【100所名校】2019届山东省济南市历城第二中学高三11月月考数学(文)试题(解析版)

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2019届山东省济南市历城第二中学 高三11月月考数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合A ={x |x 2−2x >0},B ={x |−2<x <3}，则 A ．A ∩B = ∅ B ．A ∪B =R C ．B ⊆A D ．A ⊆B
2．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x 2+1，则f (−1)= A ．1 B ．−1 C ．2 D ．−2
3．要得到函数4y sin x =-（
3
π
）
的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A ．向左平移12π
个单位
B ．向右平移12π
个单位
C ．向左平移3π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
4．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1=1,a k +a 4=0，则k = A ．3 B ．7 C ．10 D ．4
5．若x,y 满足{x +y −1≥0
x −y −1≤0x −3y +3≥0 ，则z =x +2y 的最大值为
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
6．已知向量a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(m,−1)，若a ⃗∥(a ⃗+b ⃗⃗)，则a ⃗⋅b ⃗⃗= A ．5
2 B ．−5
2 C ．3
2 D ．−3
2
7．定义|
a
b c d |=ad −bc ，如|1234|=1×4−2×3=−2，且当x ∈[0,2]时，|4
x 3
2x+1
1
|≥k 有解，则实数k 的取值范围是
A ．(−∞,−5]
B ．(−∞,−9]
C ．(−∞,−8]
D ．(−∞,−2]
8．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A(4,y 0)作AA 1⊥l 于点A 1，若∠A 1AF =
2π3
，则p =
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48 9．下列命题中，错误的是
A ．在ΔABC 中， A >
B 则sin A >sin B B ．在锐角ΔAB
C 中，不等式sin A >cos B 恒成立
C ．在ΔABC 中，若a cos A =b cos B ，则ΔABC 必是等腰直角三角形
D ．在ΔABC 中，若B =60°， b 2=ac ，则ΔABC 必是等边三角形
10．定义函数f(x)如下表，数列{a n }满足a n+1=f(a n )，n ∈N ∗. 若a 1=2，则a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2018=
A ．7042
B ．7058
C ．7063
D ．7262
11．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x +2)=f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x ，若方程ax +a −f (x )=0(a >0)恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
A ．(1
2，1) B ．[0，2] C ．(1，2) D ．[1，+∞)
12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是
A ．(−2,0)∪(0,2)
B ．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C ．(−2,0)∪(2,+∞)
D ．(−∞,−2)∪(0,2)
二、填空题
13．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+a 10=______．
14．函数f(x)=ln(√e +m 2x 2−mx)+sinx +1 （m >0)则f (lg2)+f (lg 1
2)=_____ 15．已知圆C:x 2+(y −3)2=4,过A(−1,0)的直线l ,过直线l 上的点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =___________
此卷只装
订
不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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16．给出下列四个命题：
①ΔABC 中，A >B 是sinA >sinB 成立的充要条件； ②当x >0且x ≠1时，有lnx +
1lnx
≥2；
③已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7>S 5，则S 9>S 3；
④若函数y =f(x −32)为R 上的奇函数，则函数y =f(x)的图象一定关于点F(3
2,0)成中心对称．其中所有正确命题的序号为___________．
三、解答题
17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 4=−16． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求S n ，并求S n 的最小值．
18．ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ，若4√3 S =b 2+c 2−a 2
（1）求角A ；
（2）若a =2，b =2√3，求角C ．
19．已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1−1,a 2−1,a 4−1成等比数列. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1
a
n a n+1
(n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和S n ，求使S n <2
15成立的最大正整数n 的值.
20．已知函数f(x)=4lnx −mx 2+1(m ∈R).
（1）若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y −1=0平行，求实数m 的值； （2）若对任意x ∈[1,e]，都有f(x)≤0恒成立，求实数m 的取值范围.
21．已知圆M:(x +1)2+y 2=1,圆N:(x −1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
(2)过点Q (1,1)作圆M 的两条切线，切点分别为A,B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标. 22．已知函数f(x)=lnx +x −ax 2，a ∈R ． （1）若f(x)在x =1处取得极值，求a 的值；
（2）设g(x)=f(x)+(a −3)x ，试讨论函数g(x)的单调性；
（3）当a =−2时，若存在正实数x 1,x 2满足f(x 1)+f(x 2)+3x 1x 2=0，求证：x 1+x 2>1
2．
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2019届山东省济南市历城第二中学 高三11月月考数学（文）试题
数学 答 案
参考答案 1．B 【解析】 【分析】
先解一元二次不等式，化简集合A ，进而判断集合间的关系,以及 A ∩B ， A ∪B . 【详解】
由x 2-2x ＞0，得：x ＜0或x ＞2，∴集合A={x|x ＜0或x ＞2}， A∩B={x|-2＜x ＜0或2＜x ＜3}，故A 不正确． A ∪B=R ，故B 正确，
且A ⊄B,B ⊄A ,故C ，D 选项不正确，故选B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交并集和集合之间的包含关系；此类题目一般需要先化简集合，再判断集合间的关系，以及进行交、并集运算.
2．D 【解析】 【分析】
利用奇函数的性质求出f (−1)的值. 【详解】
由题得f(−1)=−f(1)=−(12+1)=−2，故答案为：D 【点睛】
(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).
3．B
【解析】因为函数sin 4sin 4312y x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图
象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移
12
π
个单位。

本题选择B 选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
4．C 【解析】 【分析】
由“等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k +a 4=0可求得结果． 【详解】
∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9+36d=4+6d ，其中d 为等差数列的公差， ∴d=﹣1
6，又∵a k +a 4=0，
∴1+（k ﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10， 故选：C ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题． 5．B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ΔABC 内部（含边界），作直线l:x +2y =0，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点B(3,2)时，z =3+2×2=7为最大值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题． 6．B 【解析】 【分析】
由向量平行的坐标表示列式求解m 的值，再求解a ⃗⋅b
⃗⃗
.
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【详解】
a ⃗+
b ⃗⃗=(1+m, 1),由a ⃗∥(a ⃗+b
⃗⃗)得1×1−2×(1+m )=0 ，解得m=−1
2 ， a ⃗⋅b
⃗⃗= 1×(−12
)+2×(−1)=−52
.故选B. 【点睛】
本题考查了向量平行的坐标表示,考查了向量的数量积的坐标表示，若a ⃑=(x 1,y 1),b ⃗⃑=(x 2,y 2),则a ⃑∥b ⃗⃑ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0 ，a ⃑⋅b
⃗⃑=x 1x 2+y 1y 2 . 7．A 【解析】 【分析】
依题意知，当x ∈[0,2]时，4x -3⋅2x+1≥k 有解，构造函数g （x ）=（2x ）2-6⋅2x ，利用一元二次函数与指数函数的单调性，可知g （x ）的值域为[-9,-5]，进而判断k 的取值范围.
【详解】 |4x 3
2
x+11
|≥k ,令g （x ）=（2x ）2-6⋅2x =（2x -3）2-9， 当x ∈[0,2]时，2x ∈[1,4]，则g （x ）的值域为[-9,-5] 由|4x
3
2x+1
1
|≥k 有解，则k ≤−5 . 故选：A 【点睛】
本题考查了新定义的理解和运用，考查了指数函数和二次函数的性质，考查了不等式有解问题，关键是将原问题转化为求函数的最值（值域）问题，再通过不等式有解，判断参数的取值范围.
8．C 【解析】 【分析】
结合已知条件和抛物线的简单性质，利用抛物线的定义，建立方程，求解即可. 【详解】
如下草图：作AB 垂直于x 轴，垂足为B ，
∵∠A 1AF =
2π
3
，∴∠BAF =30°，∴|BF |=1
2|AF | 根据抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF | ,
根据抛物线的简单性质，|OC |=|OF |=p
2 ，易知|OB |=4 , 可得方程：2(p
2
-4)=p
2
+4 ，解得p=24 ，故选C
【点睛】
本题考查了抛物线的方程、定义和简单性质，考查了转化思想、数形结合思想，利用抛物线的定义，可以得到抛物线的一个重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
9．C 【解析】 【分析】
根据三角函数的性质，正弦定理，余弦定理，结合三角形的内角关系，依次判断即可. 【详解】
A. 在△ABC 中，由正弦定理可得 a
sinA =b
sinB , ∴sinA ＞sinB ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是
sinA ＞sinB 的充要条件，故A 正确；
B.在锐角△ABC 中，A ，B ∈(0，π
2) ，且A +B >π
2 ，则π
2>A >π
2−B >0 ,所以
sinA >sin (π
2−B)=cosB ,故B 正确；
C ．在△ABC 中，由acosA=bcosB ，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B ，得到2A=2B 或2A=2π-2B ，故A=B 或A =π
2-B ，即ΔABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；
D. 在△ABC 中，若B=60°，b 2=ac ，由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2-2accosB ，∴ac=a 2+c 2-ac ，即（a-c ）2=0，解得a=c ，又B=60°，∴△ABC 必是等边三角形，故D 正确；
故选C 【点睛】
本题考查了应用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，考查了三角函数的性质；判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：①利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，再分析，②转化为内角的三角函数之间的关系，通过恒等变换得出内角关系，结合三角形内角关系，再判断.
10．C
【解析】
【分析】
利用函数f（x），可得数列{a n}是：2，5，1，3，4，6，…是一个周期性变化的数列，求出一个周期内的和，进而求得答案.
【详解】
由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有a n+1=f（a n），
∴a2=f（a1）=f（2）=5，即a2=5，
a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，
a4=f（a3）=f（1）=3，即a4=3，
a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，
a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，
a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，
⋯⋯
可知数列{a n}：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．
且a1+a2+a3+…+a6=21．
故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．
故选C
【点睛】
本题考查了函数的表示法、考查了数列的周期性，解题的关键是根据函数值的对应关系，推导出数列{a n}是周期为6的周期数列.
11．A
【解析】
【分析】
由题意可知函数f（x）是周期为2的周期函数，且为偶函数，函数y=f（x）的图象和直线
y=ax+a有3个交点，数形结合可得不等式组，进而求得a的取值范围.
【详解】
由f（x+2）=f（x），可得函数f（x）是周期为2的周期函数．
当x∈[0，1]时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x，
要使方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象和直线
y=ax+a有3个交点，易得A（-1，0），B（1，2），C（3，2），
则由图象可知，直线y=ax+a=a（x+1）的斜率必须满足k AC＜a＜k AB，
k AC=2−0
3+1
=1
2
,k AB=2−0
1+1
=1，即1
2
<a<1，故选A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用，考查了通过方程的根的个数求参数，考查了数形结合的思想方法；已知函数有零点（方程有根）求参数的值或取值范围的常用方法有：①直接法，②分离参数法，③数形结合法.
12．D
【解析】
【分析】
构造函数g(x)=lnxf(x),根据g′(x)的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当x>0时，f（x）<0, 当x<0时，f（x）>0,再解不等式即可.
【详解】
构造函数g(x)=lnxf(x),则g′(x)=f(x)
x
+lnxf′(x)=f(x)+xlnxf′(x)
x
，
已知当x>0时，xlnx⋅f′(x)<−f(x)，所以在x>0时，g′(x)<0，即g（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为y=lnx在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数
已知f(x)(x∈R)是奇函数，所以f（x）在（-∞，0）上也是减函数，f（0）=0，
故当x>0时，f（x）<0, 当x<0时，f（x）>0,
由(x2−4)f(x)>0得{
x2−4>0
f(x)>0或{
x2−4<0
f(x)<0，解得x<-2或0<x<2
故选D.
【点睛】
本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集
.
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13．10
【解析】
试题分析：由a5a6+a4a7=18得a5a6=9，由对数不等式可知log3a1+log3a2+…+log3a10变形为log3(a1a2⋯a10)=log3(a5a6)5=5log39=10
考点：等比数列性质及对数运算法则
14．3
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则，三角函数的诱导公式计算即可.
【详解】
lg1
2
=lg(2)−1=−lg2，
f(lg2)+f(lg1
2
)=ln[√e+m2(lg2)2−mlg2]+sin(lg2)+1+ln[√e+m2(−lg2)2+mlg2]+ sin(−lg2)+1=ln{[e+m2(lg2)2]−(mlg2)2}+sin(lg2)−sin(lg2)+2=lne+2=3【点睛】
本题考查了函数求值，考查了对数的运算法则，三角函数的诱导公式，考查了运算能力，难度一般.
15．1
7
或−1
【解析】
【分析】
切线长最小转化为圆心到直线l的距离最小，利用点到直线的距离公式以及勾股定理得方程，解得k的值.
【详解】
已知圆C:x2+(y−3)2=4,可知圆心C（0,3）半径为2，
如图，直线l上的点P引圆C的两条切线，当PC为圆心到直线上的距离时，切线长最短，
已知直线过A(−1,0)，当斜率不存在时，易知不符合题意，
设直线方程为y-0=k（x+1），即y=k（x+1）
由点到直线的距离公式以及勾股定理得
√k2+1
=√22+22=2√2，解得k=1
7
或k=−1【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，解答本题的关键是将切线长最短转化为圆心到直线的距离最短，进行求解.
16．①③
【解析】
【分析】
①利用正弦定理可判断；②举反例即可判断；③利用等差数列等差中项计算可判断；
④根据奇函数的性质与函数图象平移可判断.
【详解】
①在△ABC中，由正弦定理可得a
sinA
=b
sinB
, ∴sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，①正确；
②当1＞x＞0时，lnx＜0，所以不一定大于等于2，②不成立；
③等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S7-S5=a6+a7＞0，S9-S3=a4+a5+…+a9=3（a6+a7）＞0，因此S9＞S3，③正确；
④若函数y=f(x−3
2
)为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的
图象是把y=f（x-3
2
）的图象向左平移3
2
个单位得到的，故函数y=f（x）的图象一定关于点F（-3
2
，0）成中心对称，④不正确．
综上只有①③正确．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断，考查了正弦定理的应用，对数函数图象和性质，基本不等式，等差数列的性质，考查了函数的奇偶性和图象的平移，考查了推理能力与计算能力，涉及知识点多且全，是此类题目的特点.
17．（1）a n=2n−9，（2）S n=n2−8n，最小值为−16．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出{a n}的通项公式；
（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得S
n
=n2-8n，根据二次函数的性质，可得S n的最小值.
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【详解】
（I ）设{a n }的公差为d ，由题意得4a 1+6d =−16．由a 1=−7得d =2． 所以{a n }的通项公式为a n =2n −9．
（II ）由（I ）得S n =n 2−8n =(n −4)2−16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为−16．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，考查了等差数列前n 项和的最值问题；求等差数列前n 项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.
18．（1）A =π
6
，（2）C =π
2
或π
6
【解析】 【分析】
（1）利用三角形面积公式和余弦公式，得cosA=√3sinA ，即tanA =√3
3
，再根据三角形内角的取值范围，求得角A 的值；
（2）根据正弦定理求得角B 的值，再根据三角形的内角和，求得角C 的值. 【详解】
(1) ∵ ΔABC 中，b 2
+c 2
−a 2
=4√3 S =4√3⋅1
2bcsinA =2bc ⋅√3sinA ∴ cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=√3sinA ∴ tanA =
√3
3
∵ 0<A <π∴ A =π
6
(2) ∵ a =2，b =2√3，A =π6
∴由a
sinA =b
sinB 得sinB =bsinA a
=
2√3⋅12
2
=
√32
∵ 0<B <
5π
6
且B>A ∴ B =π3或2π3 ∴ C =π2或π
6 【点睛】
本题考查了三角形面积公式和余弦定理，正弦定理的应用，三角形面积公式中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件；已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想的应用.
19．⑴a n =2n +1，n ∈N ∗；⑵5 【解析】
【分析】
（1）利用(a 2−1)2=(a 1−1)(a 4−1)得到(a 1+1)2=(a 1−1)(a 1+5)，解出a 1可得通项公式．
（2）利用裂项相消法求S n 后解不等式S n <2
15可得最大正整数n 的值．
【详解】
（1）由题意知，(a 2−1)2=(a 1−1)(a 4−1)，即(a 1+1)2=(a 1−1)(a 1+5)， 解得a 1=3，故a n =2n +1，n ∈N ∗． （2）由b n =1
(2n+1)(2n+3)=1
2(1
2n+1−1
2n+3)， 得S n =a 1+a 2+a 3+...+a n ，
=12(1
3−1
5+1
5−1
7+...+1
2n+1−1
2n+3) =12(1
3−1
2n+3) =n
3(2n+3)， 由
n 3(2n+3)
<
215
，解得n <6．
故所求的最大正整数n 为5． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如
果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
20．（1）1，（2）m ≥2√e e
【解析】 【分析】
（1）根据两直线平行，斜率相等，可知函数在x =1处的切线斜率为2，根据导数的几何意义得f ′(1)=2，，解m 的值；
（2）采用分离参数法，将问题转化为m ≥
4lnx+1x 2
在x ∈[1,e ]上恒成立，构造函数，利用导数
求解.
【详解】
（1）由题知：f ′(x)=4
x −2mx ，函数在x =1处的切线斜率为2，即f ′(1)=2，
4−2m =2 所以m =1.
（2）由题知： 4lnx −mx 2+1≤0 在x ∈[1,e ]上恒成立， 即m ≥4lnx+1x 2
在x ∈[1,e ]上恒成
立.
令g (x )=
4lnx+1x 2
,x ∈[1,e ] ，所以 g′(x )=
2(1−4lnx )
x 3
，
令g′(x)>0，则1<x <e 1
4
；令g′(x)<0，则e 14
<x <e . ∴g(x)在(1,e 14
)上单调递增，在(e 14
,e) 上单调递减. ∴g (x )max =g (e 14
)=
4lne 1
4+1
(e 14)
2=
2√e
e
，∴m ≥
2√e
e
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，两直线平行，考查了利用导数解决恒成立问题；解决不等式恒成立问题时，常采用分离参数法，将要求的参数分离到不等式的一边，由不等式的另一边构造函数，求新函数的最值，进而得参数的取值范围.
21．（1）x2
4+y2
3
=1(x≠−2)（2）(−8
19
,−3
19
)
【解析】
【分析】
（1）已知动圆P与圆M外切，与圆N内切，利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N 的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得曲线C的方程；
（2）先求直线AB，联立直线与椭圆方程，再根据一元二次方程根与系数的关系，求得相交弦的中点坐标.
【详解】
（1）由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2−R)=r1+r2=4>|MN|.
根据椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点的椭圆(左长轴端点除外),
即2a=4,∴a=2,c=1,∴b2=3，∴椭圆方程为x2
4+y2
3
=1(x≠−2).
（2）过点Q(1,1)作圆M的两条切线，切点分别为A,B，如下图：
|QA|=|QB|=2，以Q为圆心，|QA|为半径的圆Q:(x−1)2+(y−1)2=4与圆M:(x+1)2+ y2=1公共弦所在直线AB的方程为y=−2x−1，
联立曲线C:x 2
4+y2
3
=1(x≠−2)与直线l:y=−2x−1可得19x2+16x−8=0，Δ>0，
设交点E(x1,y1),F(x2,y2)，则x1+x2=−16
19
，
所以中点的横坐标为x1+x2
2
=−8
19
，代入l:y=−2x−1得中点的纵坐标为−3
19
，
所求中点坐标为(−8
19
,−3
19
)
【点睛】
本题考查了定义法求轨迹方程，考查了相交圆的公共弦，考查了直线与椭圆相交所得弦的中
点；涉及直线和圆锥曲线的相交弦的中点问题时，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，这样
使解题过程简化.
22．（1）1（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数f(x)的导数f′(x)，根据f′(1)=0，求出a的值，再进行检验；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性；；
（3）结合已知条件与对数的运算性质，得2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2−lnx1x2．令t=
x1x2，构造函数φ(t)=t−lnt(t>0)，然后利用导数判断函数单调性得2(x1+x2)2+(x1+x2)≥
1，进而得证x1+x2>1
2
．
【详解】
（1）因为f(x)=lnx+x−ax2，所以f′(x)=1
x
+1−2ax，因为f(x)在x=1处取得极值，所
以f′(1)=1+1−2a=0，解得a=1．
验证：当a=1时，f′(x)=1
x
+1−2x=−(x−1)(2x+1)
x
(x>0)，易得f(x)在x=1处取得极大
值．
（2）因为g(x)=f(x)+(a−3)x=lnx+x−ax2+(a−3)x=lnx−ax2+(a−2)x，
所以g′(x)=1
x
−2ax+(a−2)=−(ax+1)(2x−1)
x
(x>0)．
①若a≥0，则当x∈(0,1
2
)时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(0,1
2
)上单调递增；
当x∈(1
2
,+∞)时，g′(x)<0，∴函数g(x)在(1
2
,+∞)上单调递减．
②若a<0，g′(x)=−a(x+
1
a
)(2x−1)
x
(x>0)，
当a<−2时，易得函数g(x)在(0,−1
a
)和(1
2
,+∞)上单调递增，在(−1
a
,1
2
)上单调递减；
当a=−2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增；
当−2<a<0时，易得函数g(x)在(0,1
2
)和(−1
a
,+∞)上单调递增，在(1
2
,−1
a
)上单调递减．
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（3）证明：当a=−2时，f(x)=lnx+x+2x2，
因为f(x1)+f(x2)+3x1x2=0，所以lnx1+x1+2x12+lnx2+x2+2x22+3x1x2=0，即lnx1x2+2(x12+x22)+(x1+x2)+3x1x2=0，所以2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2−lnx1x2．
令t=x1x2，φ(t)=t−lnt(t>0)，则φ′(t)=1−1
t =t−1
t
(t>0)，
当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，所以函数φ(t)=t−lnt(t>0)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1,+∞)时，φ′(t)>0，所以函数φ(t)=t−lnt(t>0)在(1,+∞)上单调递增．
所以函数φ(t)=t−lnt(t>0)在t=1时，取得最小值，最小值为1．所以2(x1+x2)2+
(x1+x2)≥1，
即2(x1+x2)2+(x1+x2)−1≥0，所以x1+x2≥1
2
或x1+x2≤−1．
因为x1,x2为正实数，所以x1+x2≥1
2
．
当x1+x2=1
2
时，x1x2=1，此时不存在x1,x2满足条件，
所以x1+x2>1
2
．
【点睛】
本题考查了导数与函数极值的关系，考查了用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等
式的综合问题．利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造函数φ(x)，利用导数判断φ(x)
的单调区间和最值，再进行相应证明.
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