人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试(共29张PPT)

所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.所以a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.
数学
规律总结
数或式比较大小的方法
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较, 往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形, 直观比较大小.
数学

跟踪训练 1:已知 a>0,b>0,且 a≠b,比较 + 与 a+b 的大小.








- -
解:因为( + )-(a+b)= -b+ -a=
2
2


2
2

=

2
所以(a-b) >0,a+b>0,ab>0,




所以( + )-(a+b)>0,即 + >a+b.

·
故 D 正确.故选 BD. 答案:(1)BD

=2 ,当且仅当 x=2 时,等号成立,

数学

(2)(2020·山东高二期末)已知正数 x,y 满足 x+y=1,则 + 的最小值等于

于
.








解析:(2)由 + =(x+y)( + )=1+4+ + ≥5+2

+


- (-) (+)
=(a -b )( - )=(a -b )



,因为 a>0,b>0,且 a≠b,
数学
题型二
不等式的性质及应用
[例2] (1)(多选题)(202X·连云港期中)若a>b>0,则(
2
(A)ac ≥bc
(C)

+
2
<
2
(B)a <ab<b
)
2


数学
题型五
一元二次不等式与基本不等式的实际应用
[例5] (202X·湖北武汉二中高一期中)某公司销售一批新型削笔器,该削笔
器本来每个售价15元,年销售18万个.
(1)据市场调查,若一个削笔器的售价每提高1元,年销售量将相应减少2 000
个,要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为多少元?







对于 B,当 x<0 时,x+ =-[-x+(- )]≤-2 -·(- )=-2,
当且仅当 x=-1 时,等号成立,故 B 正确;

对于 C,当 0<x<1 时, + ≥2


·
=2,当且仅当 x=1 时,等号成立,


所以当 0<x<1 时, + >2,故 C 错误;


对于 D,当 x≥2 时, + ≥2
则 0<k≤1.
综上可知 0≤k≤1.
答案:(2){k|0≤k≤1}
数学
规律总结
(1)一元二次不等式常与集合运算相结合.
(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键.
(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型,关键是等价转化
与合理分类.构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向.
解:(1)设每件零售价为x元,
由题意可得[18-0.2(x-15)]x≥15×18,
即x2-105x+15×90≤0,(x-15)(x-90)≤0,
所以15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为90元.
数学
(2)为了提高年销售量,公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革,并
2
因为-2<b<-1,所以 1<b <4.





因为 2<a<3,所以 < < ,所以 < <2.
答案:(2){t|-6<t<-2}
{s| <s<2}


,s= 的取值

数学
题型三Leabharlann 利用基本不等式求最值问题[例3] (1)(多选题)(202X·苏州相城区陆慕高级中学高二期中)已知a,b均


当 x>15 时,t≥
因为



+ 有解.

+ ≥2 =20,当且仅当



= ,即 x=30 时等号成立,

所以 t≥20,因此,该削笔器的年销售量 t 至少达到 20 万个时,才能使革新后的
年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时每个削笔器售价 30 元.
数学
n
数学
跟踪训练2:(1)(多选题)如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列选项中一定
成立的是(
)
(A)ab>ac
(B)c(b-a)>0
(C)cb2<ab2
(D)ac(a-c)<0
解析:(1)因为c<a,且ac<0,
所以c<0,a>0.
选项A成立,因为c<b,所以ac<ab,即ab>ac.
选项B成立,因为b<a,b-a<0,所以c(b-a)>0.
规律总结
本例主要考查一元二次不等式与基本不等式的实际应用,考查数学建模、
逻辑推理与数学运算的核心素养.第(1)问根据已知条件列出关于x的一
3

· =3,


; + 的最小值等

数学
题型四
一元二次不等式及其应用
[例4] (1) (202X·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},
则A∩B等于(
)
(A){-4,1}
(B){1,5}
(C){3,5}
(D){1,3}
解析:(1)由x2-3x-4<0解得-1<x<4,所以A={x|-1<x<4},又因为B={-4,1,
为正实数,且a+b=1,则(
2
2
(A)a +b 的最小值为



(B)ab+ 的最小值为 2

(C) + 的最大值为

(D) + 的最大值为 4

)
数学
2
2

2




解析:(1)对于 A,因为 a>0,b>0,a+b=1,所以 a +b ≥ (a+b) = ,当且仅当 a=b= 等号成立,



= ,故选项 C 正确;又 - =
<0,所以 < ,故选项 D 错误,故选 AC.
数学
(2)(多选题)已知 a,b,c,d 是实数,则下列一定正确的有(
2
2

(+)
(A)a +b ≥

)

(B)a+ ≥2


(C)若 > ,则 a<b
(D)若 a<b<0,c<d<0,则 ac>bd

2
提高售价到 x 元.公司计划投入 x 万元作为技改费用,投入 30 万元作为固定宣传

费用.试问:技术革新后,该削笔器的年销售量 t 至少达到多少万个时,才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和?并求此时每个削笔器售价.

2
解:(2)当 x>15 时,tx≥15×18+30+ x 有解,

·


=9,


当且仅当 = ,即


= ,


=
时取等号;

-







由 + =

+ = + -1=(x+y)( + )-1=1+1+ + -1≥1+2



当且仅当 = ,即

= ,


=

时取等号.
答案:(2)9
选项C不一定成立,当b=0时,cb2<ab2不成立.
选项D成立,因为c<a,所以a-c>0,所以ac(a-c)<0.故选ABD. 答案:(1)ABD
数学
(2)已知 2<a<3,-2<b<-1,则 t=ab 的取值范围是
范围是
.
解析:(2)因为-2<b<-1,所以 1<-b<2.
又因为 2<a<3,所以 2<-ab<6,所以-6<ab<-2.

故 A 正确;
+
对于 B,由已知得 0<ab≤

所以 ab+ =

+ (-)

=



= ,





+2≥4(- ) +2= ,故 B 错误;


对于 C,由( + ) ≤2(a+b)=2 得, + ≤ ,当且仅当 a=b= 等号成立,故 C 正确;

答案:(1)C
数学

(2)设 a<-1,则关于 x 的不等式 a(x-a)(x- )<0 的解集为
.





解析:(2)因为 a<-1,所以 a(x-a)·(x- )<0⇔(x-a)·(x- )>0.又 a<-1,所以



>a,所以 x> 或 x<a.


答案:(2){x|x<a 或 x> }
是(
)

(A)当 x>1 时,x+ 的最小值为 2


(B)当 x<0 时,x+ ≤-2


(C)当 0<x<1 时, + 的最小值为 2


(D)当 x≥2 时, + ≥2

数学




解析:(1)对于 A,当 x>1 时,x+ ≥2 · =2,当且仅当 x=1 时,等号成立,

所以当 x>1 时,x+ >2,故 A 错误;
(4)高次不等式、分式不等式要等价转化.
数学
跟踪训练4:(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1<x<2},则a+b的值为
(
)
(A)1
(B)-1
(C)0
(D)-2
< ,

解析:(1)易知 - = - + = ,⇒ = -,所以 a+b=0.故选 C.
=

= - ×

2
2
2
2
2
2
解析:(2)由于 2(a +b )-(a+b) =a +b -2ab=(a-b) ≥0,
2
2

2
所以 a +b ≥ (a+b) ,故 A 正确;

B 中,当 a=-1 时显然不成立,B 错误;

C 中,a=1,b=-1 显然有 > ,但 a>b,C 错误;

D 中,若 a<b<0,c<d<0,则-a>-b>0,-c>-d>0,则根据不等式的性质可知 ac>bd>0,
故 D 正确.故选 AD.
数学
规律总结
应用时容易出错的不等式的性质
(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.若a>b,c>d,则
a+c>b+d,若a>b,c<d,则a-c>b-d;但异向不等式不可以相加,同向不等
式不可以相减.
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)=(a-b)(a-c)(b-c).
因为a<b<c,所以a-b<0,a-c<0,b-c<0,
(D) >

2
2
2
2
2
解析:(1)因为 a>b>0,所以 ac -bc =(a-b)c ≥0,即 ac ≥bc ,故选项 A 正确;
又 a -ab=a(a-b)>0,所以 a >ab,故选项 B 错误;因为 a>b>0,所以 a+b>2 ,所
2

以
2
<

+
-
答案:(2)

+ = (6-2x+2x)(

+
-
]≥ (13+2 )= .
数学
规律总结
利用基本不等式求最值的方法
一般用 a+b≥2 (a>0,b>0)解“定积求和,和最小”问题,用 ab≤(
和求积,积最大”问题.
+

2
) 解“定
数学
跟踪训练 3:(1)(多选题)(2020·涟水县一中高一月考)下列命题中正确的
数学
章末总结
数学
网络构建·归纳整合
题型归纳·素养提升
数学
网络构建·归纳整合
数学
题型归纳·素养提升
题型一
数或式比较大小问题
[例1] 已知a<b<c,试比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小.
解:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)











对于 D,由已知得 + =( + )(a+b)=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b= 等号成立,故 + 的最小
值为 4,故 D 错误.故选 AC.
答案:(1)AC
数学
(2)(2020·苏州新草桥中学月考)函数 f(x)=


+ (0<x<3)中,当 x=