2019届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷(二)模拟测试数学(文)试题(解析版)

2021届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷〔二〕模拟
测试数学 〔文〕试题
、单项选择题
x 1 ,那么 AI e R B
应选：B .
此题考查了交集补集运算,属于简单题
1 i
2,复数z ——,那么复数z 在复平面内所对应的点在〔
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
S,故复数z 在复平面内所对应的点在第一象限
5
应选：A .
此题考查了复数的化简,复数对应象限,意在考查学生的计算水平
2
-y7 1 〔b>0〕上一点P 到右焦点的距离为 8,那么点P 到左焦点的距离 b
2
B. 2 或
4
C. 6或 4
D. 12 或
4
【解析】利用双曲线的定义,列出等量关系,即得解
化简得到
1 3i
5
B.
1,1
C.
1,1
D. 1,1
计算A 1 ,再计算交集得到答案
由题知,
%B x 1x1.
2
x 3.双曲线—— 4
【详解】
不妨记双曲线的两个焦点为
||PF i | |PF 2|| 2a 4 |PF i | 8 4
即点P 到左焦点的距离为12或4 应选:D 【点睛】
此题考查了双曲线的定义的应用,
考查了学生概念理解, 数学运算的水平,属于根底题
4.从0, 1, 2, 3这四个数字中任取三个不同的数字,那么所抽取的三个数字之和能被 整除的概率为〔 〕 A.
1
B.
1
C.
1
D.-
2
5
4 5
【答案】C
【解析】此题为古典概型,先求出从4个数字中任取三个不同数字的所有的不同方法数, 再计算抽取的三个数字之和能被 6整除的方法数,即得解.
【详解】
从4个数字中任取三个不同的数字,不同的方法有： C 43
4种,如果抽取的三个数字
、…、,- - ~
1 之和能被6整除,只有1,2, 3一种,所以概率是 一 4
应选：C 【点睛】
此题考查了古典概型的概率,考查了学生综合分析,数学运算的水平,属于根底题
.
【解析】 画出可行域,根据目标函数的几何意义得到答案
画出可行域,如图中阴影局部所示,
x x
z — y,即y — z, z 表不直线在y 轴的截距,
2 2 (x)
故当直线y — z 经过点0,1时,z 取得最大值,所以z 的最大值为1.
2
应选：B .
F I ,F 2,由双曲线的定义,
5,x, y 满足约束条件
A.
B. 1
x y 1 0,
x
x y 1 0,那么目标函数z — y 的最大值为〔
x 2y 2 0, 2
八
1 C. 2
D.-
3
【点睛】
此题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键
mx e n在点1,f 处的切线方程为ex,那么n的值为
6.假设曲线f X X
e 1
B. D.
A. ---------
2
【答案】
求导得到由得f 1e, e, 解得答案
mx 故f 1 e, e, me
应选：A.
此题考查了根据切线方程求参数, 意在考查学生的计算水平和转化水平
7.执行如下图程序框图,假设输入x 13, y 1,那么输出的结果是〔
A. 169
B. 215
C. 179
D. 225
【答案】B
【解析】根据程序框图依次计算得到答案 . 【详解】
循环前,x 13, y 1, n 0；
第一次循环,x 13, y 64, n 2,继续循环； 第二次循环,x 15, y 100 , n 4,继续循环； 第三次循环,x 19, y 196
, n 6,跳出循环,输出 215.
应选：B . 【点睛】
此题考查了程序框图,意在考查学生的计算水平和理解水平
^
8 .?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题： 今有曲池,
上中周二丈,外周四丈,广一丈,下中周一丈四尺,外周二丈四尺,广五尺,深一丈,
问积几何？ 〞其意思为： 今有上下底面皆为扇形白水池,上底中周 2丈,外周4丈,宽 1丈；下底中周1丈4尺,外周长2丈4尺,宽5尺；深1丈.问它的容积是多少？ 那么该曲池的容积为〔
〕立方尺〔1丈=10尺,曲池：上下底面皆为扇形的土池,其
1
上底中外周之和
容积公式为1［〔2江宽+下宽〕
；
〔2XF
宽+上宽〕
下底中外周之和〞 - 1
A.——
3B. 1890
5630
C. ----------
3
5660
D. ----------
3
【解析】根据题中给的尺寸,代入容积公式求解,即得解
上底中外周之和为40+20=60 〔尺〕,下底中外周之和为14+24=38 〔尺〕,
由题目中容积公式可
得:
60 38
〔2 10 5〕万〔2 5 10〕—
6 用5050 〔立方尺〕10 -------
3
应选：A
此题考查了空间几何体的体积,考查了学生阅读理解,数学运算的水平,属于根底题
9.在VABC中,a, b, c分别为角A, B, C的对边,且满足cosC sin C 那么VABC为〔
〕
A.等腰三角形
B.正三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
sin A sin C
【解析】根据正弦定理得到cosC sinC A C,根据sin A sin B sin B 简得到答案.
由正弦定理知,cosC sin C sin A sin C
sin B
所以sin BcosC sin BsinC sin A sinC ,又由于sin A sin B
所以sin BcosC sin BsinC sin B C sin C.
所以sin BcosC sinBsinC sin BcosC cosBsin C sinC ,
所以sin BsinC cosBsin C sinC ,又由于sin C 0 , 所以sin B cosB 即sin B cosB 1,故sinBcosB 0,又由于B 0,
【点睛】此题考查了正弦定理,三角恒等变换,意在考查学生的计算水平和综合应用水平10.函数y X2 1 ln x的图象大致为( )
时,函数y x21 ln x单调递增,排除D选项,得到答案
x21 ln x f x ,
函数为偶函数,排除A选项；
当0 X 1 时,ln x 0, X21 0,
__ __ 2 . . _
所以y x 1 ln x 0,排除B选项;
当x 1时,y X2 1 ln X , y 2xln x x21 X
所以当X 1时,
X21
2xln x 0, -- 0,
【解析】根据偶函数排除A,当0 x 1时,y 2 ,, .............. .. . ,
X 1 ln X 0,排除B选项,当X 1 【答案】C
所以函数y11nx在1, 上单调递增.排除D选项.
应选：C.
【点
睛】
此题考查了函数图像的识别,确定函数的奇偶性和单调性是解题的关键
11.函数f (x) =sin (cox —) +sin (x । ( 3>0)在(0, -〕上有且只有3
2
个零点, 那么实数 3的最大值为〔
〕A. 5
16
B.—
3
17
C.—
3
D. 6
sin(wx 得解. 化简f(x) .3sin(wx —)
6
立有三个解,结合
2
f (x) sin(wx —) 3 (3)
sin wx —
2
f (x) . 3sin(wx
、3A 一〕一在〔0, 6
2
即sin(wx 、3
—有三个解. 2
那么
wx
2k 或wx
x (0, 2) wx
w 、(0,-2-) ,
5 2 5 6
故: w的最大值为17 3
应选：C
wx的范围,
〔0,-〕上有且只有3个零点,转化为
限制仅有三个解,得到w的范围,即
3…3…
— sin wx ——coswx
2 2
-〕上有且只有3个零点,
2
2k (k Z)
wx 一
2
17
3
5
6
5 ……
——为其三个解
2
此题考查了三角函数综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的水平,属于中档题.
2
12.直线l过抛物线y 4x的焦点F ,且与抛物线相交于A, B两点,点B关于
x轴的对称点为B i,直线AB1与x轴相交于C m,0点,那么实数m的值为〔〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. -
2 2
【答案】A
【解析】设抛物线的准线与x轴的交点为C i,过点A, B分别作准线的垂线,垂足分
别为M , N ,确定^AMC i ： ABNC i得到AC〔F BC〔F ,得到答案.
【详解】
设抛物线的准线与x轴的交点为C i,过点A, B分别作准线的垂线,垂足分别为M ,
MC i AF AM …
N .由于AM//FC i//BN ,所以 -------- ————,又由于AMC i BNC i 90 ,
NC i BF BN '所以△ AMC1 : ABN5 ,所以MAC1 NBC1 ,即AC1F BC1F ,
由于点B关于x轴的对称点为B i,所以点G与点C重合,所以m 1.
此题考查了抛物线中的定点问题,意在考查学生的计算水平和应用水平
二、填空题
r rir c r r r…曰r 一r……
13.向量a , b满足a 2, a a 2b 12 ,那么向量a与向量b的数量积为
【答案】4
【解析】直接展开计算得到答案.
【详解】
r rrrr z rr rr
由于a 2, a a 2b a 2abi2,所以ab 4.
故答案为：4. 【点睛】
此题考查了向量的数量积,属于简单题
此题考查了三角恒等变换,意在考查学生的计算水平和应用水平
x x 1
15.函数f x 4 2 k ,右对于任意的实数 X1, X2, X3, x 4 0,1时,
f X 1 f X 2 f X 3 f X 4恒成立,那么实数k 的取值范围为.
【答案】3
,
2
v 2
【解析】f X 2X 1 k 1 ,计算f X 在区间0,1上的最小值为k 1,最大值 为k,得到3k 3 k ,解得答案. 【详解】
2
X
由题知,f X
2X 1 k 1 ,由于X 0,1 ,所以2
1,2 ,
所以f x 在区间0,1单调递增,故最小值为 f 0 k 1,最大值为f 1 k, 对于任意的实数X 1
,
X 2, X 3, X 0,1时,f X 1 f X 2 f X 3 f X 4恒成立,
3
所以3k 3 k ,解得k -. 2
3
故答案为：3,
.
2
此题考查了函数最值,不等式恒成立问题,意在考查学生的计算水平和应用水平 .
14.钝角
满足8s
一 sin 2 ,那么sin2 的值为 4
【解析】展开得到 1 sin 2
2sin 2 2
由于cos sin 2
cos
sin sin 2 ,
故
1
cos
2
sin
sin 2
2 ,即 1
sin 2
-2 …
-…
1 ,、
2sin 2 ,解得 sin 2 一或 2
sin2
为钝角,2 ,2
,所以 sin2 1.
故答案为:
1.
16.如图,直四棱柱ABCD AB1C1D1 ,底面ABCD是边长为6的正方形,M , N
分别为线段AC1, D〔C上的动点,假设直线MN与平面B1BCC1没有公共点或有无数个公共点,点E为MN的中点,那么E点的轨迹长度为 .
【答案】3,5
【解析】MN 〃平面B1BCC1或MN 平面B1BCG ,过点M作MH 〃BB1交AC于H , 过点N作NG//BB1交CD于G ,点E在平面ABCD的投影在HG上,设为T , T为
HG中点,ET CC1为定值,T的轨迹为VADC边AD上的中线,得到答案.
2
【详解】
连接AC ,直线MN与平面B1BCC1没有公共点或有无数个公共点,
故MN〃平面B1BCC1或MN 平面B1BCC1 ,
过点M作MH //BB1交AC于H ,过点N作NG//BB1交CD于G ,
所以平面MHGN 〃平面B1BCC1,
点E在平面ABCD的投影在HG上,设为T , T为HG中点,
设NG DD1,根据相似得到CG CD, HC AC , MH 1 CC1, NG MH CC —一
故ET -------------------- -1为定值,T的轨迹为VADC边AD上的中线,
2 2
故MN中点E的轨迹的长度等于VADC边AD上的中线长,该中线长为
62 32 3 5.
故答案为：3〞./5 .
【点睛】
此题考查了空间中的轨迹问题,意在考查学生的计算水平和空间想象水平 三、解做题 17 .设数列a n 满足a n 1 a n 4n 2.
(1)假设a i 2 ,求数列a n 的通项公式；
(2)假设数列 a n 的前n 项和为S n , S n 1000,且a 1 15 ,求n 的最小值.
【答案】(1) a n 2
n ；(2)31.
【解析】(1)确定数列 a n 的奇数项和偶数项均是以 4为公差的等差数列,计算得到 答案. (2)讨论n 为偶数和n 为奇数两种情况,计算 S n n 2
n 和S n a 1
n 2 n 1 ,
代人计算得到答案. 【详解】
(1)由于 a n1 a n 4n 2,所以 a n 2 a n 1 4 n 1 2 ,所以 4 2 % 4,
所以数列 a n 的奇数项和偶数项均是以 4为公差的等差数列, 又由于a 1 2 , a ? 4 ,所以数列 a n 是公差和首项均为 2的等差数列, 所以 a n 2 2 n 1 ,即 a n 2n .
(2)假设 n 为偶数,那么 S n a 1 a 2 a 3 a 4 a n 1 a n
(4 1 2) (4 3 2)
[4 n 1 2]
假设n 为奇数,那么S n a 1
a 2 a 3
现〔4 2 2〕 〔4 4 2〕
n 1
亍〔10 4n 2〕
2 - ---------------------- a 1
n
2
假设 S 31a 1 990 1000 ,解得 a 1 假设 S 29 a 1 868 1000 ,解得 a 1 所以n 的最小值为31. 综上,n 的最小值为31. 【点睛】
此题考查了数列的通项公式,数列求和,
a 4 a 5 a n 1 a n
[4 n 1
2]
2 n 1 '
10, 132 15,
意在考查学生对于数列公式方法的综合应用
18.某校从2021年到2021年参加 北约“华约〞测试而获得加分的学生 〔每位学生只能 参加北约“华约〞中的一种测试〕人数可以通过以下表格反映出来 .〔为了方便计算,
将2021年编号为1 , 2021年编号为2,依此类推〕 年份x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数y
2
3
4
4
7
7
6
6
〔1〕求这八年来,该校参加 北约“华约〞测试而获得加分的学生人数的中位数和方差； 〔2〕根据最近五年的数据,利用最小二乘法求出
y 与x 之间的线性回归方程,并依此
预测该校2021年参加 北约“华约〞测试而获得加分的学生人数 .〔结果要求四舍五入至
个位〕 n
n
X i x y i y
X i 小 nxy
i_J ______________________ J_J _________________
, ,
b
n
n 参考公式：
n
2
n 2
2 .
x i x
x i
nx
i 1
i 1
a y bx 199 【答案】〔1〕 5; —；〔2〕 y 0.3x 4.2； 7人. 64 【解析】〔1〕根据中位数和方差的
定义直接计算得到答案
.
2(6 4n 2)
S 30 930 1000, S 32
1056 1000,所以这样的偶数n 不存在.
【详解】
平面AEFD 得到答案.
(2)根据回归方程公式计算得到 y 0.3x
4.2 ,代入数据计算得到答案
(1)由题知,获得加分的学生人数的中位数为
5,
2 3 4 平均数为234
故方差s 2
4 7
8
2
39 39 8
(2)由表中近五年的数据知,
8 __
x i y i nx y i 4
b - ---------------- r
2 一2
x i nx
i 4
183 5 39 39 1592 199
64
6,
6, 8 x i y i
8
2
X
4
190 5 36
bx ,所以
3 c 21 ―6
—, 10 5
故线性回归方程为 y 0.3x 4.2,当x 9时,
0.3 9 4.2
故估计该校2021年参加“北约〞 “华约〞测试而获得加分的学生有
7人.
此题考查了中位数,方差,回归方程,意在考查学生的计算水平和应用水平 19 .如下图,该几何体是由一个直三棱柱 ABE DCF 和一个四棱锥 P ABCD 组
合而成的,其中 EF EA EB 2, AE EB , PA
PD J 5,平面PAD 〃平面
EBCF .
(1)证实：平面 PBC 〃平面AEFD .
(2)假设直三棱柱 ABE DCF 的体积为V 1 ,四棱锥P
…
、, V I
ABCD 的体积为V2,求 V 2
【答案】(1)证实见解析;
【解析】(1)取AD 的中点 ⑵-
2
H ,连接 PH , EH , FH ,
证实PB 〃平面AEFD , PC//
iuur C上存在点T,使得OT 皿uur
OM ON,其中M,N为直
(2)计算V i 4 , V2 2V p
ABD 2V B PAD 3 ,得到答案.
【详解】
(1)取AD的中点H ,连接PH , EH , FH ,由题知,PH AD ,且PH 2, 又由于AE EB ,三棱柱ABE DCF为直三棱柱,
所以EF , EA, EB三条直线两两垂直,故AE,平面EBCF , BE 平面AEFD .
由于平面PAD//平面EBCF ,所以AE,平面PAD ,
由于PH 平面PAD ,所以AE PH ,
又由于AEI AD A,所以PH 平面AEFD ,所以PH//BE,
又由于PH BE 2,所以四边形PHEB为平行四边形,所以PB//HE ,
由于HE 平面AEFD , PB 平面AEFD ,所以PB〃平面AEFD ,
同理可证PC〃平面AEFD ,又由于PB PC P,所以平面PBC〃平面AEFD .
1
(2)由题知,直二棱枉ABE DCF的体积V1 — EB EA EF 4,
2
1 1 8
四棱锥P ABCD 的体积V2 2V p ABD 2V B PAD 2 - - AD PH AE —, 3 2 3 V1 4 3
所以V28 2 .
3
此题考查了面面平行, 柱体和锥体体积的计算, 意在考查学生的计算水平和空间想象能力.
20 .以线段EF为直径的圆内切于圆O：x2+y2=16.
(1)假设点F的坐标为(-2, 0),求点E的轨迹C的方程;
【点
(2)在(1)的条件下,轨迹
2
X 那
么曲线C 的方程为—
16
〔2〕由题意,设 M 〔X 1,
y 1〕,N 〔X 2, y 2〕,那么 T 〔X 1+X 2, y 〔+y 2〕. 联立直线MN 与曲线C 方程,可得
y kx b 2
2
9 L 1, 16 4
整理,得〔4k 2+1〕x 2+8kbx+4b 2 -16=0.贝U
线y=kx+b 〔b^O 与轨迹C 的交点,求^ MNT 的面积.
2
2
【答案】〔1〕 上 L 1 ;⑵28-
16 4
【解析】〔1〕设FE 的中点为Q,切点为G,连OQ, QG,取F 关于 可得|FE|+|EF|=8,由椭圆的定义,可得解.
〔2〕联立MN 与椭圆的方程,由 T 在椭圆上得到k,b 关系,利用k,b 边MN 和高,即得解. 【详解】
设FE 的中点为Q,切点为G,连OQ, QG, 那么 |OQ|+|QG|= |OG|=4
取F 关于y 轴的对称点F ；连F'E, 故 |F'E|+|EF|=2 〔|OQ|+|QG|〕 =8.
y 轴的对称点F',
表示AUNT 的底 亡1;
4
所以点E 的轨迹是以F ； F 为焦点,长轴长为 4的椭圆.
其中,a=4, c=273, b=2,
64k 2
b 2
4 4k 2
1 4b 2
16 >0
又•' |MN | h k^ ?X l - X 2|
,1 k 2 ?..(X 1
X 2)2
4^X 2
4b 2
16
4 2
4k 2
1
S1A MNT ；?|MN|?d
4k 2 1 k 2
1
【点睛】 此题考查了直线和椭圆综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的水平,属于 较难题.
(1)讨论函数 f
X 的单调性;
21 .函数
f X In X a
x 2
1 .
(2)设函数g X kx b k
0 ,当a 0时,假设对任意的X 0, ,存在实数k ,
8 kb
X i X 2
X i X 2
4k 4b 2
4 k 2
2
1 16
; y i +y 2= k
(X1+X 2) +2b=k?(
8kb 、
——) 4k 2
1
+2b 2b 4k 2
1
8kb
• •T ( —r-
4k
•・•点T 在轨迹
2b 4k 2
C 上, -)
1
8kb
4 k 2
1
)2+4?(
2b 4k 2
1
)2=16.
化简,整理,得:
b 2= 4k 2+i .
1 k 2
64k 2
b
2 (4k 2
1)2
点T 到直线MN 的距离
8kb
4k 2
1
-lb- b 4k 2
1
2
4k 2
1 . k 1
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕 2.
1 2ax 1
—2ax --------------- x 0 ,讨论a 0和a 0两种情 x x
况,得到单调性
_____ ___ 2
(2)根据题意得到2eln* 1 b
k
k/ (2)
工,转化为不等式2eln2 1
4
k
在区间,—, 上单调递减.
,2a
2
2
〔2〕由于 g x x ,所以 x kx b 0, k 0,
x 0, x 单调递增,
时,
b 使得关于x 的不等式2ef x 1 g x
2
x 恒成立,求k 的最小值.
k —t,设 h t 2 【详解】 2
t 2elnt 1,求导得到单调区间得到
k .一.
1 — to,解得答案
2
(1) f x
1 2ax 1
一 2ax -------------- x 0 , x x
当a 0时,f x 0在0, 上恒成立,
所以函数f x 在0, 当a 0时,假设f x 假设f x 0 ,解得x 所以函数f x 在区间
上单调递增;
【解析】〔1〕求导得到f x
k 2
~有解,令
4
又由于2ef x g x ,所以 2eln x kx b 1
0.
x 2eln x kx b 1 0,
2e
此题考查了函数单调性,恒成立问题,意在考查学生的计算水平和转化水平,综合应用
水平.
曲线C 的极坐标方程为
2
4 sin —
0.
4
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
x 4、. 2 t cos .
(2)设直线1的参数方程是
, (t 为参数),且 一,,假设直线
y tsin
2
1与曲线C 有且只有一个交点 P ,求点P 的极径.
【答案】(1) x 2 y 2 2屈 272y 0; (2) 4. 【解析】(1)直接利用极坐标公式化简得到答案
.
(2)直线1的普通方程为y x 4 J2 tan ,根据相切得到tan 1, P 2五2行计算得到答案.
故
X
max
2f
2e
吟
2e b 1
2e1n-
k 0,
~ ,
2
所以2e1n 2 1 k , -, 2 b ,所以有2e1n - 1 b k k 2 4
由题知,存在实数
b 使得关于x 的不等式 2ef
2
X X 恒成立的充要条
件是不等式2e 1n
k 2 ...............................
一有解,将该不等式化为
4
八,2
-
2e1n — 1 0,
k
可知
所以
故不等式 k
即1 — 2
【点
2
t 2e1nt 1 0 有解.
t 2
2e
2e1nt 1, h t 2t t
在区间 0, h
t 2
0, Ve 上单调递增,在区间
J e,
0, he
e 2
2e 1 单调递减,
0,
2e1nt 2
_
t 2e1n t 1
1在区间 Te, e 0的解集为1 t
t 0,故k 的最小值为2.
内存在唯一零点to ,
22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点
.为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
【详解】
(1)曲线C 的极坐标方程为
2
4 sin
所以曲线C 的直角坐标方程为
y 2
2、.2x 2.2y 0.
,,x 4 \ 2 t cos 1…
(2)由于直线l 的参数方程是
(t 为参数),
y t sin
且 -,,所以直线l 的普通方程为y x 472 tan
曲线C 的圆心C( J2,衣,半径为2 , 由于直线l 与曲线C 有且只有一个交点, 1
斛付tan
1或tan -(舍去),
7
联立x
y x
即P 272,2>/2 ,所以点P 的极径为4. 【点睛】
此题考查了极坐标方程,极径,意在考查学生的计算水平和转化水平 23. a>0, b>0.
(1)假设 ab=2,证实：(a+b) 2>4(a-b+1); (2)假设a 2+b 2=2,证实： 声 而 2. 【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)作差法,通过配方即可证实；
(2)利用根本不等式的推论：
a b ?2 a 2
b 2
,即可得证
【详解】
(1) (a+b) 2-4 (a-b+1) =(a - b) 2+4ab- 4 (a - b) - 4 =(a - b) 2— 4( a — b) +4
所以 2 2 .2 sin 2.2 cos cos sin
故直线l 的方程为x
y 4夜 0,直线PC 方程为y x ,
所以圆心C 到直线l 的距离d
2 〞 2 4、2 tan 1 tan 2
2,
=(a- b- 2) 2Aq
(2)由于a+b J2 a2b22,当且仅当a=b取等号,
(Va bb)2 a b 2^ab 2 (a+b) <4,
故占那2.
【点睛】
此题考查了不等式的证实,考查了学生逻辑推理,数学运算的水平,属于中档题。