最新-2018版高中数学 综合素质测试 新人教B版选修2-2 精品

选修2－2综合素质测试
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )
A ．f (x )＝g (x )
B ．f (x )－g (x )为常数函数
C ．f (x )＝g (x )＝0
D ．f (x )＋g (x )为常数函数 [答案] B
[解析] 由f ′(x )＝g ′(x )，即f ′(x )－g ′(x )＝(f ′(x )－g ′(x ))＝0，∴f (x )－g (x )为常数函数．故选B.
2．函数y ＝(sin x 2)3
的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2
·sin2x 2
B ．y ′＝3(sin x 2)2
C ．y ′＝3(sin x 2)2
cos x 2
D ．y ′＝6sin x 2
cos x 2
[答案] A
[解析] y ′＝[(sin x 2)3
]′＝3(sin x 2)2
·(sin x 2
)′＝3(sin x 2)2
·cos x 2
·2x ＝3·2sin x 2
·cos x 2
·x ·sin x 2
＝3x ·sin x 2
·sin2x 2
.故选A.
3．下列命题中正确的是( )
A ．复数a ＋bi 与c ＋di 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d
B ．任何复数都不能比较大小
C ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝z 2 [答案] C
[解析] A 选项未注明a ，b ，c ，d ∈R .实数是复数，实数能比较大小．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.故选C.
4．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，1
4
，…，的前100项的和等于( )
A ．139
14
B ．131114
C ．141
14
D ．14314
[答案] A
[解析] 从数列排列规律看，项1n 有n 个，故1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)
2≤100.得n (n ＋
1)≤200，所以n ≤13，当n ＝13时，
n (n ＋1)
2
＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第
92项开始到第100项全是114，共9个114，故前100项的和为139
14
.故选A.
5．对一切实数x ，不等式x 2
＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞) D ．[0，＋∞) [答案] C
[解析] 用分离参数法可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，则|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2.当x
＝0时，显然成立．
6．曲线y ＝e x 在点(2，e 2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.9
4 B ．2e 2
C ．e 2
D.e
2
2
[答案] D
[解析] y ′＝(e x )′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2
＝e 2
(x －2)，则切线与坐标轴交点为A (1,0)，B (0，－e 2
)，所以：S △AOB ＝12×1×e 2
＝e 2
2
.
7．设f (x )在x 0可导，则lim x →0 f (x 0＋x )－f (x 0－3x )
x
等于( )
A ．4f ′(x 0)
B ．f ′(x 0)
C ．3f ′(x 0)
D ．2f ′(x 0)
[答案] A [解析] lim x →0
f (x 0＋x )－f (x 0－3x )
x
＝4lim x →0
f (x 0＋x )－f (x 0－3x )
4x
＝4′f (x 0)．
8．函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5.故选D.
9．若xy 是正实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.7
2 C ．4
D.92
[答案] C
[解析] 因为xy 是正实数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2
＋y x ＋14x 2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2≥1＋2＋1＝4，
当且仅当x ＝y ＝±2
2
时，等号成立．故选C.
10．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为
( )
A ．以(1，－1)为圆心，以4为半径的圆
B ．以(1，－1)为圆心，以2为半径的圆
C ．以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆
D ．以(－1,1)为圆心，以2为半径的圆 [答案] C
[解析] 原方程可化为|z ＋(1－i )|＝4，即|z －(－1＋i )|＝4，表示以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆．故选C.
11．已知f (x )＝x 3
＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152 B ．有最大值－152
C ．有最小值152
D ．有最小值－15
2
[答案] B
[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2
＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′(－1)≤0
f ′(2)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0
，
令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图
A ⎝
⎛⎭
⎪⎫－6，－32是使得z 最大的点，
最大值为b ＋c ＝－6－32＝－15
2
.故应选B.
12．已知函数f (x )＝x 3
－px 2
－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( ) A ．极大值为4
27，极小值为0
B ．极大值为0，极小值为－
427
C ．极小值为－5
27，极大值为0
D ．极小值为0，极大值为5
27
[答案] A
[解析] 由题设条件知⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′(1)＝0，
f (1)＝0.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－2p －q ＝0，
1－p －q ＝0.
所以p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13是极大值．故
选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．设
x
1＋i ＝32－i ＋y 1－i
(x ，y ∈R )，则x ＝____，y ＝____. [答案] 35 －9
5
[解析] 由已知得x (1－i )(1＋i )(1－i )＝3(2＋i )(2－i )(2＋i )＋y (1＋i )
(1－i )(1＋i )，
整理得x 2－x 2i ＝65＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋y 2i .
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝65＋y 2，－x 2＝35＋y
2.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3
5，y ＝－9
5.
14．定积分0
sin t cos tdt ＝________.
[答案] 1
2
15．设各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝(a n ＋1)3
2a n ＋2(n ∈N *
)，若a 2＝14
，则猜想
a 2018的值为______．
[答案] 2(－2)
2018
[解析] 因为a 1＝2，a 2＝2－2，故a 3＝a 1(a 2)－32＝24
，a 4＝a 2(a 3)－32＝2－8.因此有a 1＝2(－
2)0
，a 2＝2(－2)1
，a 3＝2(－2)2
，a 4＝2(－2)3
，于是可猜想a 2018＝2(－2)
2018
.
16．(2018·陕西理，16)设曲线y ＝x
n ＋1
(n ∈N *
)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横
坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
[答案] －2
[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． ∵k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，
∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x n ＝
n n ＋1，∴a n ＝lg n
n ＋1
，
∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99
100
＝lg 12×23×…×99100＝lg 1
100
＝－2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2x
－1
2＋1
.求证：对于任意不小于3的正整数n 都有
f (n )>n
n ＋1
成立．
[解析] 要证f (n )>n
n ＋1(n ∈N *
且n ≥3)，只需证2n
－12n ＋1>n n ＋1，即证1－22n ＋1>1－1
n ＋1
，
也就是说明2n
－1>2n .
下面用数学归纳法来证明2n －1>2n (n ∈N *
，且n ≥3)． ①当n ＝3时，左边＝7，右边＝6，左边>右边，不等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *
，且k ≥3)时不等式成立，即2k －1>2k ，则当n ＝k ＋1时，2
k ＋1
－1
＝2·2k
－1＝2(2k
－1)＋1>2·2k ＋1＝2(k ＋1)＋2k －1>2(k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综上所述，当n ∈N *
且n ≥3时，2n
－1>2n 成立． 所以f (n )>
n
n ＋1
(n ∈N *
且n ≥3)成立．
[说明] 对于2n
－1>2n ，还可以用二项式定理证明．由2n
＝C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n －1
n ，有2n －C 0n ＝C 1n ＋C n －1n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n )，即2n －1＝2n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n
n )，当n ≥3时，C 2
n ＋C 3
n ＋…＋C n －2n ＋C n n >0.所以2n
－1>2n .
18．(本题满分12分)一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇334km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km ，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？
[解析] 如图，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为渔站，D 为海岸上一点，
∵AB ＝9，AC ＝334，
BC ＝AC 2－AB 2＝15，
设CD ＝x ，由A 到C 所需时间为T ， 则T ＝15x ＋14
(15－x )2
＋81(0≤x ≤15)，
T ′＝15－
15－x
4(15－x )2－81
.
令T ′＝0，解得x ＝3.
x <3时，T ′<0，x >3时，T ′>0，因此在x ＝3处取得极小值．又T (0)＝
334
4
，T (15)＝214，T (3)＝87
20
，比较可知T (3)最小． 答：在距渔站3km 登岸可使抵达渔站的时间最省． 19．(本题满分12分)求同时满足下列条件的所有复数z ： (1)z ＋10z 是实数，且1<z ＋10
z
≤6.
(2)z 的实部和虚部都是整数．
[解析] 设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ，且a 2
＋b 2
≠0)． 则z ＋10z ＝a ＋bi ＋10a ＋bi ＝a ＋bi ＋10(a －bi )a 2＋b 2
＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
10a 2
＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－10a 2
＋b 2i . 由(1)知z ＋10z 是实数，且1<z ＋10
z
≤6，
∴b ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－
10a 2
＋b 2＝0，即b ＝0或a 2＋b 2
＝10. 又1<a ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋
10a 2＋b 2≤6，(*) 当b ＝0时，(*)化为1<a ＋
10
a
≤6无解．
当a 2
＋b 2
＝10时，(*)化为1<2a ≤6， ∴1
2
<a ≤3. 由题中条件(2)知a ＝1,2,3. ∴相应的b ＝±3，±6(舍)，±1. 因此，复数z 为：1±3i 或3±i .
20．(本题满分12分)(2018·全国Ⅰ理，20)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0.
[分析] 本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．(1)转化为求函数的最值问题求解．(2)利用完全归纳分析因式的符号，再判断乘积即可．
[解析] (1)f ′(x )＝
x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1
x
，xf ′(x )＝x ln x ＋1， 则题设xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a ， 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1
x
－1，
所以0<x <1时，g ′(x )>0，x >1时，g ′(x )<0，可知x ＝1是g (x )的最大值点，g (x )max
＝g (1)＝－1，所以a 的取值范围为[－1，＋∞)．
(2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0
当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；
x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝
⎛
⎭⎪⎫
ln x ＋1
x －1
＝ln x －x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 1x －1x
＋1≥0，所以(x －1)f (x )≥0.
21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n
(n ∈N *
)． (1)求a 2，a 3，a 4；
(2)猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． [解析] (1)由a n ＋1＝
12－a n ，可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝1
2－a 2
＝12－1
2－a
＝
2－a
3－2a
，a 4＝12－a 3＝12－
2－a 3－2a
＝3－2a 4－3a
. (2)猜测a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a (n ∈N *
)．
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝(1－1)－(1－2)a
1－(1－1)a ＝a ，猜测成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时猜测成立， 即a k ＝(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a
.
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝1
2－
(k －1)－(k －2)a
k －(k －1)a
＝k (k －1)a
2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]
＝
k －(k －1)a
(k ＋1)－ka
.
故当n ＝k ＋1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n ∈N *
都有
a n ＝
(n －1)－(n －2)a
n －(n －1)a
成立．
22．(本题满分14分)(2018·北京文，18)设函数f (x )＝x 3
－3ax ＋b (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．
[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2
－3a .
因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3(4－a )＝0，
8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.
(2)f ′(x )＝3(x 2
－a )(a ≠0)．
当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．
当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .
当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．。