人教A版高中数学必修二 第四章 圆与方程 4.3.2

由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝12，FN＝12，故 F 点坐 标为12，12，0.
点 G 在 y 轴上，其横、竖坐标均为 0， 又|GD|＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 故|HK|＝12，|CK|＝18. 所以|DK|＝78，故 H 点坐标为0，78，12.
4．3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式
学案·新知自解
1．理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点 的位置写出点的坐标．
2．掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或 证明．
空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点 O 引三条两两垂直，且有相同单位长度 的数轴：__x_轴__、__y_轴__、__z轴___，这样就建立了一个__空__间__直__角__坐__标__系__O__x_yz___. ②相关概念：__点__O__叫作坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴___叫作坐标轴，通过每 _两__个__坐__标__轴__的平面叫作坐标平面，分别称为__x_O_y_平面、__y_O_z_平面、_z_O__x_平面．
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
[归纳升华] 解决有关对称问题时，注意依靠 x 轴、y 轴、z 轴作为参照直线，坐标平面 为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点关于坐标轴、坐标平 面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁对称谁不变，其余的符号均 相反”．如关于 x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数； 关于 xOy 坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反．特别注意关于原点 对称时三个坐标均变为原来的相反数.
[归纳升华] 1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于 计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． 2．对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度， 即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间 点的坐标的关键.
2．已知 M(2,1,3)，求 M 关于原点对称的点 M1，M 关于 xOy 平面对称的 点 M2，M 关于 x 轴、y 轴对称的点 M3，M4.
解析： 由于点 M 与 M1 关于原点对称，所以 M1(－2，－1，－3)；点 M 与 M2 关于 xOy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数， 所以 M2(2,1，－3)；M 与 M3 关于 x 轴对称，则 M3 的横坐标不变，纵坐标和竖 坐标变为原来的相反数，
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4， 则|CF|＝|AB|＝1，
|CE|＝12|AB|＝12， 所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32. 所以点 E 的坐标为1，32，0，点 F 的坐标为(1,2,1)．
空间直角坐标系中点的对称问题 自主练透型 在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
答案： (－4,1，－2)
教案·课堂探究
空间中点的坐标的确定 自主练透型 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标 系，写出 E、F、G、H 的坐标．
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系． 点 E 在 z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐 标建立空间直角坐标系． 2．同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同． 3．识记一些特殊位置的点的坐标．
4．画空间直角坐标系的注意事项： (1)x 轴与 y 轴成 135°角，x 轴与 z 轴成 90°角； (2)y 轴垂直于 z 轴，y 轴和 z 轴的单位长度应相等，x 轴上的单位长度则等 于 y 轴的一半(xOy 平面适用于斜二测画法)； (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．
即 M3(2，－1，－3)，同理 M4(－2,1，－3)．
空间两点间的距离 多维探究型 如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，M 为 BD′ 的中点，点 N 在 A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
解析： 由题意应先建立坐标系，以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐 标系．因为正方体棱长为 a，所以 B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0， a)．由于 M 为 BD′的中点，取 A′C′的中点 O′，
所以 Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以 N 为 A′C′的四等分点，从而 N 为 O′C′ 的中点，故 Na4，34a，a.
根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝ a2－a42＋a2－34a2＋a2－a2＝ 46a.
[归纳升华] 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关 键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目 而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平 面直角坐标系的知识确定.
3．侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，底 面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别是 A1B1， A1A 的中点，求 MN 的长．
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y 轴上
B．xOy 平面上
C．zOx 平面上
D．第一象限内
解析： 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上．
答案： C
2．若已知点 A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段 AB 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C．4 2
D．3 2
空间两点间的距离公式 1．空间中任意一点 P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝____x_2_＋__y_2＋__z_2____；
2．空间中任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝ ____x_2_－__x_1_2_＋___y_2－__y_1_2_＋___z2_－__z_1_2__.
(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x_轴___的正方向，食指指向__y_轴___ 的正方向，如果中指指向__z_轴___的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标 空 间 一 点 M 的 坐 标 可 以 用 _有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_)_ 来 表 示 ， __有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_)__ 叫 作 点 M 在 此 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 ， 记 作 ___M_(_x_，__y_，__z_)__，其中__x__叫作点 M 的横坐标，__y__叫作点 M 的纵坐标，__z__ 叫作点 M 的竖坐标．
解析： |AB|＝ －3－12＋－3－12＋－3－12＝4 3.
答案： A
3． 在 空间 直角 坐标 系中 ，点 (4，－ 1,2) 关于原 点的 对称 点的 坐标 是 ________．
解析： 空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4， －1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
1．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 上的 点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写 出 E，F 点的坐标．
解析： 以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
解析： (1)由于关于 x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为 P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式， 可得 x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3， z＝2×(－4)－4＝－12. 所以 P3(6，－3，－12)．