第二节无限源的排队系统

S={0,1,2,…}，则{N(t);t≥0}是个有限生灭过程，有
λn μn
= =
λ, μ
n = 0,1,2,...,k -1 n =1,2,...,k
ρ= λ, μ
pn
=
(
λ μ
)n
p0
,
n = 0,1,2,...,k
p0
=
1
k
ρn
n=0
=
1, k +1
1- ρ
1 - ρk+1
,
ρ=1 ρ 1
)
,
ρ=1 ρ 1
当ρ≠0时，W=Wq+1/μ
例一
例二
M/M/c/∞系统
平均等待队长
Lq
=
ρc (1 - ρc )2
pc
平均忙的服务台数
c
=
c -1
npn
n=0
+c
n=c
pn
=
λ μ
平均逗留的顾客数
L=
c + Lq
=
ρ+
ρc (1 - ρc )2
pc
平均等待时间
Wq
=
Lq λ
=
pc cμ(1 - ρc
λe
=
λ
-
λpk
=
kλ , k +1 λ(1 - ρk ) 1 - ρk+1
,
ρ=1 ρ 1
M/M/1/k系统 续三
W
=
L λe
=
1
k +1 , 2λ - kρk+1
,
μ - λ λ(1 - ρk )
ρ=1 ρ 1
Wq
=
Lq λe
=
ρ
μ - λ
k -1 , 2λ
-
kρk+1 λ(1 - ρk
利用平稳分布可以求统计平衡条件下的平均队长L、 平均等待队长Lq、顾客的平均等待时间Wq、平均逗 留时间W等
M/M/1/∞系统 续二
用N表示在统计平衡下系统的顾客数，平均队长L是
N的数学期望
L = E(N) = ρ 1- ρ
用Nq表示在统计平衡时，排队等待的顾客数，它的
数学期望Lq=E(Nq)就是在等待服务的平均顾客人数
Lq
=
E(Nq
)
=
ρ2 1- ρ
Wq
=
λ μ(μ -
λ)
W
= Wq
+
1 μ
=
1 μ-
λ
M/M/1/∞系统 续三
由以上公式，得到这四个指标之间的关系
Lq=L-(1-p0)
λW=L，λWq=Lq
第二个公式通常称为Little公式
上面两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾客时，
平均等待队长Lq应该是平均队长L减1，当系统内没有顾客时， 平均等待队长Lq与平均队长L相等，所以
-
p0
)
=
ρ
k(k -1) , 2(k +1) - ρ(1+ kρk ) ,
1 - ρ 1 - ρk+1
ρ=1 ρ 1
M/M/1/k系统 续二
pk是个重要的量，它称为损失概率，单位时间平均
损失顾客数为
λL
=
λpk
=
λ, k +1
λ(1
-
ρ) ρk
,
1 - ρk+1
ρ=1 ρ 1
单位时间内平均真正进入系统的顾客数为
用 N(t) 表 示 在 时 刻 t 顾 客 在 系 统 中 的 数 量 ， 则 系 统 {N(t);t≥0}组成生灭过程
M/M/1/∞系统 续一
由生灭过程求平稳解公式，得
pn
=
(
λ )n μ
p0
=
ρn p0
由假设ρ=λ/μ <0，则
p0 =
1
(
λ
n
)
=1-
ρ
n=0 μ
从而平稳分布为pn=(1-ρ)ρn，n≥0
pn
=
1, k +1
(1 - ρ)ρn
,
1 - ρk+1
ρ=1 ρ 1
n 0,1,2,...,k
M/M/1/k系统 续一
平均队长分两种情况：Leabharlann ρ=1时 ρ≠1时k
L= n
1
=k
n=0 k +1 2
L
=
k n=0
npn
=
1
ρ -ρ
-
(k +1)ρk+1 1 - ρk+1
平均等待队长
Lq
=
L
-
(1
)2
平均逗留时间
W
=
L λ
=
pc cμ(1 - ρc
)2
+
1 μ
例
排队系统费用优化决策
排队系统中涉及的有关费用往往可以分为两 类：顾客的等待损失费用以及与服务设施相 关的费用。排队系统的优化通常是为了使上 述两种费用的总和或者其中之一尽可能小。
例
Lq=L-[(1-p0)*1+p0*0]=L-(1-p0)
单位时间内平均进入系统的顾客为λ个，每个顾客在系统内
平均逗留W单位时间。因此系统内平均有λW个顾客。同样
理由，系统内平均有λWq个顾客在等待服务
例一
例二
M/M/1/k系统
用 N(t) 表 示 时 刻 t 系 统 中 的 顾 客 数 ， 系 统 的 状 态 集 合 为
第二节 无限源的排队系统
M/M/1/∞系统
M/M/1/k系统
M/M/c/∞系统
排队系统费用优化决策
M/M/1/∞系统
设顾客流是参数为λ的最简单流，λ是单位时间内平
均到达的顾客人数，即顾客到达的时间间隔相互独
立并且服从期望为1/λ的负指数分布。
只有一个服务台，服务一个顾客的服务时间v服从参
数为μ的负指数分布。平均服务时间为E(v)=1/μ，在 服务台忙时，单位时间平均服务完的顾客数为μ。 称ρ=λ/μ为服务强度。