2()AN FM GO FM GO FM GO FM BG ac a c b b c NF MG OA MG OA MG OA MG AB b c c
⋅⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=-++，由梅涅劳斯定理之逆，知M ，O ，N 三点共线．
18．设EH 与BD 相交时，交点为P ．对ABD △及截线EHP 应用梅涅劳斯定理，有1AE BP DH EB PD HA
⋅⋅= 令BAC BDC θ∠=∠=，DBC CAD β∠=∠=，ABD DCA γ∠=∠=，ADB α∠=，有A E D H
E B H A
⋅=
tan tan tan tan γβθα⋅，tan tan tan tan CF βγGC αθ=⋅，则tan tan 1tan tan CF BP DG βγBP AE DH BP
FB PD GC αθPD EP HA PD ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=，
由梅涅劳斯定之逆，知E ，G ，P 三点共线，即EH ，BD ，FG 三四按共点．
若EH BD ∥，则假设FG 与BD 相交，由上面证明，知EH 与BD 相交于同一点，矛盾，故FG BD ∥．
19．设DA 与CB 相交于P ，HF 交BD 于M ，EG 交BD 于M '．直线HMF 截PBD △，应
用梅内劳斯定理，有1P H D M B F H D M B P F ⋅⋅=，从而B M P H B F B F
D M P F H D H D
=⋅=
．同理，BM BE BF BM
DM DG HD DM '===
'．于是M 与M '重合，即BD 过EG ，HF 的交点． AC 和BD 位置时对称的（相对于HF 和EG 而言），因而AC 亦过EG ，HF 的交点，即AC ，BD ，EG ，HF 四线共点． 习题B
1．设ME ，FN 分别与BD 交于K ，K '，分别对DAB △于截线KEM ，对BCD △于截线
K EM '，由梅涅劳斯定理，有
1DE AM BK EA MB KD ⋅⋅=，1DN CF KB NC FB K D '⋅⋅='．又DE CF
EA FB
=，AM DN MB NC =，故BK BK KD K D '='，由合比定理得BD BD
KD K D =
'，从而KD KD '=，K 与K '重合，即ME ，FN ，BD 共点．
2．设AC OB ⊥于C ，BD OA ⊥于D ，PK OB ⊥于K ，PK 交CD 于S ，QS 交OA 于T ，下面证明QT OA ⊥，从而S 是OPQ △的垂心H ．对DCD △于截线PSK ，由梅涅劳斯定理，
得1DS CK OP SC KO PD ⋅⋅=，但CK AP KO PO =，故DS PD
SC PA
=
．又PD MB BQ PA AM QC ==，所以DS BQ SC QC =，从而QS BD ∥，即QT BD ∥，也即QT OA ⊥，S 与H 重合，因此由线段AB 任一点所得到的OPQ △的垂心H 都在线段CD 上．反之，由不在线段AB 上的任一点所得到的OPQ △的垂心都不在CD 上．故点H 的轨迹为线段为CD ．
3．由题设3
(3)BD DC CE EA AF FB n ===-∶∶∶∶，对ADC △及截线BPE 应用梅涅劳斯定理，有3313AP DB CE AP PD BC EA PD n n ⋅⋅=⋅⋅=-，因此(3)
9
AP n n PD -=
，(3)(3)9AP n n AD n n -=-+，于是 (3)3(3)
(3)93(3)9
ABC n n n S ABP S ABD S n n n --=⋅=⋅-+-+△△△．同理，可得BCQ S △，CAR S △，
因而9(3)(3)9A B P B C Q
C A R A B C
n S S S S n n -++=⋅-+△△△△．由题意得9(3)
45
(3)949
n n n -=-+，即25641920n n -+=，注意6n >，求得8n =．
4．取BC 中点M ，连AM 交BD 于G ．对BCD △及截线AEF 应用梅涅劳斯定理，有1BF AC ED FC AD BE ⋅⋅=，而2B E A C E D D C =，所以2BF AD FC DC =，即2B C A D D C F C D C
+
=
（*）同理对ACM △及截线DGB ，有1A D B C G M D C B M A G ⋅⋅=及12BM BC =，得2AG GM DC =，即22A G A D
A M A D D C
=
+．注意12AM BC =，有2AG AD BC AD DC =+，由此式及（*）式有AG AD
FC DC
=
，又MAC ACM ∠=∠，故AGD CFD △∽△，因此ADB FDC ∠=∠． 5．由11EG AD ∥，知111A F G B A D ∠=∠．
由22EG AD ∥知222AG F CAD ∠=∠，而12BAD CAD ∠=，则1122AFG AG F ∠=∠．又22G AF ∠公用，知1122F AG G AF △∽
△，有1212AF AF AG AG ⋅=⋅． 对ABC △及截线1EG ，对ABC △及截线2EG 分别应用梅涅劳斯定理，有
11
111CG AF BE EC G A F B ⋅⋅=，22221CG AF BE EC G A F B ⋅⋅=．此两式相乘，21212212121CG CG AF AF BE CE BF BF AG AG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，即212
212
1CG CG BE CE BF BF ⋅⋅=⋅，亦即2
12212
BF BF BE CE CG CG ⋅=⋅．（注①点E 为直线BC 上除C 点以外任意一点结论都成立；②1AD 和2AD 为BAC ∠的外角平分线时，结论仍成立．
） 6．（Ⅰ）设PR 交BD 于点U ，QS 交BD 于点V ，对BDE △与直线PUR 应用梅涅劳斯定理，
有
1BP ER DU
PE RD UB ⋅⋅=．又由于P ，Q ，R 为切点，PE ER =，BP BQ =，故D U P E R D R D R D
U B B P E R B P B Q
=⋅==． 对DBF △与直线QVS ，应用梅涅劳斯定理，得BV BQ VD RD =．从而BV BU
VD UD
=
，因此U ，V 重合，故PR ，QS ，BD 三线共点．
再证PR ，QS ，AC 三线共点．设PR 交AC 于X ，QS 交AC 于Y ，对ACE △与直线PXR
应用梅涅劳斯定理，有1AP ER CX
PE RC XA
⋅⋅=．又由于P ，Q ，R 为切点，PE ER =，AP AS =，
RC QC =，故CX PE XA AP =，RC RC QC
ER AP AS
==
．对ACF △与直线QYS 应用梅涅劳斯定理，得CY QC
YA AS
=
． 因此CX CY XA YA
=
，故X ，Y 重合，即PR ，QS ，AC 共点，即证． （Ⅱ）将（Ⅰ）中A ，B ，C ，D ，E ，F ，P ，Q ，R ，S 分别重新标作A ，E ，C ，F ，B ，D ，P ，R ，Q ，S ，使用（Ⅰ）的证明即可．
（Ⅲ）将（Ⅰ）A ，B ，C ，D ，E ，F ，P ，Q ，R ，S 分别重新标作F ，B ，E ，D ，C ，A ，Q ，P ，R ，S ，重新使用（Ⅰ）的证明即可．
7．由已知条件知E ，P ，B ，Q 四点共圆，有BQP BEP ∠=∠．①在Rt AEB △中，由AE BE ⊥，
EP AB ⊥，有B E P P A E ∠=∠．②由①，②得BAC BQP ∠=∠．③ 延长QQ '交直线BA 于1O ，PP '交直线BC 于2O ，由1O ，P ，Q ，2Q 四点共圆，有12BQP BO O ∠=∠，④ ③④有
12BAC BO O ∠=∠，则12O O AC ∥，故1122BO O A BO O C =∶∶．⑤
在ABD △及截线1E Q O '和
BCD △及截线2EPO 中分别应用梅涅劳斯定理，有
111BO AQ DE Q D EB O A '⋅⋅='，2
21BO CP DE P D EB O C
'⋅⋅='．又由⑤式，有AQ Q D CP P D ''''=∶∶，故QP A C ''∥．
同理，R S AC ''∥．从而R S P S BD ''∥∥．同理，R S P Q AC ''∥∥．
注：若AB BC ⊥时，由EP BC ''∥，有DP DE DC DB '=．又EQ AB '∥，有DE DQ DB DA
'
=
，由此得Q P AC '∥．同理，R S AC ''∥，故R Q P S BD ''''∥∥．
8．设
1AD s DB s =-，(01,01)1AE t
s t EC t
=<<<<-．
对CDA △及直线BPE 应用梅涅劳斯定理，有1CP DB AE
PD BA EC
⋅⋅=，即
1(1)CP t PD t s -=-． 对BEA △及直线CPB 应用梅涅劳斯定理，有1BP EC AD
PE CA DB
⋅⋅=，即
1(1)BP s PE s t -=-． 而111
sin sin (1)sin 222
BCED ABC ADE S S S AB AC A AD AE A st AB AC A =-=⋅⋅-⋅⋅=-⋅⋅⋅=△△
(1)1ABC st S st -⋅=-△，11(1)(1)
(1)(1)(1)11PBC BDC ABC t t s t S S s S t t s st st
----=⋅=⋅-⋅=-+---△△△，由
题
设2BCED PBC S S =△，得(1)(1)
121s t st st
---=⋅-，从而2(1)2(1)(1)2[1()]st s t s t st -=--=-++．
①
又(1)(1)11
(1).(1)(1)22
PDE PBC PBC BCED t s s t S S st S st S st st s t ⋅-⋅⋅--⋅=⋅=⋅=---△△△ ②
本题即在条件①下求②的最大值．
利用均值不等式s t +≥于①式，有
22(1)2[1()]2(1)2(1st s t st st ---++≤-=，
1∴-，由此得1)1)]0⋅≥．
0s < ，1t <10<，因此01<．当且仅当1s t =时，等号成立．
21111
(1)()2228
PDE S st st st =-=--+△．
当21)3st ==-PDE S △取得最大值，最大值是2111
(3)7228
--+=．
9．由直线AHF 截BOC △，有1BF CA OH
FC AO HB
⋅⋅=，求得2HD BH =．直线HIA 截EBD △，
有EBD △，有1E I D H B A
I D H B A E ⋅⋅
=，求得4EI ID =．117
15315
BEIH ABF AEI BFH S S S S =--=--=△△△．
10．（Ⅰ）设P 是AC ，BD 的中垂线交点即可；（Ⅱ）由4条平分线性质有 1AK BL CM DN PA PB PC PD
KB LC MD NA PB PC PD PA ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．
假设KN 与BD 交于D ，由直线QNK 解ABD △，有
1DN AK BQ NA KB QD ⋅⋅=，即1BL CM D Q
LC M D Q B
⋅⋅=．对BCD △应用梅涅劳斯之逆，知Q ，M ，L 共线，得KN 与LM 交于Q ，这显然不可能．故KN BD LM ∥∥，由此有PA AK AN PA
PB KB ND PD
===
，即PB PD =．同理PA PC =，即P 点轨迹是AC ，BD 中垂线的交点．
11．设直线AE 交BC 于M ，直线CE 交AB 于F ，直线DE 交AB 于G ．由直线GED 截
FBC △，直线AEM 截FBC △，有
1C E
F G B D E F G B
D C ⋅⋅=，1C
E FA BM E
F AB MC
⋅⋅=，有B M F G B D A B M C G B D C F A =⋅⋅．令B C a =，CA b =，AB c =，则A F b =，AG CD b
GB DB c ==，2c GB b c
=
+，2b FG GB FB b c ===+，故221BM b c c
MC c b b
=⋅⋅=． 12．对i =1，2，3，记i O 为i C ⊙的圆心，i T 为12i i A IA ++△的外心，显然i O 在i A ∠的内角平分线上．可证i T 也在i A ∠的内角平分线上．由直线123T T Q 截22IO O △，直线231T T Q 截23IO O △，
直线31T T Q 截31IO O △，有
1122
122131O T I T O Q L I T O T O Q ⋅⋅=，33122332211IT O Q O T O T IT O Q ⋅⋅=，33112
113321O T IT O Q O T IT O Q ⋅⋅=．三式相乘，有233112132132
1O Q O Q O Q O Q O Q O Q ⋅⋅=．对12
3OO O △应用梅内劳斯定理之逆，知1Q ，2Q ，3Q 共线．
由于12i i T T ++是i A I 的中垂线，而12i i O O ++是i B I 的中垂线，因此，1Q ，2Q ，3Q 恰好分别为11A B I △，22A B I △，33A B I △的外心．。