§4.2 平面与立体相交求截交线(1)

1
2 3
4．判别可见性，整理轮 廓线。
[例题]求圆球截交线
[例题] 分析并想象出圆球穿孔后的投影
立体的截交线

平面立体的截交线
◦ ◦ ◦
概念、性质、方法 单一平面与平面立体截交 多个平面与平面立体截交

曲面立体的截交线
◦ ◦
◦
圆柱截交线 圆锥截交线 圆球截交线
[综合题] 求出物体切割后投影
3'
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
判别可见性整理轮例题求圆球截交线例题分析并想象出圆球穿孔后的投影平面立体的截交线平面立体的截交线概念性质方法概念性质方法单一平面与平面立体截交单一平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交曲面立体的截交线曲面立体的截交线圆柱截交线圆柱截交线圆锥截交线圆锥截交线圆球截交线圆球截交线综合题求出物体切割后投影
三.例题
例、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
c'(d') 2' • d"• 3'(4') • 4"• • • b"• 1'• a'(b') 4 b• • 1• a• • 3 2" •
• 1"
• c" •3" • a"
•d
•2 •c
作图过程：
求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最后 点可确定出椭圆长短轴的端点。 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别 求出水平面和侧面投影。 光滑地连接各点。

截交线是截平面和回转体表面的共有线， 截交线上任意点都是它们的共有点。
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。 截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。


曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
1)截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。(封闭性) 2)截交线的每条边是截平面与棱面的交线。（共有性）
3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是 截平面与立体表面上不同平面的交线。
1、求截交线的方法

空间分析：截平面与体的相对位置，确定截 交线的形状；截平面与投影面的相对位置， 确定截交线的投影特性。 线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。 面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。

主要内容
4.4.1 圆柱截交线 4.4.2 圆锥截交线
4.4.3 圆球截交线
面与圆柱相交所得截交线形状
矩形
圆
椭圆
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
P
PH 截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
§4-2
平面与立体相交求截交线
平面截切基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
截切——用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截交线
截平面
截平面 —— 用以截切物体的平面。
截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
一、平面和平面立体的截交线
截交线的性质：
6•
• •2 • • 4 c
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆锥相交截交线
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截 交线的形状不同。
Pv
α Pv
截平面垂直于圆锥轴 线，倾角为θ=90 ， 截交线为圆形。
c" • (4") 6"
分析：圆柱的轴线是侧垂线， 截断体分别由侧平面、正垂 面、水平面截切圆柱体而成 的。 侧平面与圆柱轴线垂直，截 交线为圆弧，其正面投影为 直线，侧面投影为圆弧。
• 1
正垂面与圆柱轴线倾斜，截 交线为部分椭圆，正面投影 为直线，侧面投影与圆重合。 水平面与圆柱轴线平行截交 线为矩形，正面、侧面投影 均直线。
B
a' (b') b" • •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
例题 五棱柱截切后的投影
g′ q′ e′
f′
d′
f″(g″) q″ e″(d″) P″
a″(c″) b″
曲面立体截交线求法
1.利用截平面的积聚性,找出截平面
2. 在截平面的积聚性投影上找出若干个点（最高、 最低、最前、最后、最左、最右点及一般点） 3．利用“面上找点”确定点的其他两面投影
4，连接各点
曲面立体面上找点
பைடு நூலகம்
素线法：选取曲面上一系列素线，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。 纬圆法：选取曲面上一系列纬圆，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。
Ⅲ Ⅰ
8"
1
Ⅴ Ⅱ Ⅳ
6
4
2
Ⅶ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
3"
解题步骤
( ) 4'5'
5'
2"
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分； 3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
( ) 1'2'
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 4' （5'） 5"
2' （3'） 1' 3 5 7 3" 1" 7"
6"
4" 2"
分析：由图可知，截交线的 正面投影积聚为一直线。水 平投影，除顶面上的截交线 外，其余各段截线都积聚在 六边形上。
1
6 2 4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
Ph
2、截平面为水平面 Pv
3、截平面为垂直面
截平面为水平面，水平 投影为截交线圆的实形。
截平面为正垂面，截交线的 水平投影及侧面为椭圆。
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:
在圆球表面上取若干个平行于投影面的平 行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
c'd'
2' 8" 4"
a′
P′ b′ e d
c′
A,B,C在棱线上
q a b
P c
例.求四棱锥被截切后俯视图,左视图
1(2)
2
●
1
●
2 1
逐个截平面分析和绘制截交线. 当平面体只有局部被截切时, 三面共点： 先假想为整体被截切 ,求截交 Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个 线后再取局部 .
面上.
例.求立体切割后投影
6 6 5 4 1 2
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截
交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
[例题3] 求圆锥截交线
a'
3' 1'
2'
2"
3"
1"
3"
2"
1. 截平面为正垂面侧平 面,截交线为部分椭圆和 梯形的组合;其水平投影 为部分椭圆和直线的组 合,侧面投影为部分椭圆 和梯形的组合; 2. 求出截交线上的特殊 点Ⅰ,Ⅱ;
3.出一般点Ⅲ ; 4. 光滑且顺次地连接各 点 , 作出截交线 , 判别可 见性; 5.整理轮廓线;
1 ' 6
b
1" 4 8
d
5.整理轮廓线;
1
a
2
c
7 5 3
例、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
分析：半球的通槽由三个平面构成， 一个水平面和两个侧平面截切圆球 它们与球面的截交线都是分别平行于 投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧 的半径；可根据截平面位置确定。 1、通槽的水平投影作图：过槽 底部作辅助水平面，水平投影为 圆，并在圆周上截取与正面投影 相对应的前后两段圆弧。


2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ 3’ 2’ 1’ a’ Pv 3” s”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
2” 1”
b’
c’
c”
a”
b”
(2)根据线上取点的方法，求出1、 2、3和1”、2”、3”
2、通槽侧面投影的作图：两侧 平面距球心等远，两圆弧的半径 相等，两段圆弧的侧面投影重合。
[例题]
1' 2' 3'
求圆球截交线
2"
解题步骤
3"
1．分析 截平面为两个 侧平面和一个水平面， 截交线为圆弧和直线的 组合；截交线的水平投 影和侧面投影均为圆弧 和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊 点Ⅰ、 Ⅱ； 3．求出各段圆弧；
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置 不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。
1、截平面为平行面
截平面为正平 面，正面投影为截 交线圆的实形。
2 5 3
4
1
求如图所示的开槽圆柱的左视图。
5'（6'） 6" • • 1'（2'） • • 2" • • 3'（4'） 4" • 5" 分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。
圆柱截交线
1' 2'3' ( ) 4'5' ( ) 3" 1" 2"
解题步骤 1.截平面为正垂面 ,截交线侧面投 影圆,水平投影椭圆; 2. 求 截 交 线 上 的 特 殊 点 Ⅰ,Ⅳ,Ⅴ, 4" Ⅷ; 3.求若干个一般点Ⅱ,Ⅲ,Ⅵ,Ⅶ;
5"
( ) 6'7'
8'
7 8
7"
5 3
6"
4.光滑且顺次地连接各点 , 作出截 交线,且判别可见性; 5.整理轮廓线;
d"
2"
7' 8' 3'4' 5'6'
a'b
c"
6"
b" a"
7" 3" 5"
1. 截平面为正垂面 , 截交线为圆 ; 截交线的水平投影和侧面投影均 为椭圆; 2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ; 3. 求出若干个一般点 A 、 B 、 C 、 D; 4.光滑且顺次地连接各点,作出截 交线,且判别可见性;
3.求一般点Ⅴ; 4. 顺次地连接各点 , 作截交线 , 判别可见性;
5.整理;
4
1 ( 2)
3
5
例、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
c' (d') • 6'(7') 4' • • (5') 5 •d • •3 7• •
· (3')• 2'
1'
1" 3"• d" (5") • 7"
· • 2"
3.顺次地连接各点 ,作出截 交线并判别可见性;
4.整理轮廓线;
2(4)
2
4
1
3
1(3)
[例题5]圆柱截交线
1' 4' 5' 3' 2' 2" 4" 1" 5" 3"
1.截交线为矩形,椭圆及圆和直 线的组合;截交线的水平投影已 知 , 侧面投影为矩形 , 椭圆和直 线的组合;
2. 求截交线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ , Ⅲ ,Ⅳ;
• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" • • • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
[例题4]圆柱截交线
1'2' ( ) 3'4' ( ) 2” 4” 1” 3”
1. 截交线的水平投影为直 线和部分圆 ,侧面投影为矩 形; 2. 求出截交线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;
3"
3
3
（5）
1
4
2
（3）
3
Ⅵ Ⅴ 3 5
1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
例.平面立体切口投影
1 （2 ）
2
1
3 （4 ）
4
3
6（5） 6
4 2 1
6
5
Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
3
4
例.立体被截切后投影